精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

重庆市高 2025 届高三第四次质量检测 数学试题 命审单位:重庆南开中学 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解得，再根据复数的除法化简即可. 【详解】，则. 故选：D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件用列举法表示集合，利用集合的基本运算即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∴，∴. 故选：C. 3. 已知函数 的定义域为，则 “ 为奇函数” 是 “ 为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，函数 的定义域为， 若“ 为奇函数” ，则对于， 有，即 “ 为偶函数”. 若 “ 为偶函数”，如，则为偶函数， 不能得到 “ 为奇函数”， 所以“ 为奇函数” 是 “ 为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设得，进而得直线方程为，再根据直线过定点求法计算即可得解. 【详解】由题意可知椭圆焦点在x轴上，且即， 所以直线即，即， 令，所以直线必过定点. 故选：A. 5. 已知平面向量 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，利用可得结果. 【详解】∵，∴， ∴. ∵，∴，即， ∴，故. 故选：D. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率. 【详解】 由双曲线定义得，，， 设，则， 在中，由余弦定理得，解得， ∴. 在中，由余弦定理得， ∴，故离心率. 故选：B. 7. 如图是瑞典数学家科赫在 1904年构造的能够描述雪花形状的图案. 图形的作法是: 从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边. 反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线. 设原三角形 (图①)的边长为1，记第 个图形的周长为，数列 的前 项和为，则使得成立的的最小值为（ ） （参考数据:） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，计算，利用即可得到结果. 【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，边长是前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， 由得，， ∴，即， ∴，即，解得， ∴使得成立的的最小值为8. 故选：C. 8. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合，由正弦定理可得.最后由，结合余弦定理可得答案. 【详解】， 由正弦定理，则. 由余弦定理， . 故选：B 二、多项选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB，由作差法可判断选项正误；对于CD，由指数函数，幂函数单调性可判断选项正误. 【详解】对于AB，注意到， 因，则，故A正确，B错误； 对于CD，因，则函数在R上单调递减， 函数在上单调递增，则， 即，故C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知抛物线，动点 位于 的下方，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为,，直线 分别与轴交于 两点，则（ ） A. B. C. 若点 在直线 上运动， 为坐标原点，则 D. 若 ，则点的轨迹方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数求得切线AP、BP方程，求得M的坐标，可判断A；求得P的坐标，可判断B；由点 在直线上，得1，计算，可判断C；由，可得进而得到点的轨迹方程，可判断D. 【详解】因为，则， 设，则 所以AP方程为，整理得， 同理BP方程为， 分别令y＝0得到， ∴，即，故A正确； 由，解得， ∴， 即，故B正确； ∵点 在直线 上运动，∴1 ，故C不正确； 若 ，，则，即， ∴，整理得 故点的轨迹方程为. 因为直线与轴相交，故不在轴上，故， 故所求轨迹方程为：,故D错误. 故选：AB. 11. 已知数列的前项和为，，则下列式子的值可以确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】中分组之后出现，可得选项A错误；中数据可分成50组的和，可得选项B正确；根据条件表示可得选项D正确；根据可得选项C正确. 【详解】由题意得，， ∴， 由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，其中，的值不确定. A.，其中的值不确定，故选项A错误. B.，每一组数都可以确定，故选项B正确. D.，每一组数都可以确定，故选项D正确. C. 由于，故为定值， 又确定，故为定值，故选项C正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是分析得到数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，利用分组求和的方式把每个选项进行拆解分组即可得到正确答案. 三、填空题:每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，结合圆锥的侧面积公式运算求解即可. 【详解】设底面圆的半径为，可知母线长， 所以该圆锥的侧面积与底面积之比为. 故答案为：. 13. 已知圆的圆心在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，若圆 经过坐标原点且与圆 : 相交于 两点，，则圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可设，则圆的方程为，与圆方程相减可得直线MN方程，最后由可得，即可得答案. 【详解】由题可设，因圆经过坐标原点，则圆半径为， 则圆的方程为，即， 与圆方程相减并化简可得直线MN方程为：. 注意到圆方程可化为， 则其圆心为，半径为2.因，设直线MN到距离为d， 则. 又由点到直线距离公式，则， 解得，故圆的方程为. 故答案为： 14. 若函数 的图象恰好经过三个象限，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过，确定函数图像过第一、三、四象限，进而将问题转化成当时，恒有，再通过参变分离求最值即可求解. 【详解】显然， 当时，可知，对任意实数，由指数函数、幂函数的增长速度可判断：， 又的图像为一条连续不断的曲线，可判断的图像必过第一、三、四象限， 故当时，恒有，即， 即，当时恒成立， 令，得, 因为，所以，单调递增， 当时，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由函数图像连续性，确定当时，恒成立. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 15. (13 分) 15. 已知等差数列 的前 项和为 . （1）求数列 的通项公式 ； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）或 （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）设首项为，公差为，然后由题意及等差数列通项公式及前n项和公式可得答案. （2）由（1），易得时，；当，由正负性结合表达式可得答案. 【小问1详解】 设首项为，公差为，因， 则或. 则或； 【小问2详解】 当时，； 当时，注意到时，， 则此时； 当时，， 则. 综上，当时， 当时，. 16. 一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. （1）根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； （2）根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 【答案】（1）由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴， 所以模型①平方和大于模型②的残差平方和，所以应选择模型②. （2）①；②第12年活动当日营销成本的预测值最大. 【解析】 【分析】（1）根据残差的意义结合题中图表分析判断即可； （2）①令，可得，根据题中数据和公式代入求解即可；②整理可得，构建，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）对于模型②：， 令，可得， 则， 可得，所以关于的经验回归方程为； （ⅱ）由（i）可得：，整理可得， ，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以当时，取到最大值，即取得最大值， 所以第12年活动当日营销成本的预测值最大. 17. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为，的周长为，面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到的关系，即可得到椭圆的标准方程. （2）设方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，根据即可得到直线的方程. 【小问1详解】 由题意得，， 因为的周长为，面积为， 所以， 又因为，所以，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得，直线斜率存在， 设方程为，，， 由得， 则，即， 所以， 因为，， 所以， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 18. 已知函数 . （1）若 ，都有 ，求实数 的取值范围; （2）当 时，若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角互补，求证: . 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设新函数，通过两次求导再对分类讨论即可； （2）通过导数得到的单调性，计算得到，变形，再设，转化为关于的函数，再利用导数即可证明不等式. 【小问1详解】 令， 则，令， 有在区间上单调递增，. ①若，当时，， 在区间上单调递增，则，即， 在区间上单调递增，则，即成立; ②若，当时，有，则， 在区间上单调递减，则，即， 在区间上单调递减，则，得与矛盾， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当时，有， 在区间上单调递增;同理，在区间上单调递减. 由题意可得， ， 化简，得(*) 又在上单调递增，当且仅当， 可得，且， ， 令， 则，令，则， 在区间上单调递增，则，即， 在区间上单调递增，则，即， ，又，则， 得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据得到关键的. 19. 已知抛物线的焦点为，过 作直线与抛物线交于 两点在轴的上方)，线段 的中点到轴的距离的最小值为1 . （1）求抛物线的方程； （2）过作直线与抛物线交于 两点(在 轴的上方)，记直线的斜率为，直线的斜率为，且 . （i）求证：直线过定点 ； （ii）若线段 的中点为，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，联立抛物线方程，再结合韦达定理和梯形中位线公式即可； （2）（i）设，根据斜率关系得到，设直线，再利用韦达定理即可； （ii）首先证明若，则的面积，再写出面积表达式，利用基本不等式即可. 【小问1详解】 ，设， 代入，得，有， 设，则， 中点到轴的距离为 ，当且仅当时取等号， ，即，故抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，， 设，同理，有， 由题易知， ，即， 化简得， 设直线，代入，得， 有，解得，即，恒过定点; （ii）先证明引理:若，则的面积， 证明如下: ， 由，得， 设，有， ， ， 的面积 ， ， ，当且仅当时取等号， 此时， 直线和的斜率均不存在， 故的面积的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是利用引理若，则的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高 2025 届高三第四次质量检测 数学试题 命审单位:重庆南开中学 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 的定义域为，则 “ 为奇函数” 是 “ 为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图是瑞典数学家科赫在 1904年构造的能够描述雪花形状的图案. 图形的作法是: 从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边. 反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线. 设原三角形 (图①)的边长为1，记第 个图形的周长为，数列 的前 项和为，则使得成立的的最小值为（ ） （参考数据:） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，动点 位于 的下方，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为,，直线 分别与轴交于 两点，则（ ） A. B. C. 若点 在直线 上运动， 为坐标原点，则 D. 若 ，则点的轨迹方程为 11. 已知数列的前项和为，，则下列式子的值可以确定的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为_____. 13. 已知圆的圆心在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，若圆 经过坐标原点且与圆 : 相交于 两点，，则圆的方程为_____. 14. 若函数 的图象恰好经过三个象限，则实数 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 15. (13 分) 15. 已知等差数列 的前 项和为 . （1）求数列 的通项公式 ； （2）求数列 的前 项和 . 16. 一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. （1）根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； （2）根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 17. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为，的周长为，面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 18. 已知函数 . （1）若 ，都有 ，求实数 的取值范围; （2）当 时，若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角互补，求证: . 19. 已知抛物线的焦点为，过 作直线与抛物线交于 两点在轴的上方)，线段 的中点到轴的距离的最小值为1 . （1）求抛物线的方程； （2）过作直线与抛物线交于 两点(在 轴的上方)，记直线的斜率为，直线的斜率为，且 . （i）求证：直线过定点 ； （ii）若线段 的中点为，求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $