寒假作业(十) 抛物线-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高二数学寒假作业

13.解：(1)由已知得c=2,e=2, 得k2x2-4(k+2).x十4=0， 所以a=1,b=√3. 故△=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0, 所以所求双曲线方程为2-苦=1。 解得>-1，且x1十2=4k+22 k2 (2)设直线l的方程为y=x十m,点M(x1, 由1AF=x+号=+2，BF=x+号 y1),V(x2,y2). (y=x+m, x2十2，且AF,4,|BF成等差数列， 联立2-山整理得22m一m 得x1十2十x2十2=8，得x1十x2=4, 所以4k+2)）=4,解得k=-1或k=2, 3=0.(￥) 2 设MN的中点为(0yo),则x0= 1十2 又>-1，故k=2.] 5.D[如图，，△FPM是等边三角形， 受0=0十m=四所以线段MN套直平 m .由抛物线的定义知PM 在Rt△MQF中，|QF|=2, 分线的方程为 ∠QMF=30°，.|MF|=4, y-四=-(-2）脚x+y-2m=0, ∴.S△PMF= 9x=4原载 与坐标轴的交点分别为(0,2m),(2m,0), 选D.] 可得22m·12m=4,得m2=2. 6.A [将y=1代入y2=4.x,得x=4: m=士√2，此时()的判别式△>0，故直线l 即A(子，1，由抛物线的光学性质可知，直线 的方程为y=x士√2. 高二数学寒假作业（十）抛物线 AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为 温故知新 1.(1)距离相等2.(2)焦点到准线 -0=一合故造A门 3.x≥0，y∈Rx∈R,y≥0xy 7.ACD[抛物线y2=10.x的焦点在x轴上，A O(0,0)e=1 满足：设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点， 精典题练 1.D[=2x的焦点为（号0，而椭国的右焦 则MF=1+号=1+号=号≠6，所以B不 满足；因为y2=10x中，p=5,所以焦点到准 点为20，由号=2得p=4故选D] 线距离为5，所以C满足：由于抛物线y2= 2.C[抛物线的准线方程为x=一2，则焦点为 10x的焦点为（侵0小，设过该焦点的直线方 F2.0.从而k=3222=-J 3-0 程为y=(:一昌），若由原点向该直线作垂 3.B[设A(x1,y1),B(x2y2). 线，垂足为(2,1)，则k=一2，此时直线存在， 由题意知：直线AB的方程为y=一2(x一1)， 所以D满足.所以满足抛物线y2=10.x的 即y=-2x+2. 由/w2=8, 有ACD.] y=-2x+2, 得x2一4x十1=0， 8.ABD[过抛物线焦点的直线与抛物线相交， 其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最 .x1十x2=4,x1·x2=1. .AB=√(1+k2)[(x1十x2)2-4x1x2] 小A正确：十职子B正确： =√/(1+4)(16-4)=√/5×12=2/15.] y1y2=一p2,.D正确：以AB为直径的圆与 4.C[设A(1,y1),B（x2,y2).由 =虹一2消去y 准线x=一号相切，C错误，故选ABD.] y2=8.x 9.4[批物线标准方程为x2=一4y,其焦点坐 标为(0，一1)，准线方程为y=1,则|MF|的长 ·54· 度等于点M到准线y=1的距离，从而点M 联立{ x=my+2 y2=4x 得：y2-4my-8=0, 到两定点F,E的距离之和的最小值为点 E(1,一3)到直线y=1的距离.即最小值 则△>0恒成立， 为4.] y1y2=-8,y1+y2=4m, 10.32 2 [设与直线x一y十4=0平行且与抛 则x1x2= y12)2 16 =4,x1+x2=m(y1+y2) 物线y=4x相切的直线方程为x一y十m +4=4m2+4. =0. 由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P, {x-y+m=0, 由 得x2+(2m一4)x+m2 则PA·PB=0, 1y2=4x x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4 =0, =0, 则△=(2m一4)2一4m2=0,解得m=1, 即直线方程为x一y十1=0， 4m+8m十3=0，则m=一号我m=- 2 直线x一y十4=0与直线x一y十1=0的距 则直线1的方程为y=一2x十4或y=- 离为d= 4-1 =32 3 √12+(-1)2 2 4 即抛物线y2=4x上的点到直线x一y十4=0 的最小距离为3.] 13.1)解：由抛物线的定义得AF=2+台， 11.解：(1)由抛物线C:y2=2p.x(p>0)过 由已知AF1=3,得2+号=3，解得p=2。 点A(2,-4), 所以抛物线E的方程为y2=4x. 可得16=4p,解得p=4. (2)证明：法一：如题图，因为点A(2,m)在抛 所以抛物线C的方程为y2=8.x, 物线E:y2=4x上，所以m=士2√2，由抛物线 其准线方程为x=一2. 的对称性，不妨设A(2,2√2)， (2)①当直线l的斜率不存在时，x=0符合 题意 由A(2,2√2)，F(1,0)可得直线AF的方程为 ②当直线（的斜率为0时，y=2符合题意. y=2v2(.x-1) ③当直线1的斜率存在且不为0时， y=2W2(x-1). 由 设直线l的方程为y=kx十2. y2=4x, y=kx+2, 由 y2=8.x 得y2-8y+16=0. 得2x2-5.x+2=0, 由△=64-64k=0,得k=1, 解得x=2或x=2从而B2一②) 故直线l的方程为y=x十2，即x一y十2 又GX-1,0), =0. 22-02√2 -√2-0 综上，直线I的方程为x=0或y=2或x一y 所以k2D3D--D +2=0. 12.解：(1)由题意知可设过点（一1,0）的直线方 -22 程为x=ty一1. x=1y-1 所以kGA十kcB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表 联立 1y2=4x 得：y2-4ty+4=0, 明点F到直线GA,GB的距离相等， 又因为直线与抛物线相切，则△=0， 故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直 即t=士1. 线GB相切. :P为第一象限的切点，=1，故直线方程 法二：如题图，设以点F为圆心且与直线GA相 为y=x十1，则联立得点P坐标为(1,2). 切的圆的半径为r因为，点A(2,m)在抛物线E: (2)设直线1的方程为x=my十2， 2=4x上，所以m=士2√2，由抛物线的对称 A(x1y1),B(x2y2), 性，不妨设A(2,2√2) ·55· 由A(2,2√2)，F(1,0)可得直线AF的方程为 6.C,am+1十an=2n十1，∴.am+1-(n+1)= y=2W2(x-1). -(an-n), 由y=2v2-1D. 即数列{am一n}是以1为首项，一1为公比的 y2=4x 等比数列， 得22-5x十2=0， ∴.am-n=(-1)n-1,∴.an=n十(-1)-1， ∴.a2020=2020-1=2019.] 部得=2成一 7.BCD[结合数列的定义与函数的概念可知， A正确；有穷数列的项数就是有限的，B错 从两(22)： 误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错 又G(-1,0),故直线GA的方程为2√2x一3y 误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通 +2√2=0， 项公式，D错误.故选BCD.] 从而r= 2W2+2v2_42 8+9 √17 又直线GB的方程为2√2x十3y十2v2=0, a=f()=专-1=3 所以点F到直线GB的距离d=2v2+2② v8+9 /)-+号 -4② √17 r as=f(倍)=2x名-1= 3: 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆， a=()=2x号-1= 必与直线GB相切. 高二数学寒假作业（十一）数列的概念 .从a3开始数列{am}是以3为周期的周期数 温故知新 列，但数列{am}并不是周期数列，A错误，B正 1.(1)顺序(2)每一个数aa2an 首项 2.序号n一个式子式子 确.a2020十a2021=Q4十a5= C正确，D错 3 3.(1)一个式子4.(1)一个式子这个式子 误.故选BC.] (2)al+az++an-1 S-S-1 精典题练 9.33 5 [因为am+1=an十2n, 1.C[经过验证知A、B、D均可以作为数列的 所以an+1一an=21, 通项公式，只有C不符合.] 从而an一an-1=2(n-1)(n22). 2B[由a1品+1a=1得-忌+1=3 所以a1一a3=2×3=6,a3一a2=2×2=4, a2-a1=2×1=2,a1=21, a,=品+1=号a4=品+1=号故选B] ∴.a4=6+4+2+21=33. a? 3.B[观察可知该数列的通项公式为am= am-a1=(am-an-1）+(an-1-am-2)十…十 (a3-a2)+(a2-a1)=2(n-1)+2(n-2)+ √2n一1（事实上，根号内的数成等差数列，首 …+2×2+2×1=2×[1+2+…+(n-1)] 项为1，公差为2)，令21=2n一1，解得n=11. 故选B.] =2×m1Dm=n2-n 2 4.A[a10=S10-Sg.由条件知S1十Sg=S10, 而a1=21,所以am=n2-n十21， ∴.a10=(S1+Sg)-Sg=S1=a1=1.故 选A.] 则=2-n+21=0+21-1, 5.B[偶数项分别为2,8,18,32,50， 即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25， 因为∫m)=n十21-1在(0,4]递减， 即偶数项对应的通项公式为a2m=2m2,则数 在[5，十∞)递增， 列的第18项为第9个偶数，即a18=a2×9=2 ×92=2×81=162.故选B.] 当n=4时，0=33=8.25， n 4 ·56·高二数学寒假作业（十） 抛物线 2.已知点A(一2,3)在抛物线C:y=2px 温一故知-新 的准线上，记C的焦点为F,则直线AF 1.抛物线的定义 的斜率为 () (1)定义：平面内与一个定点F和一条定 A.- 3 B.-1 直线I(不经过点F)的 的点的轨 迹叫做抛物线， c.- D-日 (2)焦点：定点F 3.过点(1,0)作斜率为一2的直线，与抛物 (3)准线：定直线1. 2.抛物线标准方程的特点 线y=8x交于A,B两点，则弦AB的长 (1)是关于x,y的二元二次方程. 为 ( (2)p的几何意义是 的 A.213 B.2/15 距离。 C.217 D.2√19 3.抛物线的简单几何性质 4.若直线y=kx一2与抛物线y=8.x交于 y"=2px y=-2px r"=2py x2=-23 A,B两个不同的点，抛物线的焦点为F, 标准 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 且AF,4,BF成等差数列，则k等于 方程 p的几何意义：焦点F到准线！的距离 A.2或一1 B.-1 图象 C.2 D.1±√5 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物 x≤0， x∈R, 线上的动点，点M为其准线上的动点，当 范围 y∈R y≤0 △FPM为等边三角形时，其面积为 对称轴 轴 % 顶点 A.2√3 B.4 离心率 C.6 D.45 6.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线 精典题练 经抛物线反射后平行于抛物线的对称 1.若抛物线)广=2x的焦点与椭圆写+号 轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光 =1的右焦点重合，则p的值为( 线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. A.-2 B.2 已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平 C.-4 D.4 行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过 29· 抛物线上的点A反射后，再经抛物线上 11.已知抛物线C:y=2px(p>0)过 的另一点B射出，则直线AB的斜率为 点A(2,-4). ( (1)求抛物线C的方程，并求其准线 方程； A,4 3 B青 c± D.S 7.(多选)对标准形式的抛物线，下列条件 满足抛物线方程为y2=10.x的有() A.焦点在x轴上 B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距 离等于6 C.焦点到准线的距离为5 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂 (2)若点B(0,2),求过点B且与抛物线 足坐标为(2,1) C有且仅有一个公共点的直线1的 8.(多选)经过抛物线y=2p.x(p>0)的焦 方程. 点F的直线交抛物线于A,B两点，设 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确 的是 A.当AB与x轴垂直时，|AB最小 BA十B丽一分 1=2 C.以弦AB为直径的圆与直线x=一号 2 相离 D.yy2=-p2 9.抛物线y=一}：上的动点M到两定点 F(0,一1)，E(1,一3)的距离之和的最小 值为 10.抛物线y=4x上的点到直线x一y十4 =0的最小距离为 ·30· 12.已知抛物线C:y2=4x,过点(-1,0)的 13.如图，已知点F为抛物 直线与抛物线C相切，设第一象限的切 线E:y2=2x(p>0) 点为P. 的焦点，点A(2,m)在 (1)求点P的坐标： 抛物线E上，且|AF =3. (1)求抛物线E的方程； (2)若过点(2,0)的直线1与抛物线C相 交于两点A,B,圆M是以线段AB为直 (2)已知点G(一1,0)，延长AF交抛物 径的圆过点P,求直线的方程 线E于点B,证明：以点F为圆心且与 直线GA相切的圆，必与直线GB相切. ·31·