寒假作业(九) 双曲线-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业（九） 双曲线 一温一故知-新三 1.双曲线的定义 图形 (1)定义：平面内与两个定点F,F2,的距 离的 等于非零常数（小于 )的点的轨迹叫做双曲线， 或 或 范围 (2)焦点：两个定点 y∈ (3)焦距： 的距离，表示 对称 对称轴： 为FF2 性 对称中心： (4)双曲线就是下列点的集合：P={M 顶点 MF-MF2=2a,0<2a<FF). 实轴：线段 长： 2.双曲线的标准方程 性 轴 虚轴：线段 长： 质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 半实轴长： ,半虚轴长： 离 方程 -1 y x 心 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 率 渐 近 图形 线 一精典=题一练 F F 焦点 F F 1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0), 动点M满足|MA|一|MB=6,则点M 焦距 F F2=20 () a.b.c 的轨迹方程是 e2= 的关系 A后苦=1 3.双曲线的几何性质 =1(x≥4) 焦点在x轴上 焦点在y轴上 B后 标准 -1 方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) =1(x≥3) 26· 2.若a.x2+by2=b(ab<0),则这个曲线是 C当受<0<3时，方程表示焦点在x轴 A.双曲线，焦点在x轴上 上的双曲线 B.双曲线，焦点在y轴上 D.当<云时，方程表示焦点在y轴 C.椭圆，焦点在x轴上 上的双曲线 D.椭圆，焦点在y轴上 8.(多选)关于双曲线C1:4x2一9y2=-36 3若>1，则双曲线号-了=1的离心率 与双曲线C2:4.x2-9y2=36的说法正确 的取值范围是 的是 A.(2,+o∞) B.(2,2) A.有相同的焦点 B.有相同的焦距 C.(1,2) D.(1,2) C.有相同的离心率 4.已知双曲线C:号-￥=1(a>0,b>0)的 D.有相同的渐近线 焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上， 9.已知双曲线过点(4,3)，且渐近线方程 则双曲线C的方程为 ( 为)=士2，则该双曲线的标准方程为 B. 1 520 10.若方程2m十m广-31表示双曲线， 5双曲线需 则实数m的取值范围为 9 =1上的点P到一个焦点 11.设圆C与两圆(x十5)2十y2=4,(x 的距离为12，则到另一个焦点的距离为 √5)2十y=4中的一个内切，另一个 A.22或2 B.7 外切. (1)求C的圆心轨迹L的方程： C.22 D.2 过双商线若芳1的有焦点兵作莲直 于实轴的弦PQ,F,是左焦点，若∠PF,Q =90°，则双曲线的离心率是 A√2 B.1+2 C.2+2 D.3-√2 7.(多选)设0是三角形的一个内角，对于方 程in日cos2 。=1的说法正确的是 A.当0<<受时，方程表示椭圆 B.当0=5时，方程不表示任何图形 ·27 (2)已知点M35,45 55 ,F(5,0),且 13.已知双曲线C:号-方=1(>0,6>0) P为L上动点.求|IMP|-|FPI的最 的一个焦点是F(2,0),离心率e=2. 大值. (1)求双曲线C的方程： 12.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为013).且离心率为号， (2)若斜率为1的直线1与双曲线C交 于两个不同的点M,N,线段MN的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形的 面积为4，求直线（的方程， (2)浙近线方程为y=士2，且经过点 A(2,-3) ·28·13.解：(1)由|AF1|=3F1B1,|AB=4, “<0,方程表示的曲线为焦点在y轴上的 得AF1=3,|F1B=1. a 因为△ABF2的周长为16， 双曲线，故选B.] 所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8. 3.C[由题意得双曲线的离心率=Va+巨 故1AF2|=8-3=5. 即2=1-1+ (2)设|F1B引=k,则k>0且|AF1|=3k, a2 ABI=4k. 由椭圆定义可得，|AF2=2a一3k,|BF2|= 0>10<111+<2, 2a-k. ∴1<e<2.故选C.] 在△ABF2中，由余弦定理可得， 4.A[双曲线C的渐近线方程为 y =0又，点 IAB12=1AF22+|BF212-21AF2|· |BF2|·cos∠AF2B, P2,1)在C的渐近线上，所以亭=0，即 即(4P=(2a-3谈)P+(2a-k)2-号(2a a2=4b2①. 又a2+b2=c2=25②. 3k)·(2a-k). 由①②，得b2=5,a2=20,所以双曲线C的方 化简可得(a十k)(a一3k)=0,而a十k>0, 故a=3k. 粗为号-苦=1，故选A] 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k 5.A[根据双曲线的方程得2a=2×5=10,由 因此BF212=|F2A2+|AB2, 定义知|1PF|一12|=10，可解得PF|=22 可得F1A⊥F2A, 或2，故选A.] 故△AF1F2为等腰直角三角形. 6.B[由题意得：|PF2|=|F2F1I,P点满足 从两c= 2, 原为-l…y=-a a 所以精圆E的离心率e=S=② 2c=62-a,由于C-√a2+,即2ac= a 2 高二数学寒假作业（九）双曲线 B=2-a22=e-又e>0,故e=1 温故知新 1.(1)差的绝对值F1F2|(2)F1,F2 +√2.] (3)两焦点间 7.BC[当0<0K受时，sin>0,cos>0,但当 2.(-c,0)(c,0)(0.-c)(0,c) a2+b2 0=平时，sin0=c0s0>0表示圆，故A错误： 3.x≤-ax≥aRy≤-ay≥aR 坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0, 当0=受时，0s0=0,方程无意义，所以不表 -a),A2(0,a)A1A22aB1B22b ab 1,+o)y=±6xy=±6 示任何图形，故B正确：当受<0<x时，in0 a 精典题练 >0,0s0K0,所以不论受<0<额还是<0 1.D[由题意知，轨迹应为以A(一5,0)，B(5, <π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所 0)为焦点的双曲线的右支，由c=5,a=3,知 以C正确，D错误，故选BC.] b2=16, 8D[两方和均化为标准方智为苦-号=1 M点的锐迹方程为号后-1(>3.] 后-苦=1，这里均有2=4十9=13，所以有 2.B[因为b0,方程可化为后+y2=1 相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在 a y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐 ·52· 近线均为y=士号，故D正确.G的高心津 (2)由(1)知F为双曲线L的 一个焦点，如图，连接MF并 。=四G的离心率=雪故C错误] 延长交双曲线于一点P,此时 IPM|-|PF|=IMF|为 号-y=1[法-：“双南线的渐近线方粒 |IPM一IFP的最大值. 1 为y=士2x, 又MF=g5-+)=2 .可设双曲线的方程为x2一4y2=λ（入≠0）. .|IMP-|FP|的最大值为2. 双曲线过点(4,3)， 12.解：(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且 c=13, .λ=16-4×(3)2=4， “双曲线的标准方程为号-2=1. 因为C=13 所以a=5,b=√c2-a2=12. 法二：”渐近线y=2x过 43) 故所家议曲线的标准方程为苦品 点(4,2)，而3<2， (2)法一：因为双曲线的渐近线方程 ,点(4，√3)在渐近线y= 2x的下方， 为y=士 若焦，点在x轴上，设所求双曲线的标准方程 在y=一号女的上方（知国》 =1(a>0,b>0), .双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方 星为三公 -￥=1(a≥0,6>0八为 ① 由已知条件可得 国为点A2,一3》在双自线上，所以亭一是 b=1 =1 ②. a 2' a2=4, 163 解得 联立①②，无解， 1b2=1, 若焦，点在y轴上，设所求双曲线的标准方程 “双向线的标准方程为号-了=1] 为y2 a2 b =1(a>0,b>0), 10.(-3,2)U(3,+∞) [由题意有 ③ liml3 2-m<0, ,A(2,一3)在双曲线上， 解得一3<m<2或m>3.所以实数m的取 是- ④ 值范围是（一3,2）U(3,十∞).] 由③④联立，解得a2=8,b2=32. 11.解：(1)两圆的圆心分别为A(一√5,0)， 二所求双曲线的标准方程为。一=1， B(√5,0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题 意得|CA|=r一2，CB=r+2或|CA|=r 法二：由双曲线的渐近线方程为y=士2工， +2,CB1=r一2，两式相减得|CA|一CB =-4或|CA-CB=4,即|ICA|-ICB1I 可设双曲线方程为2y=(A≠0。 =4. ,A(2,一3)在双曲线上 则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a=4, c=5,b2=1, 小是-（-3=牌A=-8 .圆C的圆心轨迹L的方程为 .所求双曲线的标准方程为 4y2=1. y2 r2 832=1. ·53· 13.解：(1)由已知得c=2,e=2, 得k2x2-4(k+2).x十4=0， 所以a=1,b=√3. 故△=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0, 所以所求双曲线方程为2-苦=1。 解得>-1，且x1十2=4k+22 k2 (2)设直线l的方程为y=x十m,点M(x1, 由1AF=x+号=+2，BF=x+号 y1),V(x2,y2). (y=x+m, x2十2，且AF,4,|BF成等差数列， 联立2-山整理得22m一m 得x1十2十x2十2=8，得x1十x2=4, 所以4k+2)）=4,解得k=-1或k=2, 3=0.(￥) 2 设MN的中点为(0yo),则x0= 1十2 又>-1，故k=2.] 5.D[如图，，△FPM是等边三角形， 受0=0十m=四所以线段MN套直平 m .由抛物线的定义知PM 在Rt△MQF中，|QF|=2, 分线的方程为 ∠QMF=30°，.|MF|=4, y-四=-(-2）脚x+y-2m=0, ∴.S△PMF= 9x=4原载 与坐标轴的交点分别为(0,2m),(2m,0), 选D.] 可得22m·12m=4,得m2=2. 6.A [将y=1代入y2=4.x,得x=4: m=士√2，此时()的判别式△>0，故直线l 即A(子，1，由抛物线的光学性质可知，直线 的方程为y=x士√2. 高二数学寒假作业（十）抛物线 AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为 温故知新 1.(1)距离相等2.(2)焦点到准线 -0=一合故造A门 3.x≥0，y∈Rx∈R,y≥0xy 7.ACD[抛物线y2=10.x的焦点在x轴上，A O(0,0)e=1 满足：设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点， 精典题练 1.D[=2x的焦点为（号0，而椭国的右焦 则MF=1+号=1+号=号≠6，所以B不 满足；因为y2=10x中，p=5,所以焦点到准 点为20，由号=2得p=4故选D] 线距离为5，所以C满足：由于抛物线y2= 2.C[抛物线的准线方程为x=一2，则焦点为 10x的焦点为（侵0小，设过该焦点的直线方 F2.0.从而k=3222=-J 3-0 程为y=(:一昌），若由原点向该直线作垂 3.B[设A(x1,y1),B(x2y2). 线，垂足为(2,1)，则k=一2，此时直线存在， 由题意知：直线AB的方程为y=一2(x一1)， 所以D满足.所以满足抛物线y2=10.x的 即y=-2x+2. 由/w2=8, 有ACD.] y=-2x+2, 得x2一4x十1=0， 8.ABD[过抛物线焦点的直线与抛物线相交， 其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最 .x1十x2=4,x1·x2=1. .AB=√(1+k2)[(x1十x2)2-4x1x2] 小A正确：十职子B正确： =√/(1+4)(16-4)=√/5×12=2/15.] y1y2=一p2,.D正确：以AB为直径的圆与 4.C[设A(1,y1),B（x2,y2).由 =虹一2消去y 准线x=一号相切，C错误，故选ABD.] y2=8.x 9.4[批物线标准方程为x2=一4y,其焦点坐 标为(0，一1)，准线方程为y=1,则|MF|的长 ·54·