寒假作业(八) 椭圆-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业(八) 圆 一温一故一知=新一 ##一# #}一1 标准 1.圆的定义 方程 (a>b>0) (a>b>0) 把平面内与两个定点F.,F。的距离的和 短轴长 B.B = ,长轴长 等于常数(大于 FF。)的点的轨迹叫做 轴长 圆.这 1AAI- 叫做圆的焦点。 叫做圆的焦距,焦距的 焦点 一半称为 焦距 [F.F。|-2c 2.概圆的标准方程 -a<xa且 一bx<b且 焦点在:轴上 焦点在y轴上 范围 -b<y<# -a<y<a ##一1# ##一1 对称轴为 标准方程 ,对称中心 对称性 (a>>0) (a>b>0) 为 _点 -#(0<e<1) 图形 离心率 a 10 一精一典一题一练一 焦点 写 与 1.已知点M是平面q内的动点,F,F。是 a,b.c 平面。内的两个定点,则“点M到点F。 的关系 F。的距离之和为定值”是“点M的轨迹 ( 是以F.,F。为焦点的圆”的 ) 3.圆的简单几何性质 A.充要条件 焦点的 焦点在:轴上 焦点在y轴上 B.充分不必要条件 位置 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B --1的焦点坐标是 图形 ) IB. A.(士5,0) B.(0.士5) C.(0,士12) D.(士12,0) 23. 7.(多选)已知点M(1,0),A,B是^固^{十# 。 ( 个公共点,则n的取值范围是 1上的动点,当MA·BA取下列哪些 值时,可以使MA·MB-0 A.(-,0)U(1,+) ( ) A.3 B.(1,3)(3,+) B.6 C.9 C.(-,-3)U(-3,0) D.12 D.(1,3) 8.(多选)下列说法中错误的是 ) 4.已知P为圆C上一点,F,F,为圆 A.已知F(-4,0),F。(4,0),平面内到 的焦点,且|FF=2 ③,若 PF |与 F.,F。两点的距离之和等于8的点的 [PF。 的等差中项为FF。,则圆C 轨迹是圆 ( ) 的标准方程为 B.已知F.(-4,0),F。(4,0),平面内到 F.,F,两点的距离之和等于6的点的 -1 轨迹是圆 C.平面内到点F(-4,0),F。(4,0)两点 的距离之和等于点M(5,3)到F.,F 的距离之和的点的轨迹是圆 D.平面内到点F(-4,0),F。(4,0)距离 D. 相等的点的轨迹是圆 9.已知圆的中心在原点,焦点在:轴上 ## ,且过P(一5,4),则圆的 -1的长轴AB 标准方程为 分成8等份,过每个 分点作x轴的垂线交圆的上半部分于 一1的右焦点F作一条斜 P.,P。,..,P。七个点,F是圆的左焦 率为2的直线与圆交于A,B两点,C 点,则PF+PF+.十PF= 为坐标原点,则△OAB的面积为 ( __ A.35 B.30 C.25 D.20 分别是F(0,-1),F。(0,1),且 3a^{2-462 ee(,1),则实数k的取值范围是 (1)求圆的标准方程; ( ) B.(36) A.(0,3) C.(0.3)U(1,+) D.(0,2) . 24. (2)设点P在这个圆上,且PF |一 IPF。一1,求 FPF。的余弦值 >0)的左、右焦点,过点E的直线交 圆E于A,B两点,AF =3 F B. (1)若 AB 一4,△ABF。的周长为16, 求AF。|; 于A,B两个不同的点 (1)求实数的取值范围; (2)若cos AF。B= 心率. (2)当b1时,求AB, . 25n=0, 高二数学寒假作业（八）椭圆 解得 n=-1. 即C(0,-1). 温故知新 故圆心C到直线3.x十4y一11=0的距离 1.两个定点两焦点间的距离半焦距 d=-4-11=3. 2.(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c)a2-b √9+16 3.2b2aF1(-c,0),F2(c,0)F(0,-c), 所以圆C的半径的平方r2=d+AB F2(0,c)坐标轴原点A1(一a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a) =18. B1(-b,0),B2(b,0) 故圆C的方程为x2+(y+1)2=18. 精典题练 12.解：设两圆的交点坐标分别为A(x1y1), 1.C[若点M到点F1,F2的距离之和恰好为 B(x2,y2), F1,F2两点之间的距离，则点M的轨迹不是 则A,B的坐标是方程组 椭圆，所以前者不能推出后者，根据椭圆的定 x2+y2=1, 义，椭圆上的，点到两焦点的距离之和为常数 x2+y2-2x-2y+1=0 的解， 2a,所以后者能推出前者，故前者是后者的必 两式相减得x十y一1=0. 要不充分条件，故选C.] 因为A,B两点的坐标满足x十y一1=0， 2.C[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且 所以AB所在直线方程为x十y一1=0， c2=169-25=144,.c=±12，故焦点为(0 即C1,C2的公共弦所在直线方程为x十y ±12.] 1=0, y=x+2, 圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离 d=,由条件知2-42=25-=23 3B[由活+号- √2 42-4 消去y,整理得(3十m).x2十4m.x十=0. 所以直线AB被圆C3藏得的弦长为2X2图 若直线与椭圆有两个公共点， 2 「3十m≠0， 则 =√/23. △=(4m)2-4m(3+m)>0, 13.解：(1)圆C:x2+y2-4x=0, 解得m≠-3， ∴.圆心C(2,0),r=2, m<0或m>1. 圆心C到直线距离d1= 12 =1 由+号=1表示精圆，知m>0且m≠3。 3 12+(-3)2 综上可知，m>1且m≠3，故选B.] ∴.1AB=2√2-d=23. 4.B[2c=|F1F2|=2V3.∴c=√3. (2)①当直线为x=4时，与圆相切，符合 2a=1PF11+|PF2|=21F1F2l=4V3, 题意. ②当斜率存在时，设斜率为k, ∴.a=2V3. .直线方程为y一4=k(x一4)， ∴.b=a2-c2=9. 即k.x-y十4-4k=0, 故精国C的特准方程是后+号-1k号+后 圈心C到直线距离山2=2k十4-4 =1.] √k2+1 5.A[设椭圆右焦点为F(图略)，由椭圆的对 =12k-4 称性，知P1F|=|P,F1,|P2F=P6F|, √k2+1 IP3F|=|PsF1,所以原式=(P,F1+ :直线与圆相切， |P,FI)+(|PsF|+|P6F'I)+(|PF|+ d2=,即2h-L=2,k= |PsF'1)+|PF1=7a=35.] Vk2+1 4 .直线方程为3.x-4y十4=0， 6.C[当0<<4时，e-后 .综上可知，切线方程为x=4或3x一4y十4 =0. 号e(合， ·50· 即号1p1<4-4. 2 解得心=板新圆的标准方整为后+需 即0<k3. =1.] 当>4时e--∈（侵小， [由已知可得直线方程为y=2.x一2，联立 a√k 即<1→<<1<1- 方程组 后+苦 y=2.x-2, <10<4<>>9 解得A0,-2,B(号) 综上，实数k的取值范围为(0,3) ∴.S△A0B= oF·A-g=景] u(传+∞门 11.解：(1)由题意，知c2=1,又c2=a2-b2,且 7.ABC[设A(.x0,o),且MA·MB=0. 3a2=4b2, 因为MA·BA=MA·(BM+MA)=MA2+ 所以心2-02=1，即=1 MA.BM=MA2=(x-1)2+6, 所以a2=4,b2=3, 将A点坐标代入精国，得+=1。 故指国的标准方程为号+号-1 所以呢=1-京代入上式可得·B时 (2)由于，点P在椭圆上，所以|PF十|PF2 =2a=2×2=4.又|PF-|PF2|=1, -10+1-至-3 4 2-2x0+2 所以PF=吾PF=是 又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得 -。}+号-2≤2 停+（层- =3 所以i,Bia=号(i.Bi)s=9. cos∠F1PF2 2x×号 对照选项，MA·BA可以取ABC.] 8.ABD[A中，F1F2|=8,则平面内到F1,F2 故∠F1PF2的余弦值等于号 两，点的距离之和等于8的点的轨迹是线段， 12.解：)将y=x十b代入2+y2三西 所以A错误；B中，到F1,F2两点的距离之和 消去y并整理， 等于6，小于|F1F2,这样的轨迹不存在，所 得3.x2+4hx十2-2=0.① 以B错误；C中，点M(5,3)到F1,F2两点的 距离之和为√(5+4)2+32+√(5-4)2+32= 因为直线)1十6与桥国受十y=1相交 4√10>F1F2|=8,则其轨迹是椭圆，所以C 于A,B两个不同的，点，所以△=16b2-12 正确：D中，轨迹应是线段FF2的垂直平分 (2b2-2)=24-8b2>0, 线，所以D错误.故选ABD.] 解得-3<b<√3. 所以b的取值范围为（一√3，√3）. a 5 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当b=1时，方 -a2-1 程①为3.x2十4x=0. a2 a25' 4 ∴.5a2-5b2=a2,即4a2=5b2 解得x1=0,x2=一 3 设椭圆的标准方程为三十=1（口>0）， 所以y1=1,y2=一 1 3 ,椭圆过点P(一5,4)， 所以|AB|=√(x1-2)2+(y1-y2)月 :25+5X16=1. 'd =4v2 4a2 31 ·51· 13.解：(1)由|AF1|=3F1B1,|AB=4, “<0,方程表示的曲线为焦点在y轴上的 得AF1=3,|F1B=1. a 因为△ABF2的周长为16， 双曲线，故选B.] 所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8. 3.C[由题意得双曲线的离心率=Va+巨 故1AF2|=8-3=5. 即2=1-1+ (2)设|F1B引=k,则k>0且|AF1|=3k, a2 ABI=4k. 由椭圆定义可得，|AF2=2a一3k,|BF2|= 0>10<111+<2, 2a-k. ∴1<e<2.故选C.] 在△ABF2中，由余弦定理可得， 4.A[双曲线C的渐近线方程为 y =0又，点 IAB12=1AF22+|BF212-21AF2|· |BF2|·cos∠AF2B, P2,1)在C的渐近线上，所以亭=0，即 即(4P=(2a-3谈)P+(2a-k)2-号(2a a2=4b2①. 又a2+b2=c2=25②. 3k)·(2a-k). 由①②，得b2=5,a2=20,所以双曲线C的方 化简可得(a十k)(a一3k)=0,而a十k>0, 故a=3k. 粗为号-苦=1，故选A] 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k 5.A[根据双曲线的方程得2a=2×5=10,由 因此BF212=|F2A2+|AB2, 定义知|1PF|一12|=10，可解得PF|=22 可得F1A⊥F2A, 或2，故选A.] 故△AF1F2为等腰直角三角形. 6.B[由题意得：|PF2|=|F2F1I,P点满足 从两c= 2, 原为-l…y=-a a 所以精圆E的离心率e=S=② 2c=62-a,由于C-√a2+,即2ac= a 2 高二数学寒假作业（九）双曲线 B=2-a22=e-又e>0,故e=1 温故知新 1.(1)差的绝对值F1F2|(2)F1,F2 +√2.] (3)两焦点间 7.BC[当0<0K受时，sin>0,cos>0,但当 2.(-c,0)(c,0)(0.-c)(0,c) a2+b2 0=平时，sin0=c0s0>0表示圆，故A错误： 3.x≤-ax≥aRy≤-ay≥aR 坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0, 当0=受时，0s0=0,方程无意义，所以不表 -a),A2(0,a)A1A22aB1B22b ab 1,+o)y=±6xy=±6 示任何图形，故B正确：当受<0<x时，in0 a 精典题练 >0,0s0K0,所以不论受<0<额还是<0 1.D[由题意知，轨迹应为以A(一5,0)，B(5, <π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所 0)为焦点的双曲线的右支，由c=5,a=3,知 以C正确，D错误，故选BC.] b2=16, 8D[两方和均化为标准方智为苦-号=1 M点的锐迹方程为号后-1(>3.] 后-苦=1，这里均有2=4十9=13，所以有 2.B[因为b0,方程可化为后+y2=1 相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在 a y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐 ·52·