寒假作业(二) 空间向量的应用-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业（二） 空间向量的应用 一温故知新 设平面a的法向量为n, PEa,A∈a,PQ⊥a,Ap 1.空间直角坐标系中的坐标 点 在直线！上的投影向量 (1)空间直角坐标系中点的坐标：在单位 面 为A夜，则P点到平面a 正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的 距 的距离PQ= ,叫做点 Ap.n Ap.n n n A在空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,之)，其中x叫做点A的 3.异面直线所成的角 y叫做点A的 ,之叫做点A 若异面直线11，l2所成的角为0，其方向 向量分别是u,v,则cos0=|cos(,v)|= 的 u·v u·v (2)空间直角坐标系中向量的坐标 在空间直角坐标系Oxy之中，给定向量 4.直线与平面所成的角 a,作O才=a.由空间向量基本定理，存在 图示 唯一的有序实数组(x,y,x),使 有序实数组(.x,y,) sin0=cos(u,n〉= u 叫做a在空间直角坐标系Oxy之中的坐 公式 u·n 标，上式可简记作a= un 5.平面与平面所成的角 2.空间距离的向量求法 平面与平面相交，形成四个二面 角，把这四个二面角中不大于90° 分类 图示 向量求法 定义 的二面角称为平面α与平面B的 夹角 “为直线（的单位方向向 量，PEl,A∈1，Q∈1，AP 图 点 a,A巾在直线1上的投影 示 线 向量为A衣=(a·u)u,则 距 PQ=√A21-AQ12 cos0=cos(n1·n2）= =√a2-(a·u)2 公式 n1·n2 n1·n2 n n2 -n,n2 6.如图，在正方体 精典题练 D ABCD-A B C D 1.在空间直角坐标系中，点A(一3,4,0)与 中，以D为原点建 点B(2,-1,6)的距离是 ( 立空间直角坐标 A.243 B.2√2I 系，E为BB1的中 点，F为A,D的中点，则下列向量中， C.9 D.√86 能作为平面AEF的法向量的是( 2.在空间四边形ABCD中，若向量AB= A.(1,-2,4) (-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E, B.(-4,1,-2) F分别为线段BC,AD的中点，则EF的 C.(2,-2,1) 坐标为 D.(1,2,-2) A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) 7.(多选)下列各命题正确的是 C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) A.点(1，一2,3)关于平面xO的对称点 3.u=(2,一2,2)是平面a的一个法向 为(1,2,3》 量，=(1,2,1)是平面3的一个法向 B.点（兮1，一3）关于y轴的对称点 量，则下列命题正确的是 A.a,3平行 B.a,3垂直 为-13 C.a,B重合 D.a,B不垂直 C.点(2，-1,3)到平面yOz的距离为1 4.如图，在空间直角坐 D.设{i,j,k}是空间向量的单位正交基底， 若m=3i-2j十4k,则m=(3,-2,4) 标系中，正方体AB 8.(多选)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1), CDA,BCD的棱长 则下列结论正确的是 为1.BE=AB, A.c0s(a,b〉= 25 则BE等于 B.a⊥b A.(o.-1) B(-10,1 C.a∥b D.a=b c.(o.-4 D.(0,-1 9.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4) C(2,一2,3)，则AB与CA的夹角0的大小 5.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3), 是 B(2,-5,1),C(3,7,1),若AB⊥AC,则入 10.已知A(1,2,0),B(0,1,-1),P是x轴上 等于 的动点，当PA=P1时，点P的坐标 A.28 B.-28 为 :当AP·BP取最小值时，点 C.14 D.-14 P的坐标为 ·5 11.棱长为1的正方体 12.如图，在正四棱柱 D ABCD-A1B,CD1中，B ABCD-A1B,CD1中，A E B E,F,G分别为棱 已知AB=2,AA1=5, DD1,DC,BC的中 E、F分别为DD、BB 点，以{AB,AD,AA}为正交基底，求下 上的点，且DE= 列向量的坐标： B1F=1. (1)AE,A户，AG: (1)求证：BE⊥平面ACF; (2)EF.EG,DG. (2)求点E到平面ACF的距离. ·6· (2)若SD⊥平面PAC,求平面PAC 13.如图，四棱锥 与平面ACD的夹角大小. SABCD的底面 是正方形，每条侧 棱的长都是底面 边长的√2倍，P为 侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD. (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存 在一点E,使得BE∥平面PAC.若存 在，求SE:EC的值：若不存在，试说 明理由.9.2[由M、A、B、C四点共面知：一2十1十A=1, 即λ=2.] =-2c2+8=0,G正1Ai, 即CE⊥A'D. (2)解：AC=-a十c,.AC1=√2a, +DM= AA+2 (DA+DO- -9a +号(-AD+AB) :AC.cE=(-a+c)…(b+2c) 2a-2b+c.] 1 11.解：1)0B=O+BB-OA+0元+O0=a .cos(AC.CE)=- las 10 +b+c. AC=AC+CC=AB+A0+AA=OC+ ∴.异面直线CE与AC所成角的余弦值 OO-OA=b+c-a. 为细 (2)法一：连接OG,OH(图略)， 高二数学寒假作业（二） 空间向量的应用 则GH=G0+Oi=-OG+Oi= 温故知新 -2(0+00+20+0 1.(1)有序实数组(x,y,)横坐标纵坐标 竖坐标(2)a=i十以十k(x,y,) 号a+6+e+b)+2a+b+e+e) 精典题练 1.D[由条件知AB=(5,-5,6),.|AB= √25十25+36=√86.故选D.] 法二：连接0C(图略)，易得GHL2C0,则 2.B[取AC中点M,连接ME,MF(图略)， GH-C-(-0)-(e-. 尉正=专A店=(-名号1小，=前 =(-2-2 12解：1)周为a/6,所以气兰号 所以EF=MF-ME=(-2,-3,-3),故 解得x=2,y=一4， 选B.] 则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c, 3.B[w·=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2 所以b·c=0,即-6十8一=0， ×2+2×1=0, 解得x=2,于是c=(3,一2,2). ∴uL,∴.平面a⊥平面.] (2)由(1)得a十c=(5,2,3), 4.C[DA,DC,DDi}为单位正交向量，BE b+c=(1,-6,1), 设a十c与b十c夹角为0， BB:+B,E--IDC+DD:, 因此c0s9=5-12+3=-2 38·√38 19 B屁=(o,-子1小门 13.(1)证明：设CA=a,CB=b,CC=c, 5.D[AB=(-2,-6,-2), 根据题意得|a|=|b|=|cl,且a·b=b·c AC=(-1,6,A-3), =c…a=0.CE=b+2c :AB⊥AC,∴.AB·AC=-2X(-1)-6X6 -2(1-3)=0,解得λ=-14.] 6.B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0), E(2,2,1),F(1.0.2), Ci.i=(+2c小·(-c+ba) ∴AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2), 42 设向量n=(x,y,)是平面AEF的一个法 AG=AB+号AD, 向量， n·AE=2y+x=0 AE=(o1,2)A正=(1 则 取y=1, n·AF=-x+2e=0 得x=一4，x=一2，.n=（-4,1,-2)是平 AG-(1.7.0). 面AEF的一个法向量. (2)EF-AF-AE-号AB+号AA, 因此只有B选项的向量是平面AEF的法向 量，故选B.] 示=（合0，号） 7.ABD[“关于谁对称谁不变”，A正确，B 正确，C中(2，一1,3)到面yOx的距离为2， EG-AG-AE-AB-2AD-2AAI. ∴.C错误.根据空间向量的坐标定义，D 正确.] =(1,-3,-):DG=AG-Ai 8.AD[.向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1), .a=5,b|=5, A店-2AD, a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2, DG=(1,-20 osab=a1:=号- 12.(1)证明：以D为原点，DA、 由上知A正确，B不正确，D正确.C显然也 DCDD1的方向分别为x 不正确.门 轴、y轴、之轴的正半轴，建 9.120°[AB=(-2,-1,3), 立如图所示空间直角坐标 CA=(-1,3,-2), 系，则D(0,0,0)、A(2,0, cos(AB,CA〉 0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、 (-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)=- D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4). √14·4 2, ∴AC=(-2,2,0),AF=(0,2,4), .0=(AB,CA)=120°.J BE-(-2,-2,1),AE=(-2,0,1). 10.(0.0）(30.0） [因为点P在x轴 BE.AC=0.BE.AF=0, ∴.BE⊥AC,BE⊥AF, 上，设P(x,0,0),由PA=|PB, 且AC∩AF-A. 则(x-1)2+4+0=x2+1+1,解得x=2 .BE⊥平面ACF. (2)解：由(1)知，BE为平面ACF的一个法向 点P的坐标为（侵0,0： 量， 又由于AP=(x-1,-2,0). 点E到平面ACF的距离d=AE,B BE BP=(x,-1,1). A.B前=x(x-1D+2=(x-)+子， 3 当x=2时，A户，B驴取最小值子此时点 故点E到平面ACP的距离为 13.证明：(1)求证：连接BD、 P的坐标为（分00）门 交AC于O,连接OP、OS, 因为四边形ABCD是正方 11.解：在正交基底{AB,AD,AA}下， 形，所以AC⊥BD,AO= )A=2A店+Ai+AM,A花=A市+ OC,又因为SA=SC,所以 AC⊥OS, 多 因为BD∩OS=0,所以AC⊥平面SBD, ·43· 因为SDC平面ABD所以AC⊥SD. 5.D[由k1,k3是方程2x2一3.x-2=0的两 (2)由(1)知AC⊥平面ABD, k1=2, 所以AC⊥OP,AC⊥OD, 根，解方程得 2或 所以∠POD是平面PAC与平面ACD所成 k3=2 =-2 二面角的平面角， 又l1∥l2,所以k1=k2, 因数SD⊥平面PAC,OPC平面PAC, 所以SD⊥OP,设AB=a, 2 所以十妇十=1或号.] 所以m∠POD=m∠0SD-9D- 1 6.C[设关于y轴对称的直线的倾斜角为a,则 SD 2a 2' 有a十0=π，所以a=x一0.故选C.] 因为∠POD为锐角，所以∠POD=30°，所以平 7.AD[根据两直线平行的判断，A正确，但B 面PAC与平面ACD的夹角大小为30° 不一定正确，因为有可能斜率均不存在：根据 (3)存在，SE:EC=2:1,理由如下： 垂直的判断，当一条直线斜率不存在，另一条 过B作BQ∥OP,交SD于M, 斜率为零时，两直线才垂直，故C不正确，D 过M作EF∥AC,交SA于F,交SC于E, 正确.] 连接BE, 8.ABC[当a1=30°，a2=120°，满足a1<a2,但是 所以平面AEF∥平面ACP,BEC平面 两直线的斜率1>k2,选项A说法错误；当 AEF,所以BE∥平面ACP, a1=a2=90°时，直线的斜率不存在，无法满足 k1=k2,选项B说法错误；若直线的斜率k1= SO=√SC2-OC2= (w2a)2- 2a 一1，k2=1,满足k1<k2,但是am=135°，2= _6·a 45°，不满足a1<a2,选项C说法错误；若k1= 2 k2说明斜率一定存在，则必有a1=a2,选项D M0=B0·∠MB0=B0.tam30=2a. 正确，门] 2 9.(一5,0)[设P(x,0),由条件kA=2kB,则 _6·a 3 6 2X24解得=-5 -3-x 以瓷器0-2 故P(-5,0).] 10.士2[由题意得m2十√3-4=tan60°=√3， 高二数学寒假作业（三）直线的倾斜角与斜率 解得m=士2.] 温故知新 11.证明：A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3), 1.相交x轴正向 向上平行重合0 0°<a<180 ∴k=二7，二D=2,kc=二3-) -2-1 0-1 2.业y =2...kAB =kAC. x2-x1 :直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同 精典题练 一点A, 1.A[因为斜率k= √3-√② =1,所以倾 ∴.直线AB与直线AC为同一直线. -√2-(-√3) 故A,B,C三点共线. 斜角为45°.] 2.D[设11,12的斜率分别为k1,k2,则有k1· 12.解：1)由钟率公式样6=二8 k2=一1，从而直线1与l2垂直.] ∴.OC所在直线的斜率为3. 3.B[由方程y-2=-V3(x十1)得y= (2)因为OC∥AB,.kC=kAB 一√3x十2一3，.斜率k=一√3，在y轴上的 又CD⊥AB,.kD·kAB=3kD=-1. 截距为2-√3，倾斜角为120°.] ∴kD=- ，故直线CD的针率为-子 4.C[AB的方向向量坐标为(4+1,8+2)，即 (5,10).又(1，k)也是AB的方向向量，.k 13.解：(1)设点D坐标为(a,b),因为四边形 10=2.] ABCD为平行四边形，所以kAB=kD,kAD =kBC ·44·