寒假作业(一) 空间向量及其运算-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业（一） 空间向量及其运算 4.空间向量的数量积 温故知一新 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则 1.空间向量 (1)定义：在空间，我们把具有 叫做a,b的数量积，记作a·b.即a·b三 和 的量叫做空间向量. (2)长度：空间向量的 叫做空间 (2)由数量积的定义，可以得到： 向量的长度或 a⊥b台 ;a·a=aa cos(a,a〉= 2.空间向量的线性运算 空 加法a+b=OA+AB 5.空间向量基本定理 间 定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么 向 减法a-b=O才-O心 对任意一个空间向量p,存在唯一的有序 量 当入>0时，λa= 实数组(x,y,x),使得 的 AOA=P夜 线 0A 数乘 0 其中，把{a,b,c}叫做空间的一个 性 P xdA>o) 运算 当1<0时，aa=λO才 运 -MN N Xa(X<o)M a,b,c都叫做 ,空间任意三个不 算 共面的向量都可以构成空间的一个 当A=0时，Aa=0 基底。 交换律 a+b= 运 (a+b)+c= 精典题-练 算 结合律 A(a)= 律 1.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC (入十)a=a十a, 分配律 (a+b)= 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C一定共面的是 3.空间向量的夹角 A.OM-OA+OB+O元 图示 B.OM=20A-OB-OC b0bB C.0i=0i+号oi+30d 已知两个非零向量a,b,在空间 任取一点O,作OA=a,O=b, 定义 D.0i-Oi+号oi+30d 则 叫做向量a,b的夹角，记 2.在棱长为a的正方体ABCD-A,B,C,D, 作 中，向量BA与向量AC所成的角为 通常规定： ≤(a,b)≤ 范围 当(a,b)= 时，a与b垂直， A.60 B.150° 记作 C.90° D.120° 3.在平行六面体ABCD-A,BCD1中，M 7.（多选)已知正方体ABCD-A,B,CD的 是上底面对角线AC与BD的交点，若 中心为O,则下列结论中正确的有() AB,=a,AD,=b,A1A=c,则B,M可表 A.OA+OD与OB+OC是一对相反 示为 向量 B.O庐-O心与OA-OD,是一对相反 向量 1 C.OA+Oi+O心+Oj与OA+OB,+ C.-ja- 1 2a-2b+c OC+OD是一对相反向量 D.OA-OA与O元-OC是一对相反 D.- 1 2a+2b+c 向量 4.若向量MA,MB,MC的起点M与终点 8.给出下列命题，正确命题的有 ( A,B,C互不重合，且点M,A,B,C中无 A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底， 三点共线，满足下列关系(O是空间任一 d与c共线，d≠0，则{a,b,c}也可以 点)，则能使向量MA,MB,MC成为空间 作为空间的一个基底 一个基底的关系是 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都 A.OM-10A+70B+00 不能构成空间的一个基底 B.MA≠Mi+Md C.A,B,M,N是空间四点，若BA,BM, C.OM-OA+OB+OC B不能构成空间的一个基底，则A, D.MA=2 MB-MC B,M,N四点共面 5.空间四边形OABC中，OA=a,O=b, D.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N =a十c,则{a,b,m}也是空间的一个 为BC中点，则MN为 基底 9.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC 外一点，若由OM=-2OA+OB+AOC B 2 3a+ 确定的点M与A,B,C共面，则A= C. 1 10.在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，M D.号a+号b2c 为AC与BD的交点，若AB,=a,AD =b,A1A=c,用a,b,c表示D1M,则 6.平行六面体ABCDA,B,CD,中，向量AB, DM- AD,AA两两的夹角均为60°，且|AB=1, 11.如图，在正方体 AD1=2,AA1=3,则1ACI等于 OABC-O'A'B'C'中， ( 0i=a,0心=b, A.5 B.6 00=c. C.4 D.8 ·2 (1)用a,b,c表示向量OB,AC: (2)a十c与b十c夹角的余弦值。 (2)设G,H分别是侧面BB'C'C和 13.如图，已知在直三棱柱 O'A'B'C'的中心，用ab,c表示GH. ABCA'B'C'中，AC= BC=AA',∠ACB= 90°，D,E分别为AB, BB的中点. (1)求证：CE⊥A'D; 12.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c= (3,-2,z),a∥b,b⊥c,求： (1)a,b,c; (2)求异面直线CE与AC'所成角的余 弦值。 ·3·参考答案 高二数学寒假作业(一) 空间向量及其运算 $. B [MN=MA+AB+BN-1OA+ B- 温故知新 ##A+1(0代-B)-A+B+0 1.(1)大小 方向 大小 模 2.OB CA b十a a十(b+c) (u)a xa+ab #_。 ___ 3. AOB(a,b)0 n alb# 6. A [在平行六面体ABCDA;B CD 中,有 4.(1) al bcos(a,b) al blcos(a,b) (2)a·b-0 |a②}5.p=xa+yb+c$$ 基底 AC =AB+AD+CC =AB+AD+AA. 基向量 所以有|AC |=|AB十AD十AA |,于是有 精典题练 [AC |=|AB+AD+AA ^2=|AB + 1.D [由OM-0+1B+C. AD{2+AA 12+21AB|·AD|·cos 60” +2lAB|·|AA |·cos 60*+2 AD||AA1 可得3OM=OA+OB+OC→OM-OA+OM -OB+OM-OC-0. ·cos60*-25,所以]AC|-5.] - 7.ACD[:O为正方体的中心,:DA 即AM--BM-CM. _ _。 -OC ,OD=-OB,故OA+OD=-(OB+ 所以AM与BM,CM在一个乎面上,即点M与 _ OC ),同理可得OB+OC=-(OA+OD). __ 点A,B,C一定共面,] __→ __, __- __ , 2.D [如图,BA=BA十AA, 故OA+OB十OC+OD=-(OA+OB+ , BA -v2a,AC=AB+AD. OC+OD). .AC正确;:OB-OC=CB,OA-OD = AC-2a. ( _- _ ____ →→__→_→ .$BA ·AC=BA·AB+BA·AD+AA ·$ D.A,..OB-OC与OA -OD,是两个相等 AB+AA·AD--2. 的向量,..B不正确:'OA-OA=AA;.OC -2 -OC=CC=-AA, .cos(BAAC)= _ 2 2a·2a :OA-OA--(OC-OC). __ .(BA ,AC)-120”] .D正确.] 8.ABCD [根据基底的概念,知空间中任何三 个不共面的向量都可作为空间的一个基底, +BC)_- 显然B正确.C中由BA,BM,BN不能构成空 间的一个基底,知BA,BM,BN共面,又BA 4.C [若MA,MB,MC为空间一组基向量,则 BM.BN过相同点B,知A.B,M,N四点共 M,A,B,C四点不共面,选项A中,因为 面.所以C正确,下面证明AD正确:A假设d 与a,b共面,则存在实数入,u,使得d一xa b,d与c共线,c关0.'存在实数,使得d 中,MA士MB十MC,但可能存在实数入,使 得MA=aMB十uMC,所以点M,A,B,C可 ..c与a,b共面,与条件矛盾,..d与a,b不共 能共面;选项D中,四点M,A,B,C显然共 面,同理可证D也是正确的,于是ABCD四个 面;故选C.] 命题都正确,故选ABCD.1 ·41· 9.2 [由M、A、B、C四点共面知:-2+1+x-1, 即-2.] 即CE|AD. (2)解:'AC=-a+c'AC-②lal. D :AC”·CEF-(-a+e)·(b+) ##1# .cos(AC.CE) 10 11.解:(1)OB$=OB+BB$=OA+OC+ =$$ a{2 2# 10: 十bc. A'-AC+CC-AB+A0+AA'-OC+ __ '.异面直线CE与AC'所成角的余弦值 -oA-b+c-a. 为0 10. (2)法一:连接OG.OH(图略); 高二数学寒假作业(二) _→。 空间向量的应用 _ 则GH=GO+OH=-OG+OH= __ 温故知新 - 1.(1)有序实数组(x,y,c)横坐标 纵坐标 竖坐标(2)a=xi十yj+sk (x,y,) 精典题练 1.D [由条件知AB=(5,-5,6),.AB| 25+25+36-86.故选D.] 2.B[取AC中点M,连接ME,MF(图略), #则-A#--##1)#F-D# -#-2)## 所以EF=MF-ME=(-2,-3,-3),故 解得x-2,y=-4. 选B] 则a-(2,4,1),b-(-2,-4,-1).又bc , 3.B [·-(2,-2,2)·(1,2,1)-21-2 所以b·c=0,即-6十8-x=0. ×2+2×1-0. 解得。-2,于是c-(3,-2,2). '. v.平面。|平面B (2)由(1)得a十c-(5,2,3). 4.C [(DA,DC,DD)为单位正交向量,BE= BE0D b+c-(1,-6,1). __ 设a十c与b十c夹角为9, . 因此cos-5-12+3 .B-(0,-,1)] 38·8 70. 13.(1)证明:设CA-a.CB-b.CC'-c. 5.D [AB-(-2,-6,-2). 根据题意得a =b=c l,且a·b=b·c AC-(-1,6,-3). ·ABAC,.AB·AC=-2X(-1)-6$ -2(-3)-0,解得a--14.] 6.B [设正方体梭长为2,则A(2,0,0). ##CE·AD=(b+)·(-c+b-a) E(2,2,1),F(1,0.2). .AE-(0,2,1),AF-(-1,0,2), ·42·