精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年度九年级第一学期第一次质量监测 数学试卷 ※考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题：（本题满分20分，每小题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于x一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 5. 用配方法解方程，方程应变形为（　　） A. B. C. D. 6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. 25 D. 5 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 点B的坐标为 D. 二、填空题：（本题满分24分，每小题3分） 11. 把方程3x（x﹣1）＝（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c＝0的形式为_____． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且与抛物线的形状和开口方向均相同，则这个二次函数的解析式是_______________． 14. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 15. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为________． 16. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 17. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论是________． 18. 下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________． 三、解答题：（本题满分76分） 19. 解方程（请选择合适方法） （1） （2） 20. 根据下列条件求函数解析式． （1）已知抛物线顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； （2）已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 21. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是，求的值 22. 如图，要设计一个矩形花坛，花坛的长，宽，在矩形花坛的中间有一条横向甬道，两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，其余部分种植草坪．如果使草坪的总面积为．甬道的宽应是多少米？ 23. 已知关于x一元二次方程x2 + 2（k－3）x + k2－9 = 0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 24. 如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在该抛物线上，求的值； （3）若点，此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 25. 开业大酬宾，某生鲜超市以每箱40元的价格购进一种牛奶，计划以每箱60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种牛奶销售量y（箱）与每箱降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若该生鲜超市要想获利2090元，则这种牛奶每箱应降价多少元？ 26. 如图，抛物线过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度九年级第一学期第一次质量监测 数学试卷 ※考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题：（本题满分20分，每小题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、当时，不是关于的一元二次方程，故选项不符合题意； B、是分式方程，故选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，故选项不符合题意； D、整理得：，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2. 下列属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查对二次函数的理解，根据二次函数的定义，二次函数最高次必须为二次，表示形式为的多项式函数，即可判定． 【详解】解：．不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； ．不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； ．，符合二次函数的定义，故该选项符合题意； ．是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 移项后分解因式得到，得出或，求出方程的解即可． 【详解】解： ， 或， 解得：，， 故选：B． 5. 用配方法解方程，方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【详解】解：移项，得， 配方得，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数 6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 8. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. 25 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：解方程，得， 即， ∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理得， 即菱形的边长为， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 10. 如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 点B的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上，可判断；根据抛物线开口向上，对称轴是直线，可得当时，的值随值的增大而增大；根据点的坐标为，可求出点到对称轴的距离，因为点与点对称，可得点的坐标；根据点的坐标是，可知时，在抛物线上对应的点在轴的下方，从而可得正确． 【详解】解：抛物线开口向上，中， 故A选项错误； 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，的值随值的增大而增大， 故B选项错误； 点的坐标为，对称轴是直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离也为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 故C选项错误； 当时，， ， 时，在抛物线上对应的点在轴的下方， ， 故D选项正确．   故选：D ． 二、填空题：（本题满分24分，每小题3分） 11. 把方程3x（x﹣1）＝（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c＝0的形式为_____． 【答案】2x2－3x－5＝0 【解析】 【分析】方程整理为一般形式即可． 【详解】解：方程整理得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．解题的关键是掌握在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为．可将抛物线的一般式化成顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为： 13. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且与抛物线的形状和开口方向均相同，则这个二次函数的解析式是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再根据形状和开口方向均相同可得，由此即可得． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 设这个二次函数的解析式为， 又这个二次函数的图象与抛物线的形状和开口方向均相同， ， 这个二次函数的解析式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 14. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】k＞2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即22﹣4×1×（﹣k+3）＞0， 解得：k＞2． 故答案为：k＞2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 15. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得：， 解得：， ∵，即， ∴， 故答案为： 16. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 17. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论是________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③， 故答案为：②③． 18. 下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得． 【详解】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象 该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确 对于 当时， 即该函数图象一定经过点，结论②正确 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 则结论③错误 的顶点坐标为 对于二次函数 当时， 即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确 综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 三、解答题：（本题满分76分） 19. 解方程（请选择合适的方法） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用配方法即可求解； 【小问1详解】 解： ∴方程有两个不等的实数根 即 【小问2详解】 解：移项，得， 配方，得， 由此可得 20. 根据下列条件求函数解析式． （1）已知抛物线的顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； （2）已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式： （1）设出解析式，再利用待定系数法求解即可； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 小问1详解】 ）解：设抛物线的函数解析， 把点和的坐标代入中得， 解得 ， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设抛物线的函数解析式为， 将点的坐标代入中得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 21. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是，求的值 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．将的图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，可得抛物线的图象，据此即可求解． 【详解】解：∵ =， 当的图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，可得抛物线的图象， ∴ ∴． 22. 如图，要设计一个矩形花坛，花坛的长，宽，在矩形花坛的中间有一条横向甬道，两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，其余部分种植草坪．如果使草坪的总面积为．甬道的宽应是多少米？ 【答案】甬道的宽为． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．如果设甬道的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程． 【详解】解：设甬道的宽度为， 那么草坪的总长度和总宽度应该为，． 根据题意即可得出方程为：， 解得，． ， 不符合题意，舍去， ． 故甬道的宽为． 23. 已知关于x一元二次方程x2 + 2（k－3）x + k2－9 = 0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 【答案】（1）k＜3；（2）12． 【解析】 【详解】试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b2-4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围； （2）利用假设方法，求出它的另一个根． 试题解析：（1）∵△=[2（k-3）]2-4（k2-9） =4k2-24k+36-4k2+36=-24k+72， 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴-24k+72＞0， 解得k＜3， 即实数k的取值范围是k＜3； （2）假设0是方程的一个根， 则代入原方程得02+2（k-3）×0+k2-9=0， 解得k=-3或k=3（舍去）， 即当k=-3时，0就为原方程的一个根， 此时原方程变为x2-12x=0， 解得x1=0，x2=12， 所以它的另一个根是12． 考点：根的判别式． 24. 如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在该抛物线上，求的值； （3）若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 将代入中， 得：， 解得：； 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 25. 开业大酬宾，某生鲜超市以每箱40元的价格购进一种牛奶，计划以每箱60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种牛奶销售量y（箱）与每箱降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若该生鲜超市要想获利2090元，则这种牛奶每箱应降价多少元？ 【答案】（1） （2）9元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求解以及一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据利润公式准确列出方程． （1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式：，根据图像可知： 当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：若牛奶每箱降价元时，生鲜超市获利2090元． 由题意得： 整理得：， 解得：，， ∵让顾客得到更大的实惠， ∴ 答：生鲜超市要想获利2090元，这种牛奶每箱应降价9元． 26. 如图，抛物线过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点P坐标为； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式； （2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标； （2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解． 【小问1详解】 根据题意，得 ， 解得， 抛物线解析式为：． 【小问2详解】 由（1）得， 点，且点， ． ∵当是以BC为底边的等腰三角形 ∴PC=PB， ∵OP=OP， ∴， ∴， 设抛物线的对称轴与轴交于H点，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴， ． 点P坐标为． 【小问3详解】 存在． 理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F． 设，则， 设直线BC的解析式为：，依题意，得： ， 解得， 直线BC的解析式为：， 当时，， 点E的坐标为， ∵点M在第一象限内，且在BC的上方， ， ， ． ∵， ， 解得． 【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $