精品解析：吉林省长春市赫行教育集团2024-2025学年八年级上学期教学质量监测数学试题

赫行教育集团2024-2025学年第一学期教学质量监测 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同角的补角相等 B. 相等的两个角是对顶角 C. 如果，那么 D. 三角形的外角等于两个内角的和 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 5. 如图，在中，于点，交于点，，以点圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．连接，那么的长就是A、B的距离．解决这个问题依据的数学道理是（ ） A. 两边及其夹角分别相等两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 8. 如图，在中，尺规作图如下：分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连结，则线段为三角形的（ ） A. 高线 B. 中线 C. 角平分线 D. 都有可能 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式∶________． 10. 已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是________． 11. 如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为______． 12. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______． 13. 如图，在中，，，，点在边上运动（点与点、均不重合），若的长为整数，则________．（写出一个即可） 14. 如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连结．①；②；③点到三边的距离相等；④．上述结论中，所有正确结论的序号是：________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． （1）在图①中画出一个格点，使是等腰三角形，且面积为3． （2）在图②中画出一个格点，使是以为腰的等腰直角三角形． （3）在图③中画出一个格点，使是等腰直角三角形，且面积为2.5． 19. 如图，某校有一块四边形空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，求这块空地的面积． 20. 如图，在中，点是上一点，过点作交于点，交延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，则的长为________． 21 综合与实践： 根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图①），图②为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且点、、、四点在一条直线上． 素材二 长方形与等腰两种图形无缝隙拼接），且． 【问题解决】 小聪认为：“如果设计的方案中，那么最高点到地面的距离就是线段长”，以下是小聪的证明过程： 证明：过点作于点， ∴． ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴最高点到地面的距离是线段长． 请补全以上证明过程． 22. 如图①，将边长分别为和的长方形分割成四个全等的直角三角形，再用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，中间形成一个小正方形的空洞．若长方形的面积为24，大正方形的边长为5．试通过你获取的信息，解答下面问题． （1）________． （2）求中间形成小正方形的面积． 23. 数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片，，，点为长方形纸片边上一动点，连结，将沿折叠，点落在点处． （1）的长为________． （2）如图①，当点在线段上时，求的长． （3）如图②，在（1）的条件下，当点与点重合时，沿将折叠得，与交于点，则的面积是________． 24. 如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示的长． （2）连结，当时，的长为________．当时，的长为________． （3）当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． （4）当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 赫行教育集团2024-2025学年第一学期教学质量监测 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 分别根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可． 【详解】A、，故选项正确，符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：A 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同角的补角相等 B. 相等的两个角是对顶角 C. 如果，那么 D. 三角形的外角等于两个内角的和 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假判定、补角、对顶角、平方根以及三角形外角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据补角的定义、对顶角的定义和性质、平方根的性质、三角形外角的性质等知识，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 同角的补角相等，该命题是真命题，本选项符合题意； B. 相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意； C. 如果，那么或，原命题是假命题，本选项不符合题意； D. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，本选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式，不符合题意因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 4. 木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：因为若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平， 所以能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 5. 如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合题意证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，在中三角形内角和定理求出，得出． 【详解】解：连接，如图． ， ， 由题意可知， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∵， ， ∴， 故选：B． 6. 如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．图中阴影部分的面积可用“总”、“分”两种方式表示，即可得到数学公式． 本题考查了完全平方公式的几何意义，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 【详解】解：由图可得阴影部分是边长为的正方形，面积为；也可以是 ∴． 故选：C． 7. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．连接，那么的长就是A、B的距离．解决这个问题依据的数学道理是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据题意可知在和中，有两边及其夹角分别相等，即可证明，即得出结论． 【详解】解：由题意可知在和中, ∴， ∴． 综上可知解决这个问题依据的数学道理是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 故选A． 8. 如图，在中，尺规作图如下：分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连结，则线段为三角形的（ ） A. 高线 B. 中线 C. 角平分线 D. 都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线和三角形的中线，可知直线为线段的垂直平分线，即点为线段的中点，据此即可求得答案． 【详解】根据题意可知直线为线段的垂直平分线，即点为线段的中点，所以线段为三角形的中线． 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当腰长为时，由三角形三边数量关系可得不符合题意；当腰长为时，符合题意，由三角形周长的计算方法即可求解． 【详解】解：当腰长为时，即边长分别为， ∵， ∴不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去； 当腰长为时，即边长分别为， ∵， ∴能构成等腰三角形，符合题意； ∴该等腰三角形的周长是， 故答案为：20 ． 11. 如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【详解】解：由于、、都是正方形，所以，； ， 即， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 的面积为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明． 12. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB， ∵AB=2，BC=3.5， ∴CD=BC-BD=3.5-2=1.5． 故答案为1.5． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 13. 如图，在中，，，，点在边上运动（点与点、均不重合），若的长为整数，则________．（写出一个即可） 【答案】5，6，7（写出一个即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，三角形面积计算，过点C作于点D，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据垂线段最短，得出，根据的长为整数，得出可以为5，6，7． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短，点在边上运动（点与点、均不重合）， ∴， ∵的长为整数， ∴可以5，6，7． 故答案为：5，6，7．（写出一个即可） 14. 如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连结．①；②；③点到三边的距离相等；④．上述结论中，所有正确结论的序号是：________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①利用三角形的内角和，角平分线的性质可得，所以，②当是等边三角形时才成立；③根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；④作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ∵只有在等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，故②错误； ，的平分线分别交、于点，，、相交于点， 为三角形的内心， 点到三边的距离相等正确，故③正确； 如图，在上截取， 平分， ， ， ． ， ， ， ， 又平分， ， ． ， ， ，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形角平分线，三角形的内心；全等三角形的判定与性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．并且注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形相等关系． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除，熟练掌握整式的乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 ， ， ． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤． （1）提公因式，即可完成因式分解； （2）首先提公因式2，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式， ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，先利用完全平方公式以及平方差公式将原式展开，合并同类项后得到：原式，再将、的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． （1）在图①中画出一个格点，使是等腰三角形，且面积为3． （2）在图②中画出一个格点，使是以为腰的等腰直角三角形． （3）在图③中画出一个格点，使是等腰直角三角形，且面积为2.5． 【答案】（1）见详解 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，熟练掌握三角形面积公式、勾股定理、等腰三角形的定义是解题关键． （1）取格点，连接，结合，可知该三角形为等腰三角形，且，即可获得答案； （2）取格点，连接，结合，，可知该三角形为等腰直角三角形，即可获得答案； （3）取格点，连接，结合，，可知该三角形等腰直角三角形，且，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 如下图，即为所求； 【小问3详解】 如下图，即为所求． 19. 如图，某校有一块四边形空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理的应用，连接，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和，进行求解即可，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形． 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形面积 ， ∴这块空地的面积为． 20. 如图，在中，点是上一点，过点作交于点，交延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，则的长为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，据此即可求证； （）由可得，进而由直角三角形的性质可得，又可得是等边三角形，得到，进而得据此即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质和判定，余角性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 21. 综合与实践： 根据以下素材，解决问题． 设计拍照打卡板 素材一 小聪为学校设计拍照打卡板（如图①），图②为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且点、、、四点在一条直线上． 素材二 长方形与等腰两种图形无缝隙拼接），且． 【问题解决】 小聪认为：“如果设计的方案中，那么最高点到地面的距离就是线段长”，以下是小聪的证明过程： 证明：过点作于点， ∴． ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴最高点到地面的距离是线段长． 请补全以上证明过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意利用全等三角形的判定和性质即可求解； 【详解】解：在和中， ， ∴， ． 22. 如图①，将边长分别为和的长方形分割成四个全等的直角三角形，再用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，中间形成一个小正方形的空洞．若长方形的面积为24，大正方形的边长为5．试通过你获取的信息，解答下面问题． （1）________． （2）求中间形成小正方形的面积． 【答案】（1）25 （2）1 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质及直角三角形．解题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角形、小正方形间的数量关系． （1）根据勾股定理，大正方形的边长为5，求出即可； （2）根据，，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵大正方形的边长为5， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∴中间形成小正方形的面积为1． 23. 数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片，，，点为长方形纸片边上一动点，连结，将沿折叠，点落在点处． （1）的长为________． （2）如图①，当点在线段上时，求的长． （3）如图②，在（1）的条件下，当点与点重合时，沿将折叠得，与交于点，则的面积是________． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，三角形全等的判断与性质，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）根据勾股定理求值即可； （2）根据折叠的性质得，再设，，再由勾股定理列方程求解即可； （3）根据折叠的性质得出，则，设，则，再由勾股定理列方程求解出，再由即可求出的面积． 【小问1详解】 解：为长方形， 为直角三角形， ，， ． 【小问2详解】 由折叠可知，， ， ， 设， 则，， ， 在中，， 即， 整理得， 解得． 的长为． 【小问3详解】 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 整理得， 解得， ， ，， ． 24. 如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）用含代数式表示的长． （2）连结，当时，的长为________．当时，的长为________． （3）当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． （4）当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2）；5 （3）2或3 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，涉及勾股定理、等腰三角形的性质角平分线的性质， 根据正方形的性质求得，根据勾股定理求得，分别求得顶点处的时间，分点P在线段上运动和在线段上运动求解即可； 结合和已知时间对应求解即可； 根据等腰三角形的性质分和，分别列出关系式求解即可； 根据已知可知点P在角平分线上，分点P在线段上和点P在在线段上，利用等面积法列关系式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，以为边作正方形， ∴ ∵在中，，，， ∴， 当点P在线段上运动时，，此时； 当点P在线段上运动时，，此时； 故当时，；当时，； 【小问2详解】 解：当时，此时点P在线段上，则； 当时，此时点P在线段上，则； 【小问3详解】 解：∵是以为腰的等腰三角形， 当，则，解得； 当，则，解得； 【小问4详解】 解：∵点到四边形的一组邻边距离相等， ∴点P在角平分线上， 当点P在线段上时，如图， 则点P到的距离为4， 那么，，即，解得； 当点P在在线段上时，如图， 则点P到的距离为， 那么，， 即， ，解得； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$