中考数学八类最值问题汇总01（瓜豆，隐圆，胡不归，阿氏圆，将军饮马，逆等线，费马点，构造二次函数求最值）-2025届中考数学复习

2025届中考复习 2025届中考复习专题：八类最值问题汇总 总览 题型解读 模块一：将军饮马等8类常见最值问题 2 【题型1】两定一动型（线段和差最值问题） 8 【题型2】 双动点最值问题（两次对称） 14 【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 19 【题型4】垂线段最短 24 【题型5】相对运动平移型将军饮马 28 【题型6】化斜为直，斜大于直 36 【题型7】构造二次函数模型求最值 41 【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 46 模块二：阿氏圆与胡不归最值问题 51 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 52 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 59 模块三：阿氏圆与胡不归最值问题 64 【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 66 【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1） 74 【题型3】一内一外提系数 76 【题型4】隐圆+阿氏圆 78 模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型） 85 【题型1】平移，对称或构造平行四边形 86 【题型2】构造SAS型全等拼接线段 91 【题型3】加权逆等线 97 【题型4】取到最小值时对其它量进行计算 107 模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型） 112 【题型1】构造中位线 122 【题型2】直线型轨迹（三种解题策略） 127 【题型3】线段和 139 【题型4】圆弧型轨迹 142 【题型5】加权线段和 147 【题型6】路径长度类问题 152 【题型7】取到最值时求其它量 157 模块六：费马点最值问题 163 【题型1】普通费马点最值问题 173 【题型2】 加权费马点·单系数型 183 【题型3】加权费马点·多系数型 186 模块七：隐圆最值问题 198 【题型1】定点定长得圆 203 【题型2】直角的对边是直径 209 【题型3】对角互补得圆 214 【题型4】定弦定角得圆 220 【题型5】四点共圆 225 【题型6】相切时取到最值 227 【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 231 【题型8】米勒角（最大张角）模型 236 模块八：二次函数中的最值问题 241 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 241 【题型1】铅垂高最值 252 【题型2】构造二次函数模型求最值 256 【题型3】几何构造求最值 263 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一：将军饮马等8类常见最值问题 一、单动点问题 【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大 原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、双动点问题（作两次对称） 【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小 问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N， 原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长 【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小 问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N 原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ 【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值 问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求 原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、动线段问题（造桥选址） 【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值 问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值 问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值 原理：通过平移构造平行四边， 四、垂线段最短 【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小 问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求 原理：点到直线，垂线段最短， 五、相对运动，平移型将军饮马 【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想 过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题 策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9. 六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹 【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？ 问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线 七、化斜为直，斜大于直 【问题13】已知：是斜边上的高 （1）求的最大值；（2）若，求的最大值 问题解决：取BC中点M，（1）则；（2） 八、构造二次函数求最值 这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值． 【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 . 问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知，， ，，∴，， ∴， ，在时有最大值，最大值为 【题型1】两定一动型（线段和差最值问题） 【例题1】透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】13 【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝13（cm）． 【例题2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交， 则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′， 过点C′作C′D⊥OA于D， ∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°， ∴∠OCC′=90°-30°=60°， OC=1，CC′=2×1×=1， ∴CD=，C′D=， ∵顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°， ∴AC=3-1=2， ∴AD=2+=， 在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′=== 【巩固练习1】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（    ） A．160 B．150 C．140 D．130 【答案】A 【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线， ∵，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 即PA+PB的最小值是； 如图所示，延长AB交MN于点， ∵，， ∴当点P运动到点时，最大， 过点B作，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， 即，∴ 【巩固练习2】如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．    【答案】10 【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，      易知四边形、、为矩形，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设两点运动时间为，则，， 则有，即， ∵， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， 作点关于直线的对称点，如图， 则，， 由轴对称的性质可得， 当三点共线时，的值最小，即取最小值， 此时，在中，， ∴的最小值为 【巩固练习3】探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为 ，已知，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，利用勾股定理求的最小值即可；构造图形如图，过点作交于，求的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，   ， 则，， 此时的值最小为：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 如图，，   ， 则， ， 的最大值为的长度， 过点作交于， 则四边形为矩形， ， ， ， 的最大值为 【题型2】 双动点最值问题（两次对称） 【例题1】四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 。 【答案】70 【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD， 连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA＝BA′，MB⊥AB， ∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″， ∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD， ∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）， ∵∠BAD＝125°， ∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°， ∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°． ∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70° 【例题2】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 【答案】100 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：，， ， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【巩固练习1】如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为　 　。 【答案】6 【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′， 交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值； ∵AD＝2，AE＝BE＝1， ∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1， ∴AE′＝3，AA′＝4， ∴A′E′＝＝5， ∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6． 【巩固练习2】如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，由对称的性质可得，，，，则，可知当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，由，可得，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，    由对称的性质可得，，，， ∴， ∴当四点共线时，的周长最小为， 如图，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴，， ∴，由勾股定理得 【巩固练习3】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案． 【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接， 由作图得：，， ∴的周长， ∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 过D作交直线于P， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点P与点B重合， ∴， ∴ ∴的周长最小值为，    【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为 ． 【答案】（-1，0） 【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标． 【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C， 可知四边形B′B″DC为平行四边形， 则B′C=B″D， 由对称性质可得：BC=B′C， ∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″， 则此时AB″最小，即AD+BC最小， ∵A（3，6），B（-2，2）， ∴B′（-2，-2）， ∴B″（-1，-2）， 设直线AB″的表达式为：y=kx+b， 则，解得：， ∴直线AB″的表达式为：y=2x， 令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0）， ∴点C坐标为（-1，0）， 故答案为：（-1，0）． 【例题2】如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ． 【答案】． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 由平移的性质可知：, ∴四边形的周长为； 要使其周长最小，则应使的值最小； 设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移； ∴，， 将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：， 将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，, ∴， 当B、E、三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为：， ∴，当时，∴ ∴， 将E点坐标代入解析式可得：， 解得：，此时， 此时四边形的周长为； 当时，，，，， 此时四边形的周长为： ； ∵， ∴当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为： 【巩固练习1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，∵D（0，4）， ∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4）， ∴ED=EH， 将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4）， ∴EF=HG，EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴EH=FG， ∴FG =ED， ∵B（-4，6）， ∴BD=， 又∵EF＝3， ∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF, 要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小， 而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小， 设直线BG的解析式为： ∵B（-4，6），G（-3，-4）， ∴， ∴， ∴， 当y=0时，， ∴， ∴ 故答案为：． 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接， 是等腰直角三角形， ，， 将直线：向上平移个单位长度得到直线， ，， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值， 点，点， ， 折线的长的最小值为 【题型4】垂线段最短 【例题1】如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________． M F O A E N P 【答案】 【解析】在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H． M F O A E G N P H ∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE， ∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF， ∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH． ∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝． 【例题2】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，    平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为 【巩固练习1】如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线， ∵, ∴, ∴， ∴，∴，∴则PQ的最小值为 【巩固练习2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_________． M D C B A P N E 【答案】 【解析】分别过点M，N作CD的垂线，垂足为M，N． M D C B A P N G H E 由题意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2． ∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°． ∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH， ∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG． ∵点E为AD的中点，∴tan∠ECD＝， ∴由12345模型可知tan∠DCM＝， ∴sin∠DCM＝，∴MG＝＝， ∴MN＋NP的最小值为． 【巩固练习3】如图，在矩形中，于点，，，、分别是、上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据矩形的性质和解直角三角形可得，利用勾股定理得到，可得，如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接，可得点和点关于对称，根据垂线段最短可得的最小值为，然后在中，利用，即可得出答案． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴点和点关于对称， ∴，， ∴， ∴，当点，，共线时，的最小值为， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【题型5】相对运动平移型将军饮马 【例题1】如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．    【答案】 【分析】 先证明四边形是平行四边形 法一：过C作BD的平行线l，可以理解为点C相对线段AB是在直线l上运动，把B关于l对称得到点E，AE即所求 法二：作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，通过证明，可得，通过证明，可得，最后由勾股定理即可得到答案． 法一简析 【详解】 法二：解：根据题意可得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 如图所示，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，   ， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 【例题2】如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值是________．    【答案】3 【详解】 法一：相对于MN，A点在平行于BD的直线上运动 法二：MN=AB=,那么根据题意当AM⊥MN时，AM+AN最短. ∵∠CDB=（已求），DC∥AB ∴∠MBA=∠CDB= ∵AM⊥MN,MN∥AB ∴∠MAB= ∵AB= ∴AM=1 ∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得 则AM+AN=1+2=3 ∴当BN⊥CD时，AM+AN有最小值3 【例题3】如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且．    将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______． 【答案】， 【分析】设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点． 【详解】，， 补充求解过程如下： 设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线， 将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：      由平移的性质可知，， ∴的值最小就是最小值， 显然点在直线上运用， 作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，    ∵点C关于直线对称的对称的点是点， ∴， ∴， 设直线的解析式是： 将点，代入得：，解得： 直线的解析式是： 令，解得：，∴， ∴平移的距离是 又∵， ∴平移前的抛物线的坐标是 ∴新抛物线的顶点坐标为即 故答案是：，． 【巩固练习1】如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 。 【答案】 【解答】如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P， ∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长， 过A作AD⊥BC于D， ∴AD∥y轴， ∵A′A∥y轴， ∴A′、A、D三点共线， ∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2， ∴AD＝BD＝1，P（0，3）， ∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5， ∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝， ∴PA+PB的最小值是． 【巩固练习2】如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。 【答案】 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°， ∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO， ∴AO＝AC＝3， ∴BD＝＝18， ∵ED＝OF， ∴EF＝OD＝9， 如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，当CHE三点贡共线时，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小． ∵AH＝EF，AH∥EF， ∴四边形FEHA是平行四边形， ∴FA＝EH， ∵EA＝EC， ∴AF+AE＝EH+CE＝CH， ∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°， ∴AC＝AB＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AH∥DB， ∴AC⊥AH， ∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH＝＝3， ∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周长的最小值＝3+9 【巩固练习3】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 。 【答案】 【解答】解：连接AB″． ∵AB＝B″C′，AB∥B″C′， ∴四边形ABC′B″是平行四边形， ∴AB″＝BC′， ∴△BC′B″的周长＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2， ∵AB″+BB″最小时，△BC′B″的周长最小， 作点A关于直线B′B″的对称点T，连接BT交B′B″于B′″，连接AB″′，此时AB′″+BB′″的值最小，设AT交B′B″于E．则AE＝AB′•sin60°＝，∴AT＝2AE＝2， 过点T作TP⊥AB交BA的延长线于P．则AP＝AT•coS30°＝3，PT＝AT＝， ∴． ∴BB″+BC′+B″C′的最小值为 【题型6】化斜为直，斜大于直 【例题1】如图，直线，分别为直线上的动点，连接，线段交直线于点．设直线与之间的距离为m，直线与之间的距离为n，若，，且，则m＋n的最大值为_____． 【答案】 延长AB，CG＝BD＝10，取CG中点M，BF≤BM＝5⇒m＋n≤ 【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 ． 【答案】3 【解析】简析1 如图2，分别过点A、P作BD的垂线，垂足依次为E、G，则△AET∽△PGT，故＝，从而＝＝1＋＝1＋，又AE＝，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大；过点C作C⊥BD于点，交⊙C于另一点，易知即为PG的最大值，此时＝2C＝2AE，因此的最大值为3； 图2 图3 简析2 如图3，过点P作AD的平行线，交直线BD于点Q，则△ADT∽△PQT，故＝＝1＋＝1＋＝1＋．再作PG⊥BD于点G，易得PQ＝PG，从而＝1＋PG，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大，下略； 简析3 如图4，过点P作BD的平行线，交AD的延长线于点Q，则＝＝，要使最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次与⊙C相切，切点为，且交AD的延长线于点Q'，此时AQ'即为AQ的最大值；连接P'C并延长，交BD于点G'，再作DH⊥P'Q'于点H，可证DH＝P'G'＝2CG'＝，则DQ'＝DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值为9，的最大值为3； 图4 图5 简析4 如图5，连接PB、PD，同上可证＝1＋，要使最大，只需使最大；易证＝，且＝，故＝＝＝，即＝，要使最大，只需使S△PBD最大，即点P到BD的距离最大，下略． 反思：这里提供的四种解法，都是借助相似或面积法转化目标线段比(即)．方法一最为直接，轻松转化为所谓“圆线距离”；方法二通过作“横平坚直辅助线”，构造相似，将“斜接段之比”(即)转化为“直线段之比”(即)，再借助“定角定比”，将“直距离”(即PQ)转化为“斜距离”(即PG)；方法三依然通过作平行线构造相似，将“斜线段之比”(即)转化为“直载段之比”(即)．再借助平移变换，找到相切位置即为所求最大位置；方法四则是将线段比转化为面积比，通过面积法解决问题．四种解法，各有千秋，殊途同归，并且有许多共通之处． 【巩固练习1】如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________． A F B D E C 【答案】 16－ 【解析】过点E作EH⊥BC于点H． A F B H D E C ∵等边△ABC的边长为4，∴∠B＝60°，AC＝4． 由题意， EF＝AE． 设CE＝2x，则EF＝AE＝4－2x，则EH＝． ∵EF≥EH，∴4－2x≥， 解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值为16－． 【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为 。 【解答】显然AB//QC,所以PQ≥CD= 【巩固练习3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为 . 【答案】 【解答】由解析提示可知：，解得：,所以 【巩固练习4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路径长为_________． C D B E A 【答案】， 【解析】取BE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥AC于点G． C G D B E A F 则DF≥FG，BE＝2DF． 当DF⊥AC时DF最小，BE最小，AE最大． ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4． 设DF＝x，则BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4， ∴x＝，∴AE＝，＝， ∴AE的最大值为，点E运动的路径长为． 【题型7】构造二次函数模型求最值 【例题1】如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转 90°得到，连接．则的最小值是 【答案】 【分析】过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，根据勾股定理表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图1所示，过点C作轴交x轴于D，设， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为18，∴的最小值是． 【例题2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ． 【答案】 10 【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案． 【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于， ，，， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， 设，则， ， ， 的最大值为， 故答案为，． 【巩固练习1】如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大． 【答案】4 【详解】解：根据题意得：， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大 【巩固练习2】如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝，BC＝BD＝1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM长度的最大值为_____________． A B D C Q P M 【答案】 提示：分别过P、Q作AB的垂线，垂足分别为E、F A B D C Q P M F E 由已知条件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60° 设AP＝x，则AQ＝PC＝ －x 则S△PAQ ＝ AM·PE＋ AM·QF＝ AM·AP＋ AM·AQ ＝ AM( AP＋AQ )＝ AM( x＋ －x )＝ AM 又S△PAQ ＝ AP·AQ·sin60°＝ x( －x )·＝－ ( x 2－ x ) ∴AM＝－ ( x 2－ x )，∴AM＝－( x 2－ x )＝－( x－ )2＋ ∴当x＝ 时，AM的长取得最大值 【巩固练习3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝ AC，过点P的直线分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________． A D F C B E P 【答案】6 提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H 由AP＝ AC可得AG＝PH＝ AB＝ ，AH＝PG＝ AD＝1A D F C B E P G H 设GE＝x，则AE＝x＋ 由△EGP∽△PHF，可得HF＝ ，AF＝1＋ S△AEF ＝ AE·AF＝ ( x＋ )( 1＋ )＝ ( x＋ ＋ )＝ ( － )2＋ ∴△AEF的面积的最小值为 ∵AP＝ AC，∴S四边形AECF ＝4S△AEF ∴四边形AECF的面积的最小值为6 【巩固练习4】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________． E F B C D A 【答案】 提示：作CG⊥BA交BA的延长线于点G，作EH⊥BA交BA的延长线于点H E F H B C D A G M 则△CDG≌△DEH，∴DG＝EH ∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60° 作AM⊥BC于M ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝ BC＝2 ∴AM＝ ，AB＝AC＝ ，AG＝ AC＝ ，BG＝2 ∴S△BDE ＝ BD·EH＝ ( 2－DG )·DG＝－ DG 2＋DG＝－ ( DG－ )2＋ ∴当DG＝时，△BDE的面积有最大值为 【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 【例题1】在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，取AB的中点T，连接DT，CT，证明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得结论． 【详解】解：如图，取AB的中点T，连接DT，CT， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∵AT=TB， ∴CT=AT=TB， ∴△BCT是等边三角形， ∴∠TBC=∠DBE=60°， ∴∠DBT=∠EBC， 在△DBT和△EBC中， ∴△DBT≌△EBC（SAS）， ∴DT=CE， 欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可， 作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL， ∵AC⊥BL，CL=CB， ∴AL=AB， ∵∠ABL=60°， ∴△ABL是等边三角形， ∵AT=TB=1， ∴LT⊥AB， ∴LT=BT=， ∵DT+DB=DT+DL≥LT=，∴DT+DB的最小值为，∴BE+EC的最小值为． 【例题2】如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，首先证明，点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，再利用勾股定理进行求值即可． 【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，且的延长线与x轴交于点M， ∴、是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴点B在直线上运动， 作点O关于直线的对称点E，与交于点F，连接、连接交于点T， 当点B与T重合时，的值最小， ∵,， ∴， 根据对称得：，，， ∴， ∴、 ∵， ∴， ∴的最小值为：， 故选：B．    【巩固练习1】等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小． 【详解】解：如图，连接， 、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则，， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， ， ． 周长：． 故答案为：． 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ． 【答案】 【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小． 【详解】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN． ∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形， ∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°， ∴＝，∠BAM＝∠HAN， ∴△BAM∽△HAN， ∴∠AHN＝∠B＝90°， ∵∠AHB＝45°， ∴∠NHC＝45°， ∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD． 当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小， ∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9， ∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1， ∵∠CTH＝∠HTJ＝45°， ∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝ 模块二：阿氏圆与胡不归最值问题 胡不归模型讲解 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小． 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 【例题1】如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短． 【详解】如图，作于H，于，交AO于． ∵运动时间， ∵，， ∴， ∵，C（1，0），，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， ， ∴， ∴， ∵，设，则， 则有： ∴或（舍去）， ∴ ∴ 【例题2】如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °； （2）的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案； （2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）过点P作于点E，过点M作于点F，    在中， 由（1）知：， ∴， ∴， 在矩形中， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为2 【例题3】如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P，      则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得，即； 过点D作轴于点G，    直线与x轴的交点为，则， ∴，∴， ∴， 即的最小值是 【巩固练习1】如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过作， 菱形，， ，，即为等边三角形，， 在中，， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ， 在中，， 则的最小值为． 故答案为：． 【巩固练习2】如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6 【巩固练习3】如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒． 【答案】 【分析】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，可得，利用角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为解题即可． 【详解】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P， 令，则， 解得或， ∴A，B两点坐标为，， ∴， ∵A，B两点关于对称， ∴， ∵顶点C到x轴的距离为， ∴ ∴， ∵都是的高， ∴， 由题意得动点运动的时间为， ∵是等边三角形，， ∴， ∵作， ∴， ∴， 显然在l上另取一点，连接， ∵， ∴当时，运动时间最短为， 故答案为：． 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 【例题1】如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴， ∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， ∴的最小值为 【例题2】如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 　3　． 【答案】3 【解答】解：作，过点作于点， 则此时最小， ，，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：3． 【巩固练习1】如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：作，过M作交于一点即为点P， ∵， ∴， ∴， ∴当时的值最小， ∴在中，, 故答案为； 【巩固练习2】如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 【答案】 【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为．故选：． 【巩固练习3】如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：的度数为，，是直径，， ，作，于，于，连接． ，，在中，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， ， ， 在中， ，， ， 的最小值为，故选：． 【巩固练习4】如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     【答案】 【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当共线时，的值最小， 即的最小值为， 【法一：正切和角公式】详情见本专辑1-3 “12345模型” ，故△AHC的三边之比为，则答案为 【法二：常规法】 ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴，∴，故答案为． 模块三：阿氏圆与胡不归最值问题 阿氏圆模型讲解 【模型来源】 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似． 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝OB， 连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。 【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 【例题1】如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，． 求①；②；③；④的最小值． 【解答】解：①取的中点，连结，， ，，，， ，，，， ，当在上时，最小， 最小值为的长，，的最小值为， ②，的最小值为， ③在取一点，使 ，， ，，，， ，当在上，， ，的最小值为， ④，的最小值为． 【例题2】如图，正方形ABCD边长为2，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+PD的最小值为______． 【答案】 【例题3】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解． 【详解】解：连接，∵为的直径，， ∴， ∵在中，， ∴，， 在上截取，过作于，于，连接、， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，是公共角， ∴， ∴，则， ∴，当共线时取等号， 故的最小值为， 故答案为：． 【巩固练习1】如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值． 【巩固练习2】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解． 【详解】解：连接，∵为的直径，， ∴， ∵在中，， ∴，， 在上截取，过作于，于，连接、， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，是公共角， ∴， ∴，则， ∴，当共线时取等号， 故的最小值为， 故答案为：． 【巩固练习3】如图，等边三角形ABC边长为4，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋CP的最小值为______________． 【答案】 【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋PN的最小值为_______________ 【答案】 【巩固练习5】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．    【答案】 【分析】在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵，、 ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为．    【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1） 【例题1】如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为，P是圆O上一动点，PA+PB的最小值为________． 【答案】 【巩固练习1】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________． 【答案】12 【巩固练习2】如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断． 【详解】解：延长到，使得，连接，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，，， ， ， 的最小值为 【题型3】一内一外提系数 【例题1】如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使， ， ， ， ， ， ， 在延长线上取， ， 则， 又， ， ， ， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ， 的最小值为， 故答案为：． 【巩固练习1】如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　 【解答】解：(1)如图，连接，，交于点，连接，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当、、在一条直线上时， ， . (2)延长CD至点H，使CH=2CD 显然，由（1）可知 ∴ 由勾股定理可得，，故. 【题型4】隐圆+阿氏圆 【例题1】如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在上取一点G，使得连接．根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接．      ∵四边形为菱形，， ∴，， ∵，P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值， 此时 【例题2】如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∴点在以为圆心，以为半径的圆上， 在线段上取一点，使得，则    ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值    ， ∴的最小值为： 【巩固练习1】如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】 【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，． ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，的最小值为 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是　 　． 【答案】 【解答】解：如图，取一点，连接，，， 、、， ，， 以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，， ，， ， 、、、四点共圆， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的最小值是 【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离公式，即可求出的最小值，即可得． 【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，    ∵、，， ∴，， 以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接， ∵，， ∴， ∴A，P，B，Q四点共圆， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G， ∵，， ∴ ∴点F的坐标为， ∵， ∴ ∵，即, ∴的最小值是 模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型） 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 分析思路： ① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求 此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值 ⑤ 求BF 【题型1】平移，对称或构造平行四边形 【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ． 【答案】10 【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可． 【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG， ∵，EF＝CG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴CE＝FG， ∴AF+CE＝AF+FG， ∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG， 由勾股定理得，AG＝＝＝10， ∴AF+CE的最小值为10 【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________． A D B C F E O 【答案】 【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝＝． ∵EF⊥AC，∴由矩形内十字架模型可知， ＝，∴＝，∴EF＝． 以EF，EC为邻边作□EFGC，则EC＝FG，CG＝EF＝， A D B C F E O G ∠ACG＝∠EOC＝90°． 在Rt△ACG中，AG＝＝， ∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝， ∴AF＋FE＋EC的最小值为． 【巩固练习1】如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DPBQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PBDQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∵BE=2AB=12，BC=AD=5， ∴CE==13． ∴PC+PB的最小值为13 【巩固练习2】如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解． 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接    由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为 【巩固练习3】如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，． （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】(1)根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM； (2)过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM=EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可． 【详解】解：(1)∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∵M是BC的中点， ∴BM=BC=1， ∴， 故答案为：； (2)过F作FG⊥AB于G，则FG=BC=AB，∠ABM=∠FGE=90°， ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°， ∴∠BAM=∠GFE， ∴△ABM≌△FGE(ASA)， ∴AM=EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小， 此时，∴EM+AF的最小值为 【题型2】构造SAS型全等拼接线段 【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是___________． D A B C E F 【答案】3 提示：作AG⊥AC且AG＝BC，连接BG、EG D A B C E F G H 则△GAE≌△BCF，BF＝GE BE＋BF＝BE＋GE≥BG 解△ABG得BG＝3，BE＋BF的最小值是3 【例题2】如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ，， ， ， 即取得最小值时，CM的长为， 故答案为：． 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________． A B C D E F 【答案】 提示：作BG∥AC且BG＝AB，连接GE，作GH⊥BC于H A B C D E F G H 则∠GBH＝∠C＝30°，GH＝1，HB＝ BF＝，HF＝2，GF＝ △ABD≌△BGE（SAS），BD＝GE BD＋EF＝GE＋EF≥GF＝，最小值为 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________． A B C D N E M 【答案】4 提示：连接AN A B C D N E M A′ 由题意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN ∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN 延长AB至点A'，使A'B＝AB，连接A'N、A'D 则AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D 当A'、N、D三点共线时DM＋DN的值最小 此时A'N＝DN，∴AN＝ A'D＝DN ∴点N在线段AD的垂直平分线上 ∴BN＝ BC＝2，∴AN＝AB＝2 ∴DM＋DN≥A'D＝2AN＝4 即DM＋DN的最小值为4 【巩固练习3】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________． A D B C E F 【答案】2 提示：作BG⊥AB且BG＝AB，连接AG、EG A D B C E F G 则AD＝BG，∠ADF＝∠GBE＝30° 又∵DF＝BE，∴△ADF≌△GBE，∴AF＝EG ∴AE＋AF＝AE＋EG≥AG＝AB＝2 即AE＋AF的最小值为2 【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】如图：过点C作使，连接；证可得，；将最小值可转化成最小值，则当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；；再根据求得、，即；再运用待定系数法求得直线表达式，最后将代入表达式求得x的值即可解答． 【详解】解：如图：过点C作使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴最小值可转化成最小值， 当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度； ∵， ∴， ∴ 设表达式为:，由题意可得： ， 解得：， ∴表达式为:， 将代入得: ， 解得：， ∴D点坐标为． 故答案为：． 【巩固练习5】如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取，则,证明得出，进而证明，即可证明，得出，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，取，则,连接，    ∵，， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动，点在以为圆心为半径的圆上运动， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又，， ∴， ∴， 当时，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中， 【巩固练习6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 　 　． 【答案】 解：过B作BF∥AC，在平行线上取BF＝AB，连接EF，如图： ∴∠EBF＝∠A， ∵BF＝AB，BE＝AD， ∴△BEF≌△ADB（SAS）， ∴EF＝BD， ∴BD+CE＝EF+CE， 当C，E，F共线时，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即为CF的长度， ∵BF∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠FBC＝90°， ∴CF＝＝， ∴BD+CE最小为， 故答案为：． 【题型3】加权逆等线 【例题1】如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作于，使，连接、，即可得到，，即最小值为的长． 【详解】方法一：过作于，使，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时有最小值，最小值为的长 ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为 方法二：，则，， ∴， 设， ∴ ∴可以看成点到点和的距离之和， ∴当、、三点共线时最小，最小值 【例题2】如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)最小值为12 【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解； （2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解． 【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB， ∵∠BAD = 120°， ∴∠CAB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BO=AB▪sin60°==， ∴BD=2BO=； （2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6， 由（1）得：BD=； 菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6， ∴MN⊥BC， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴∠EBN=30°； ∴EN=BE ∵， ∴MN=， 设BE=，则EN=， ∴EM=MN-EN=， ∵S菱形ABCD= AD▪MN=， ∴S△ABD= S菱形ABCD=， ∵BE=DF， ∴DF=， ∴S△DEF=DF ▪EM= =， 记四边形ABEF的面积为s， ∴s= S△ABD - S△DEF =-（）， ∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即； 作CH⊥AD于H，如图， ∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上， ∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值； 在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°， ∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=， ∵，∴当，即BE=时， s达到最小值， ∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置， ∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值， ∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12． 【其它几何构造方法】 法2：核心是处理，刚好有，还有CE和CF两个动点需要拼一起，所以考虑把△CDF放大倍后拼到BE处 过B作CE＋＝CE 法3：过D作DG⊥CD，取△DGF∽△BCE 则 法4：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来，延长CD到G使CG＝BD，作GH∥AD交CF于H，作GO⊥CG且，下略 法5：CE对称转化为AE，过B作BI⊥AB，BI＝BD＝AB⇒△CDF∽△IBE 由于对称性，CE＝AE，所以拼在上面也可以~这个算凑数吧 法6：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来 延长DC到G使作交AD于H 作DO⊥DC，且DO＝AB＝6⇒△CDF∽△GDH， ⇒△DOH≌△BCE，CE＝OH 则有 法7：先把BE缩小放大倍到IH，再把△CDF拼过来 在BC上取，过H作HI∥BD交CE于I，作HG⊥BC，则HG＝AB⇒△CIH∽△CEB，BE＝HI，HI＝DF⇒△CDF≌△GHI⇒CF＝GH 故 【例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．    【答案】． 【分析】作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】解：作，    设， ， 且相似比为， 则， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即，解得：， 则，则， 过点作轴于点，则，即点的纵坐标为：， 同理可得，点的横坐标为：，即点， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 【巩固练习1】如图，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE＝2BD，则AE＋2CD的最小值为________ 【答案】 解：作CF⊥CB，且使得CF=6，连接EF 过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G ∵=2 ， ∴△FCE∽△CBD，EF=2CD ∴AE+2CD=AE+EF 当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF 易知：四边形ABCG为正方形 AG=3,CG=3 FG=9 在Rt△FAG中，由勾股定理得 AF= AE+2CD的最小值为 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 。 【答案】 【解答】解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD， ∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF， ∴∠DBA＝30°， ∴BD＝2AD， ∵BF＝2DE， ∴＝＝2， ∴△DBF∽△ADE， ∴＝＝2， ∴DF＝2AE， ∴AF+2AE＝AF+DF， ∵FB⊥AT，BA＝BT， ∴FA＝FT， ∴AF+2AE＝DF+FT≥DT， ∵DT＝＝ ∴AF+2AE≥， ∴AF+2AE的最小值为 【巩固练习3】如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点， ，求的最小值. 【答案】 解：作BF⊥BC 并且使得BF=2，连接EF ∵=== ∴△BEF∽△ADC ∴EF= CD ∴AE+CD=AE+EF 当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF 反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H 在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF= ∴AE+CD的最小值为 【题型4】取到最小值时对其它量进行计算 【例题1】如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为________ 【答案】（0，4） 解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），∴AB＝AC＝8， 取点F（3，8），连接CF，EF，BF． ∵C（3，0），∴CF∥OA，∴∠ECF＝∠CAO， ∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠CAO＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ECF， ∵CF＝AB＝8，AD＝EC， ∴△ECF≌△DAB（SAS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF， ∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值为线段BF的长， ∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小， ∵直线BF的解析式为：y＝x+4， ∴H（0，4），∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4） 【例题2】如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值． 【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2 ∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值 由题意可得：CD=,AE= ∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和 ∴当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 ∴ 当y=0时，x=． 【巩固练习1】如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ． 【答案】105° 【分析】解：如图，作，使，连接交于点F，连接,则.可证，从而得证，于是，.当点N与点F重合时，取最小值．于是． 【详解】解：如图，作，使，连接交于点F，连接, ∵是等边三角形， ∴，. ∴， ∴， ∵， ∴. ∴. 又∵， ∴. ∴. ∴. 当点N与点F重合时，,取最小值，则取最小值． 此时，． 故答案为：    【巩固练习2】如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 　 　． 【答案】30° 解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD， ∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°， ∴∠ACD＝30°， ∴∠BAH＝∠ACD， 在△ABP和△CDQ中， ，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB， ∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q， ∴∠APB＝∠AQB，∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，故答案为：30°． 【巩固练习3】如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ． 【答案】 【分析】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，可证得，得到BN＝DM，AM+BN＝AM+DM，则有当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，即有，利用BDAC，证得，得到，设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x，再利用已知的线段长度即可求出x，即问题得解． 【详解】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，如图： 在△CBN与△BDM中， ， ∴， ∴BN＝DM， ∴AM+BN＝AM+DM， ∴当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，AM+BN最小为AD， 此时， ∵BDAC， ∴， ∴， ∵∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2， ∴， 设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x， ∴，解得x 模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型） 初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚 一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同． 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 【例题1】三种处理策略 如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60°，得到P’，EP’的最小值 【分析】 结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型 第一层：点P’运动的轨迹是直线吗？ 答：是直线，可以通过P在A，D时，即始末位置时P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明. 第二层：点P’的运动长度和点P的运动长度相同吗？ 答：因为点P’与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉手结构，通过全等证明. 第三层：手拉手模型怎么构造？ 答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的轨迹即线段AD中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段AD中的点A绕C点逆时针旋转60°，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便． 第四层：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为B为定点，所以得到P’轨迹为直线BP’ 第五层：点P和点P’轨迹的夹角和旋转角的关系 答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现. 大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？ 答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下． 将点EC绕点C顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即为点G到AD的距离． 要注意的是因为要代换P’E，所以E点的旋转方式应该是从P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹时的旋转方式则是PP’，注意区分. 解析 策略一：找从动点轨迹 连接BP’， 由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠PCP’， ∴△ACP≌△BCP’(SAS)， ∴∠CBP’＝∠CAP， ∵边长为4的等边三角形ABC中，P是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAP＝30°，BD＝2， ∴∠CBP’＝30°， 即点P’的运动轨迹为直线BP’， ∴当D P’⊥B P’时，EP’最短， 此时，EP’＝+ED＝+2＝3 ∴EP’的最小值是3 策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段 将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G，连接PG，CG，EP’ 由旋转可得EC＝ CG， CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°， ∴△ECG是等边三角形，EG＝2 ∵∠PCP’＝∠ECG ∴∠PCG＝∠EC P’ ∴△GCP≌△ECP’(SAS)， ∴EP’＝GP， 过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求． ∵∠GEC＝∠ACD ∴HE∥DC ∵∠GHD＝∠ADC ∴HG∥DC 故G，E，H三点共线，则有HE∥DC 又E是AC中点，分线段成比例可知H是AD中点 ∴HE＝ ∴EP’的最小值是3 总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹 2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹. 3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题 已知点，点B是直线y＝－2上一个动点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC. 角度1：反向旋转构造手拉手（不用求从动点轨迹，直接转换为垂线段最短） （1）求OC的最小值 【简析】如图，构造等腰直角△AOE，由旋转相似可知 角度2：构造手拉手求从动点轨迹 （2）求的最小值 【简析】，求出C点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点，构造旋转相似，易知，可知C点轨迹为，作，，补充：此时加权线段和对应三边之比 角度3：构造旋转相似求加权线段和 （3）记，①求的最小值；②求的最小值 【简析】①由旋转相似可知，则 ②，补充：此时加权线段和对应相似比 【瓜豆圆介绍】 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2 【小结】 确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 【题型1】构造中位线 【例题1】如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值． 【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，    ∵正方形的边长是8， ∴，，， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴三点共线， ∴点G的运动轨迹是线段， ∵， ∴当点G和点H重合时，线段值最小， ∴， ∴，即线段的最小值为 【例题2】如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值． 【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，    ∵正方形的边长是8， ∴，，， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴三点共线， ∴点G的运动轨迹是线段， ∵， ∴当点G和点H重合时，线段值最小， ∴， ∴，即线段的最小值为 【巩固练习1】（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为3，故选A．    【巩固练习3】如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点P，使，则长的取值范围为 ________． 【答案】 【分析】以为斜边作等腰直角三角形，延长至点E．使，连接．利用等腰直角三角形的性质得出利用相似三角形的性质求出，再利用三角形中位线的性质求出，由是等腰直角三角形，，得出垂直平分，进而求出，继而利用三角形的三边关系即可求出答案． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点E．使，连接、． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】直线型轨迹（三种解题策略） 【例题1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　． 【分析】 现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目 策略一：找始末，定轨迹 我们分别以BE，AE为边，按题目要求构造等边三角形得到G1与G2，连接G1与G2得到点G的轨迹，再作垂线CH得到最小值. 前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG1＝60°， 进一步得到△MBG1为等腰三角形后，求CH就不难了，可得 策略二：在点F轨迹上找一点进行旋转，解出从动点轨迹 我们分别对A，B顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹， 对A点旋转会得到一个正切值为的角，即，然后进一步算出最值 或 【简证】,则 对B点旋转得到∠EMG＝∠FBE＝90°，相对来说要容易一些.  策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段. 讲点C逆时针旋转60°，得到点H，易证△CGE≌△HFE，则有CG＝HF，作MH⊥AB于M，HM即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.  【例题2】如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．    【答案】 【分析】 思路一：构造手拉手得出BC中点轨迹 思路二：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案． 【法一简证】如图，取BC中点M，作RT△OAN，∠AON＝30°，则， 由旋转相似可知△AOB∽△ANM，故∠ANM＝90°，故M点轨迹为，当则，而， 故 【法二详解】解：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，    ∵点C的坐标为， ∴，， 在中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 【巩固练习1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为 【答案】 【分析】策略一：得到G点轨迹直线后，画出起点G1和终点G2 策略2：旋转相似: 【解析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E． △ADH∽△PDG， ∴△ADP∽△DHG， ∴∠DHG＝∠DAP＝定值， ∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH＋∠HDF＝90°，∵∠DAH＋∠ADH＝90°， ∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH＋∠CDH＝90°，∠FHC＋∠FHD＝90°， ∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1．5，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3， ∴AC＝＝5，DH＝＝∴CH＝＝∴EH＝＝ ∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF， ∴△CGF≌△HEF(AAS)，∴CG＝HE＝∴CG的最小值为 【巩固练习2】如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值．    【思路点拨】将顺时针旋转60°，作等边，根据手拉手模型可知，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，利用勾股定理求解即可求解． 【答案】 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接，在上取一点使得，    ∵，，，∴，∴， ∴，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，∵四边形时平行四边形 ∴，∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴ 设，则，，在中， ∴，解得，∴ 即的最小值为 【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．    【答案】2 【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2． 【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF， ∴∠APF=60°，PF=PA， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=AF， 如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形， 则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°， ∵AO⊥P1F1， ∴P1O=F1O，∠AOP1=90°， ∴∠P1AO=30°，且AO=4， 由勾股定理得：， ∴， ∴点F1的坐标为， 如图，当点F2在y轴上时，    ∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O， ∴AO=F2O=4， ∴点F2的坐标为（0，-4）， ∵， ∴∠OF1F2=60°， ∴点F运动所形成的图象是一条直线， ∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短， 设直线F1F2的解析式为y=kx+b， 则， 解得，∴直线F1F2的解析式为y=x-4，∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1， ∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2， 设点O到F1F2的距离为h，则， ∴，解得h=2，即线段OF的最小值为2 【巩固练习4】如图，矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点在射线上运动，推出当时，的值最小，进一步即得答案． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于．    四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， （）， ， 点在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为 【巩固练习5】如图，在中，，，对称轴交于点，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则长的最小值为 ．    【答案】 【分析】在上取一点，使，连接，根据全等三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，    ，， ， ， 旋转角为， ， ， ， ， 又旋转到， ， ， ， 根据垂线段最短，时，最短，即最短，如图所示：    ，， ， 【巩固练习6】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　　　． 【分析】 策略一：反向构造＋伸缩 如图从主动点F到从动点G可以理解为，将线段FE绕定点E顺时针旋转了45°再缩短为原来的，反向构造则需要把CE绕点E逆时针旋转45°，再扩大变为原来的倍，得到EH，显然△ECH为等腰直角三角形，进一步得到，相似比为，所以． 策略二：求轨迹——以BE为底向上作等腰Rt△BHE，易得G点轨迹所在直线为BD，故CG最小值为 【变式训练】双动点 1． 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，F为AB边上一点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则AG的最小值为　　　　． 【分析】 虽然是双动点，仍可以操作操作 策略一：代换所求线段 ，取AH＝AF，易知，则有，变中有不变．  策略二：求轨迹，以BE为底向上作等腰直角三角形BHE，显然H点在对角线BD上，由相似可知∠EHG＝90°，故G点轨迹为BD， 其本质还是旋转相似.  其他方法：对角互补＋邻边相等可得全等，显然MG＝NE，故BG平分∠ABC，则点G轨迹对应直线BD． 【题型3】线段和 【例题1】如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为 【巩固练习1】如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接，由矩形的条件和旋转的性质可得，，可说明四边形是矩形，然后由正方形的性质可得到，，从而说明是的垂直平分线，进一步推导出，当点，，三点共线时，取最小值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是直线上一动点， ∴， ∴当点，，三点共线时，取最小值， 在中，，， ， ∴的最小值是． 故答案为：． 【巩固练习2】如图，已知∠CAB＝30°，AB＝2，点D在射线AC上，以BD为边作正方形BDEF，连接AE、BE，则AE＋BE的最小值为___________． C A B D E F 【答案】＋ 提示：以AB为边作等腰Rt△ABG，连接GE C A B D E F G B′ H 则GB＝AB，EB＝DB，∠GBE＝∠ABD＝45°－∠GBD ∴△GBE∽△ABD，∴∠EGB＝∠CAB＝30°，∴∠AGE＝75° ∴点E在直线GE上运动 作点B关于GE的对称点B′，连接AB′、BB′、B′E、B′G 则∠B′GB＝60°，B′G＝BG ∴△B′GB是等边三角形，∴B′G＝B′B 又∵AG＝AB，AB′＝AB′，∴△AB′G≌△AB′B ∴∠GAB′＝∠BAB′＝45°，∠GB′A＝∠BB′A＝30°，∴AB′⊥BG 设垂足为H，则AH＝BH＝ AB＝ ∴B′H＝BH＝，∴AB′＝AH＋B′H＝＋ ∴AE＋BE＝AE＋B′E≥AB′＝＋ 即AE＋BE的最小值为＋ 【题型4】圆弧型轨迹 【例题1】如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为　　　　． 【答案】 【解答】解： 【法一：解出C点轨迹】 如图，作，在上截取，连接、、、． ，，，， 是等腰直角三角形，，， ，，，， ，点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆，， 的最大值为，的最小值，． 【法二：反向构造手拉手】 【简析】易知，，故 【例题2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是_________． D A B C 分析：旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理． 思路：定点为B，A、D两点旋转相似中的定位是一样的，BD是斜边，则构造以AB为斜边的等腰直角三角形， 思路2：将AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BD，BE，DE，证△EBD∽△ABC， 可得DE＝＝，由AD≤AE＋DE，可得AD的最大值． 总结：熟悉模型，补全结构 【答案】 【解析】 法一：如图，构造等腰直角三角形ABE，由旋转相似可知， 而，故 法二：将AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BD，BE，DE． E D A B C 由题意，△ABE和△BCD都是等腰直角三角形， ∴BE＝，BD＝，∠ABE＝∠CBD＝45°， ∴＝＝，∠EBD＝∠ABC， ∴△EBD∽△ABC，∴＝＝， ∴DE＝＝． ∵AB＝8，AD≤AE＋DE， ∴AD的最大值是． 【巩固练习1】如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ，的值最小为 【巩固练习2】如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求的最小值即可； 【详解】解：如图，取中点T，连接，      ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴的最小值为 【巩固练习3】如图，点P是正方形ABCD所在平面内一点，∠APB＝90°，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接AQ，若AB＝2，则线段AQ的最大值为___________． A D B C P Q 【答案】＋1 提示：连接CQ，过点Q作QE⊥CQ交BC延长线于点E A D B C P Q E M 由题意，可得△DAP≌△DCQ（SAS） ∴AP＝CQ，∠DAP＝∠DCQ，∴∠BAP＝∠ECQ ∴△ABP≌△CEQ（ASA） ∴∠CQE＝∠APB＝90°，CE＝AB＝2 取CE中点M，连接AM、QM 则QM＝CM＝ CE＝1，∴BM＝3，AM＝ ∵AM－QM≤AQ≤AM＋QM，∴－1≤AQ≤＋1 【题型5】加权线段和 【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为边AD上一动点，以CE为边向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，连接BE，BF，求BE＋的最小值． A D B C E F 【答案】 【解析】解：以BC为斜边向下作Rt△BCG，使∠CBG＝30°，连接EG． A D B C H G E F G′ 则CG＝＝，△BGC∽△FEC，∴△EGC∽△FBC， ∴＝＝，∴EG＝． 作点G关于AD的对称点G'，连接G'G交BC于点H，连接G'B，G'E． 则G'G⊥BC，CH＝＝，GH＝， BH＝，G'H＝， ∴BG'＝＝， ∴BE＋＝BE＋EG＝BE＋EG'≥BG'＝， ∴BE＋的最小值为． 【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，），点P是x轴上的一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转120°得到AQ，连接OQ，PQ，求＋PQ的最小值． x y O A P Q 【答案】 【解析】解：连接AO，将线段AO绕点A逆时针旋转120°得到AR，连接RQ， x y O A G P H Q R A′ 过点A作AG⊥x轴于点G． ∵∠OAR＝∠PAQ＝120°，∴∠OAP＝∠RAQ． ∵AO＝AR，∵AP＝AQ，∴△AOP≌△ARQ， ∴OP＝RQ，∠AOP＝∠ARQ． ∵A的坐标为（1，），∴OG＝1，AG＝， ∴tan∠AOP＝＝，∴∠ARQ＝∠AOP＝60°． ∵∠OAR＝120°，∴AR∥x轴． ∵AP＝AQ，∠PAQ＝120°，∴PQ＝， ∴＋PQ＝( OQ＋AQ )． 作点A关于QR的对称点A'，连接AA'，A'R，A'Q， 过点A' 作A'H⊥x轴于点H． 则A'R＝AR＝AO＝2OG＝2，∠A'RQ＝∠ARQ＝60°， ∴∠A'RA＝120°，∴A'R∥AO， ∴相当于将线段AO平移到A'R， ∴A'（4，），∴OH＝4，A'H＝， ∴A'O＝＝， ∴＋PQ＝( OQ＋A'Q )≥＝ 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求． 【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E， ∵点A的坐标为（0，2）， ∴OA=OD=2， ∴OE=AE=1， ∴， ∴点D的坐标为； ∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形， ∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°， ∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD， ∴△BAO≌△PAD（SAS）， ∴∠PDA=∠BOA=90°， ∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动， 当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合， ∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP， ∴AO=PO=2， ∴此时点P的坐标为（0，-2）， 设直线PD的解析式为， ∴， ∴， ∴直线PD的解析式为； 如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H， ∴点H的坐标为， ∴， ∴∠OCH=30°， ∴， 由轴对称的性质可知AP=GP， ∴， ∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°， ∴AD=GD，即点D为AG的中点， ∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为， ∴AG=2AD=2OA=4， ∵AC=4，∠CAG=60°， ∴△ACG是等边三角形， ∵OC=OA， ∴OG⊥AC，即点G在x轴上， ∴由勾股定理得， ∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长， ∴的最小值为， 故选：C． 【题型6】路径长度类问题 【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E从点A运动到点D，以CE为边在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为_________，点F运动的路径长为_________． F D A G C E B 【答案】， 【解析】 法一：如图，作等腰直角三角形AGC，易知△ACF∽△GCE，且 而，由12345模型可知,故，则 故AF的最小值为，又因为，故F的路径为点E路径的倍，故F的路径为 法二：延长AD到点P，使DP＝DC，连接FP，过点F作AD的垂线，垂足为H． 注：F D P A G C B 由一线三等角全等模型可知△CDE≌△EHF，(注：也可以用旋转相似来证) ∴EH＝CD＝DP，ED＝FH， ∴ED＝HP，∴FH＝HP，∴∠P＝45°． 当AF⊥FP时AF最小，最小值＝＝( 4＋2 )＝． ∵∠FHP＝90°，FH＝HP，∴FP＝＝． 当动点E从点A运动到点D时，DE的长从AD变化到0， ∴点F运动的路径长为＝． 【巩固练习1】如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ． 【答案】 2 15 【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为△ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN， ∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点 ∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合， 当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合， ∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线， ∴． 故G的运动路径=2， 过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA， ∴△FEH∽△EBA， ∴ 为的中点， ∴ 设AE=x， ∵AB ∴HF       ∴当 时，△CEF面积的最小值 【巩固练习2】如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    【答案】 【分析】过作交延长线于点，证明，得到即可求解；过作交于点，交于点，证明，得到，故点的运动轨迹是一条平行于的线段，当点与重合时，，当点与重合时，由得到，即，从而求解． 【详解】解：过作交延长线于点    则四边形为矩形， ∴ 由题意可得： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 过作交于点，交于点，如下图    ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴， 故点的运动轨迹是一条平行于的线段， 当点与重合时， 当点与重合时，， ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得 ∵、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴，即点运动的路径长为 【巩固练习3】 【题型7】取到最值时求其它量 【例题1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为 【答案】 120°/120度 75°/75度 【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′． ∵△BPP′是等边三角形， ∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE， ∴∠ABP＝∠EBP′， 在△ABP和△EBP′中， ∴△ABP≌△EBP′（SAS）， ∴∠BAP＝∠BEP′＝90°， ∴点P′在射线EP′上运动， 如图1中，设EP′交BC于点O， 当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°， 当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°， ∴EO＝OB，OP′＝OC， ∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC， ∵BC＝2AB， ∴EP′＝AB＝EB， ∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°， ∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°， ∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75° 【巩固练习1】如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点P，如图， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最小， 此时， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴；    【巩固练习2】如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，且BE＝CD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转120°得到DF，连接CF，当CF取得最小值时，求的值． A F D C B E 【答案】3 【解析】解：如图1，在AB上截取BG＝BD，连接AD，DG， A G F D C H B E F A D C M E B 图1 图2 过点F作FH∥AC，交BC于点H． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴AG＝CD，△GBD是等边三角形， ∴BD＝GD，∠BGD＝∠GBD， ∴∠AGD＝∠EBD． ∵BE＝CD，∴AG＝BE， ∴△AGD≌△EBD，∴AD＝DE． ∵DE＝DF，∴AD＝DF． ∵FH∥AC，∴∠FHD＝∠ACB＝60°＝∠EGD． ∵△GBD是等边三角形， ∴∠BDG＝60°，∴∠GDH＝120°， ∵∠EDF＝120°，∴∠EDG＝∠FDH， ∵DE＝DF，∴△EDG≌△FDH， ∴DG＝DH，EG＝FH， ∵AG＝BE，∴AB＝EG，∴FH＝AB＝AC， ∴四边形AFHC是平行四边形， ∴AF∥BC，∴当CF⊥BC时CF最小． 如图2，过点A作AM⊥BC于点M． 则BM＝CM，四边形AMCF是矩形， ∴AM＝CF． ∵AD＝DF，∴△ADM≌△FDC， ∴DM＝DC，∴BD＝3CD，∴＝3． 【巩固练习3】如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，，∴， 由（1）可得，∴，∴， 在中，， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵，∴，过点作，于点， ∴，， ∵，∴， ∴，中， 模块六：费马点最值问题 【常规费马点】 【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC， 当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数. 【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC，PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’， 如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120° 【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论： 1 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心； 2 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时） 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． 【答案】 【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！ 如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果． 【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______． 【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG， 易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF 过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值． 【加权费马点】 如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段， 一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120° 另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比 【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩 【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，易知P’P＝PC， A’B即为所求 方法一：如图2，B，P，P’，A’共线时取最小，此时∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝2， PC＝CH－PH＝，∴PP’＝，PB＋PP’＋A’P’＝ 方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝，由勾股可得A’B＝ 【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一） 如图4，将三角形BPC绕点B旋转45°，再扩大为原来的倍，得到 则 补充：也可以按图5方式旋转 【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转120°，则有PP’＝PC， 【策略二：旋转放缩】如图2，△APC绕点A逆时针旋转30°，再扩大为原来的倍， 则，计算略 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。 以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法： 1. 将最小系数提到括号外； 2. 中间大小的系数确定放缩比例； 3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。 【例3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________ 【简答】（1）将最小系数提到括号外，得到 中间大小系数为，故放大倍数为倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC． 如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，． ． （2）将最小系数提到括号外，得到， 如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，． 【练习3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则的最小值为________． 【简答】将△PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到， ，，， ，，由勾股定理可得，的最小值为. 【题型1】普通费马点最值问题 【例题1】已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋PC的最小值为________ 【解析】如图，将△APC逆时针旋转30°，得△AP’C’，BC’即PA＋PB＋PC最小值，考虑到 ∠BCA＝30°，∴∠BCC’＝90°，作AH⊥BC，可得BC＝3，∴BC’＝ 【例题2】如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ． 【答案】 【分析】将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点H、E、P、C共线时，有最小值． ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 在中，， 即点P到三个顶点之和的最小值是 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则的最小值为_________． C A B P 【答案】 【解析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°到△AB′P′，连接P′P，B′C． P' B' C A B P 则AB′＝AB＝2，PB＝P′B′，∠BAB′＝60°，PA＝P′A，∠PAP′＝60°， ∴△P′PA是等边三角形，∴PA＝P′P． ∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴AC＝＝， ∴B′C＝＝． ∵PA＋PB＋PC＝P′P＋P′B′＋PC≥B′C， ∴PA＋PB＋PC的最小值为． 【巩固练习2】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【解题思路】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 【巩固练习3】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)． 【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可； （2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可； （3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可； （4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可． 【详解】（1）解：连结PP′， ∵≌， ∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形， ,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在△P′PC中，PC=5， ， ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， 故答案为150°； （2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′， ∵△APB≌△AB′P′， ∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP， ∵， ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上， ∴过的费马点． （3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′， ∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，， ∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt△CBB′中，B′C= ∴最小=CB′=； （4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′， ∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°， ∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形， ∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF， ∴BF=，BF=， ∴AF=AB+BF=2+， ∴AB′=， ∴最小=AB′=． 【题型2】 加权费马点·单系数型 【例题1】已知，如图在中，，，，在内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是 ． 【答案】． 【分析】把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，可求DD′= ，在Rt△CEB′中，可求CE，AE= ，BE= ，当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，可求AB′=BD++AD=． 【详解】解：把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E， 则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°， ∴DD′=CD÷cos45°=， ∵，， ∴， 在Rt△CEB′中， ∴CE=B′C·cos60°=5， ∴AE=AC+CE=6+， ∴BE= B′C·sin60°=5， 当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短， ∴AB′最短=， AB′=B′D′+D′D+AD=BD++AD=． 故答案为：． 【巩固练习1】如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得，于是所求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可得的最小值即为线段的长，然后求出的长即可解决问题. 【详解】解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作交的延长线于点F，过点A作于点M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为的长（当点E、D、P、B四点共线时取最小值）， ∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则在直角三角形中，， ∴，∴ 【巩固练习2】如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点．将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 连接，连接， 则，，共线，， ， ， 点是的中点， ， ， ， 由折叠成， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 两点间线段最短， ， 即 ， ， 则的最小值为． 故答案为：．    【题型3】加权费马点·多系数型 【例题1】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP＋4BP＋PC的最小值 【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，在P’C，A’C上取M，N，使CM＝CP’，CN＝CA’， 易知PM＝PC， MN＝P’A’＝PA， 3AP＋4BP＋5PC＝4（MN＋BP＋PM）≤ BN 【巩固练习1】在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）²的最小值 【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，取P’C，A’C的中点M，N 易知PM＝PC， MN＝P’A’＝PA， 则AP＋BP＋PC＝MN＋BP＋PM≤BN，BN²＝20＋即为所求 【巩固练习2】如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8） 【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可； （2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解； （5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可； （6）由可由（5）得：的最小值为26； （7）由可由（4）得的最小值为； （8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为 同理可证为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值为； （2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵∠ACB=30°， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴∠AEC=90°，∠ACE=60°， ∴∠CAE=30°， ∴ ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， 过点C作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵∠ACB=30°， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴∠AEC=90°，∠ACE=3°， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； （4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接 由旋转的性质得，，，， ∴，，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当，，，共线时最小，最小为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到， 同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为， ∵，在中，， ， 最小为； （6）∵ ∴由（5）得：的最小值为26； （7）∵ ∴由（4）得的最小值为； （8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到， 同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小． 在中，，， 过点作交BC延长线于E， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，的最小值为． 【巩固练习3】在中，，，的角平分线交于，过作射线的垂线，垂足为，连接，当取大值时，在内部取点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】延长交于点，过点作边上的高，得出，则，根据是的角平分线，得出，设，则，过点分别作的垂线，垂足为，得出，，则当最大时，取得最大值，进而可得当时，取得最大值，则，延长至，使得，作，，连接，构造，可得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作边上的高，    ∵的角平分线交于， ∴ 又 ∴， ∴， 则 ∵是的角平分线，设到的距离为，则到的距离也为， ∴ ∴， 设，则 ∵ ∴， 过点分别作的垂线，垂足为    ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴当最大时，取得最大值， 设边上的高为    ∴ ∴ ∴当时，取得最大值， 则，则是等腰直角三角形，则， 如图所示，延长至，使得，作，，连接    ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 当三点共线时，最小，此时如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴ 在中， 模块七：隐圆最值问题 一、定点定长得圆 在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算 二、直角的对边是直径 前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90° 今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类) 三、对角互补 前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆 四、定弦定角模型 定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算． 前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用) 今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动) 五、四点共圆模型 前世:在⊙O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用 六、定角定高（探照灯模型） 什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则△ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。 问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。 所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值． 当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决． 七、米勒角（最大张角）问题 【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大? 米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题. 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即 问题解决 证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大 ∴当圆与直线l相切时，∠APB最大 【题型1】定点定长得圆 【例题1】如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？ 【答案】4 【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为为固定点，G在圆上运动，可知当A'、G、D三点共线时，此时A'G最短，为4 【例题2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得，∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是 【巩固练习1】在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 ．    【答案】4 【思路点拨】根据三角形不等式得到，当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】∵， ∴当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值， ∵, ∴的最小值为2， ∴， ∵矩形，， ∴ ∴ 【巩固练习2】如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】 【详解】解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示： ③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示： 在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得， 当三点共线时，最小为， 接下来，求的长：连接，如图所示 根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得 【巩固练习3】如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时，    ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时 当在上时，如图所示，此时    综上所述，的最小值为 【题型2】直角的对边是直径 【例题1】如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________． C B G D A E F 【答案】 【解析】取AD的中点M，连接BM，GM， C B M G D A E F 则DM＝AM＝＝＝1， ∴BM＝＝＝． ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°． ∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF， ∴∠ADE＝∠BAF． ∵∠BAF＋∠DAF＝90°， ∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DGA＝90°． ∵GM＝＝1． ∵BG＋GM≥BM，∴BG≥BM－GM， ∴BG的最小值为． 【例题2】在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】作于，取中点，连接，，由直角三角形的性质求出的长，的长，的长，的长，得到的长，由勾股定理求出的长，由，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，    ，，， ，， 是中点，，，是中点， ，，是的中点，， ，，， ，，，的最小值是 【巩固练习1】如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】取的中点F，连接，，CF，则．由与相切，可得，通过解直角三角形可得，，．根据是的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为． 【详解】取的中点F，连接，，CF，则 ∵与相切， ∴，即， ∵，， ∴， ． ∵点F是的中点， ∴， ∴在中，． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，即的最小值为 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________． x B A O D C y E F 【答案】（，） 提示：取BC中点M，连接OF、OM、FM x B A O D C y E F M G H 则FM＝CM＝ BC＝3，OM＝＝5 OF≤OM＋FM＝8，当点F在OM延长线上时OF最大 作CG⊥OF于G，FH⊥BC于H 则△FMH≌△CMG（AAS），∴FH＝CG，MH＝MG 在△COM中，由面积法可得CG＝ ，勾股得MG＝ ∴FH＝ ，MH＝ ，∴F（，） 【巩固练习3】如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为 【巩固练习4】如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】连接，根据矩形的性质可得，，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图1，连接，    四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：    当，，三点共线时，的值最小，∴， ∴，∴的最小值为 【题型3】对角互补得圆 【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________. 解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC． ∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE， ∴四边形EFCB对角互补， ∴B，C，F，E四点共圆， ∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5， ∵OB＝OF， ∴OE＝OB＝OF＝OC， ∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上， ∴∠EBF＝∠ECF， ∴tan∠EBF＝tan∠ACD， ∴ 【例题2】（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论． 【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∵O是EF的中点， ∴OB=OE=OF ∵∠EGF=90°，O是EF的中点， ∴OG=OE=OF ∴OB=OG=OE=OF ∴B，E，G，在以O为圆心的圆上， ∴∠EBG=∠EFG, ∵∠EGF=90°， EG=FG， ∴∠GEF=∠GFE=45° ∴∠EBG=45° ∴BG平分∠ABC， ∴点G在∠ABC的平分线上， 当CG⊥BG时，CG最小， 此时，如图2， ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°， ∵CG⊥BG ∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90° ∴BG=CG ∵∠EGF=∠BGC=90° ∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF, ∴∠EGB=∠FGC, 在△EGB和△FGC中， ∴△EGB≌△FGC(SAS)， ∴BE=CF ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC 设AB=m ∵BE∶AB=1∶3 ∴CF=BE=m， 在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB =30° ∴AC =2AB= 2m   ∴BC= ，∴AD=m，∴ 【巩固练习1】如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点在的外接圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为 【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　 　． 解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O， 连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD为等边三角形， ∴OA＝OD＝OC＝AD＝2， ∴∠AFD＝90°，则DF＝， ∵EF是△AOC的中位线， ∴EF＝OC＝1， 在△DEF中，DF﹣EF≤DE， ∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为 【巩固练习3】如图，正方形的边长为4，点E是边上的动点，过点E作交于点F，点G在上，且，点M、N分别为、的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，连接，交于点，证明，，连接，，而，，证明，，可得，，，在以为直径的圆上，，则在线段上运动，当时，最短，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵正方形的边长为4， ∴，， 连接，，而，， ∴为等腰直角三角形， ∵点M为的中点， ∴，， ∴， ∴，，，在以为直径的圆上， ∴， ∴在线段上运动， 当时，最短， ∵为的中点， ∴，此时为等腰直角三角形，∴ 【题型4】定弦定角得圆 【例题1】如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】作辅助线，建立全等三角形，证明和，证明，再作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，计算和的长，计算其差可得结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 是等边三角形， 四边形是菱形，，    ，，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， 如图，作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ， ， ， 连接，交于，交于，此时最小，是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为 【例题2】如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB 2＋AC 2的最大值为___________． D B C A 【答案】6 提示：作△ADC的外接圆，作EC⊥BC交圆于点E，连接BE、CE、DE D B C A H E 作AH⊥BC于H，则DE是圆的直径 ∵∠DEC＝∠DAC＝45°，∴△EDC是等腰直角三角形 ∵BC＝2，∴BD＝DC＝1，∴DE＝DC＝ ∵AB 2＝AH 2＋BH 2＝AH 2＋( 1＋DH )2，AC 2＝AH 2＋CH 2＝AH 2＋( 1－DH )2 ∴AB 2＋AC 2＝AH 2＋( 1＋DH )2＋AH 2＋( 1－DH )2＝2＋2( AH 2＋DH 2 ) ＝2＋2AD 2≤2＋2DE 2＝6 即AB 2＋AC 2的最大值为6 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积的最大值为____________． A B C D 【答案】 提示：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E A B C D E 则△BDE∽△CDA ∵BD＝3DC，∴DE＝3AD＝3，∴AE＝4 ∵∠BAC＝120°，∴∠ABE＝60° ∴△ABE是定边定角面积最大问题，a＝4，θ＝30° ∴△ABE的面积的最大值为： ＝4 ∴△ABD的面积的最大值为，△ABD的面积的最大值为 【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________． A B C P 【答案】2 提示：作BD⊥AC于D ∵∠BAC＝60°，∴AD＝ AB＝ ，BD＝ DC＝AC－AD＝ ，BC＝＝7 ∵∠BPC＝120°，∴点P在以BC为弦的一段圆弧上运动 A B C O P D E H 设圆心为O，连接OA、OB、OC、OP 则∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP ∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120° ∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝ BC＝ 设圆弧交AC于点E，连接BE、OE 则OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60° ∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE ∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE 设垂足为H，则BH＝ AB＝ ，AH＝ OH＝＝ ，AO＝AH＋OH＝， ∴AP≥AO－OP＝2，即AP长的最小值为2 【巩固练习3】在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】先证明，根据定长定角构造辅助圆，当与相切时，最大，此时最小，设半径，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于的方程，表示出即可求出的最小值． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在对角线上运动时，的大小保持不变， 作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F， 则，， 当与相切时，最大，此时最小， 设，则菱形边长为，， ∴在中， 在中， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的最小值是 【题型5】四点共圆 【例题1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则 的最大值为___________． C A B E D 【答案】 【解析】作△ABC的外接圆，则AB是圆的直径，点E在圆上 C A B E F D 作EF⊥BC于F，则△ADC∽△EDF， ＝ 当点E为弧BC中点时，EF最大， 的值最大 圆的半径为 ，此时EF＝ － ＝1， ＝ 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________． A B C E D F 【答案】－2 提示：连接DF，则∠EFD＝∠EAD＝120°－90°＝30° A B C E D F O H ∴∠DFC＝150°，∴点F在以DC为弦，圆心角为150°的圆弧上运动 取圆弧的圆心O，连接AO、CO、FO，作OH⊥BC于H 则∠COH＝30° ∵AB＝AC＝，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝30° ∴AD＝1，DC＝2，DH＝HC＝1，∴FO＝CO＝2 AO＝ ＝ ∴AF≥AO－FO＝－2 【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________． A B C D E F 【答案】 提示：作△DEF的外接圆⊙O，连接OA、OD、OE、OF，作AG⊥BC于G，OH⊥EF于H A B C D E F G H O ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝30° ∴AG＝1 ∵∠EDF＝120°，∴∠EOF＝120° ∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝30° ∵∠BAC＝120°，∴∠BAC＝∠EOF ∴O、A、E、F四点共圆（或推导相似） ∴∠OAF＝∠OEF＝30° ∴∠BAO＝150°，∴∠BAO＋∠B＝180° ∴AO∥BC，∴OD≥AG，∴OD≥1 ∵OE＝OD，∴OE≥1，∴EH≥ ，∴EF≥ 【题型6】相切时取到最值 【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________． A D B C E G F 【答案】 提示：∵BG⊥AE，∴点G在以AB为直径的一段圆弧上 A D B C E G F O 显然当CG与圆弧相切时AF最大 设圆心为O，连接OF、OG、OC 则OG⊥CF，AF＝FG，OG＝ AB＝3，CG＝BC＝8，∠FOC＝90° OG 2＝CG·FG，3 2＝8FG，AF＝FG＝ ，即AF的最大值为 【例题2】 【巩固练习1】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【思路点拨】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 【巩固练习2】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ． 【答案】 80 / 【思路点拨】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°， 即∠DCB =∠ECA， 在△BCD和△ACE中，， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）， ∴∠EAC=∠DBC， ∵∠DBC=20°， ∴∠EAC=20°， ∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°； 设BF与AC相交于点H，如图： ∵△ACE≌△BCD ∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC， ∴∠AFB=∠ACB=60°， ∴A、B、C、F四个点在同一个圆上， ∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小， ∴此时线段AF长度有最小值， 在Rt△BCD中，BC=5，CD=3， ∴BD=4，即AE=4， ∴∠FDE=180°-90°-60°=30°， ∵∠AFB=60°， ∴∠FDE=∠FED=30°， ∴FD=FE， 过点F作FG⊥DE于点G， ∴DG=GE=， ∴FE=DF==， ∴AF=AE-FE=4- 【巩固练习3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________． C B D A E 【答案】4 【解析】取AE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G． C G B D A E F 则DF≥FG，AE＝2DF． 当DF⊥BC时DF最小，AE最小． ∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°． 设DF＝x，则AF＝x，BF＝2x，AB＝3x＝6， ∴x＝2，∴AE＝2x＝4， ∴线段AE长度的最小值为4． 【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 【例题1】如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究△ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由． A B C H l 【答案】取BC的中点D，连接AD，则BC＝2AD≥2AH A B′ B C H (D) l m E S△ABC ＝ BC·AH≥ ·2AH·AH＝AH 2＝2 2 △ABC面积的最小值为4 此时△ABC是等腰直角三角形 下面来探究周长： 过点A作直线m∥l，作点B关于直线m的对称点B′， 连接AB′、B′B、B′C，B′B交直线m于点E 则AB＋AC＝AB′＋AC≥B′C 当B′、A、C三点在同一条直线上时，上式取等号 此时∠B′AE＋∠EAH＋∠CAH＝180° ∵∠EAH＝∠AHC＝90°，∴∠B′AE＋∠CAH＝90° 又∵∠B′AE＝∠BAE＝∠ABH＝∠CAH ∴2∠CAH＝90°，∴∠CAH＝45°，∴∠BAH＝45° ∴此时△ABC是等腰直角三角形，点D与点H重合，BC也同时取得最小值 AB＝AC＝AH＝2，BC＝2AH＝4 AB＋AC＋BC＝2＋2＋4＝4＋4 △ABC周长的最小值为4＋4 【例题2】如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积的最小值． A D B C E F 【答案】延长CD至G，使DG＝BE，则△ABE≌△ADG ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG A D B C E F G O M N ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30° ∴∠DAG＋∠DAF＝30°，即∠FAG＝30° 作EM⊥AF于M，GN⊥AF于N 则EM＝ AE，GN＝ AG ∵S△AEF ＝ AF·EM，S△AFG ＝ AF·GN，∴S△AEF ＝S△AFG ∴当S△AFG最小时S△AEF最小 取△ABC的外心O，连接OA、OF、OG，作OH⊥FG于H 则OA＝OF＝OG，∠FOG＝2∠FAG＝60° ∴△OFG是等边三角形，∴FG＝OF，OH＝ OF ∵OA＋OH≥AD，AD＝1，∴OF＋ OF≥1 ∴OF≥4－2，∴FG≥4－2 ∵S△AFG ＝ FG·AD ＝ FG，∴S△AFG ≥2－ ∴S△AEF ≥2－3 即△AEF面积的最小值为2－3 此时A、O、H三点共线，即点H与点D重合，AF＝AG，AE＝AF，△AEF是等边三角形 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　　　． 【答案】 解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， 设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝ OB＝r， ∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+ r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴， ∴△ABC的面积的最小值为. 【巩固练习2】如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝30°，求线段BC长度的最小值． A B C H l 【答案】8－4 作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，作OG⊥BC于G A O B C H l G 则OA＝OB＝OC，∠BOC＝2∠BAC＝60° ∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，OG＝ OB ∵OA＋OG≥AH，AH＝2，∴OB＋ OB≥2 ∴OB≥8－4，∴BC≥8－4 即线段BC长度的最小值为8－4 此时A、O、G三点共线，即点G与点H重合，点O落在AH上，AB＝AC，△ABC是等腰三角形 【巩固练习3】如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接． （1）求的度数及点的坐标； （2）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图，作于，于，于． ， ，， ， ，， 同理可证：， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 可以假设， 在上， ， ， ， ． （2）定角定高模型 法二 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的最大值为． 【题型8】米勒角（最大张角）模型 【例题1】如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝　 　． 【答案】 解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动， ∵∠DOM＝2∠DPM， ∴当∠DOM最大时，∠DPM最大， 当⊙O与BC相切时，∠DOM最大， ∵M是CD的中点，CD＝4， ∴CM＝DM＝2， 连接OP，则OP⊥BC， ∵∠C＝90°，ON⊥CD， ∴四边形OPCN是矩形， ∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM， 在Rt△MON中，由勾股定理得， ON＝＝＝， 即PC＝， ∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2， 故答案为： ． 【例题2】在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为 　 解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：y＝﹣x+3上， ∠MPN为弦MN所对应的圆周角， ∴当圆的半径最小时有∠MPN最大， ∵P在x轴上运动， ∴当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MPN最大． 设此时P点坐标为：（p，0）， 则圆心Q的坐标为（p，﹣p+3）， ∵MQ＝PQ， ∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2， 解得：p＝1或p＝﹣6（舍）， ∴P点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）． 【巩固练习1】如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（　　） A．2 B．3 C． D． 解：当△DBC∽△DCA时，∠ACB最大， ∴， ∴CD2＝BD•AD＝1×（1+4）＝5， ∴CD＝，故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为 【巩固练习2】如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 　 米. 解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F， ∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点， ∴MF＝FN＝20m，OF＝40m， ∵∠AOB＝30°，EF⊥OB， ∴EF＝20m，OE＝EF＝20m， ∴EF＝MF， 又∵EF⊥OB， ∴OB是⊙F的切线，切点为E， ∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大， 此时OP＝20m，故答案为：20 【巩固练习3】辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图①中，即为所求． （2）如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ，，，的最小值为， ，的最小值为． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，易知，， ， ， 四边形的面积的最大值． 模块八：二次函数中的最值问题 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点 （1） 求抛物线解析式 【答案】 【铅垂高系列】 本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来 （2） （☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值， 【答案】16 补充二级结论 【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12 设P， (上面的点减去下面的点) 当时，PH取最大值2，此时△APB面积为：(AO是△PBH，△PAH两个三角形高之和) （3） （☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值 【答案】 【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上 导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大 （4） （★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值 【答案】2＋2和1 【思路分析】△PEF形状固定， （5） 若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求的最大值 【答案】 【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换 （6） （★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S1，△CDA面积为S2，求的最小值 【答案】 【思路分析】化斜为自 第一步：面积比转换为共线的边之比 第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比 （7） （★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面积最大值 【答案】12 【思路分析】 过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H 推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为 【几何构造最值篇】 （8） （☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值 【答案】2 【思路分析】 特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况 （9） （☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。 【答案】 【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题， （10） （★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值 【答案】 【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形， 故，接下来就是常规的将军饮马了 （11） （★☆）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得△BD’Q， 1 求OD’的最小值 2 连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值 【答案】①4－；② 【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题 （12） （★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值． 【答案】 【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段 则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA＝90°，故， 【构造二次函数模型求最值】 （13） （☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值 【答案】 【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽 设，则，而P和Q点到对称轴的距离为，则，PQGH的周长为： （14） （★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值 【答案】3 【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比 设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为： （15） （★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值 【答案】 设， 则 （16） （★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点， N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM． 1 求n的变化范围 2 当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围． 【答案】（1），（2） 【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型， 【详解】①设M坐标为(1，m) ∵， 整理得：，由可知， ②⇒设平移后： 分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点， 此时N点坐标为，则 继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点 综上 【题型1】铅垂高最值 【巩固练习1】如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q． (1)求该抛物线的解析式； (2)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 【答案】(1) (2)2；P（-1，0） 【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式； （2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4， ∴点B的坐标为（-3，0）， 将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得： ， 解得：b=2，c=-3， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 顶点式为：， 则C点坐标为：（-1，-4）， 由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6， 由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2， ∵PQ∥BC， 设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P， 由解得：， ∵P在线段AB上， ∴， ∴n的取值范围为-6＜n＜2， 则 ∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2． 【巩固练习2】如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴，∴； 设直线的解析式为，∴，∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵，∴当时，最大，最大值为，∴此时点P的坐标为 【巩固练习3】如图，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线交于点，求的最大值； 【答案】(1),(2),(3) 【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式． （2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为， ，，， ，，抛物线的解析式为：． 故答案为：． （2）解：过点作轴于点，如图所示，      抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点， ，， 设直线的解析式为：，则，， 直线的解析式为：． 在直线上，， 在直线上，的解析式为：， ，．   ， ． ， ． ，， 当时， 有最大值，且最大值为： ．故答案为：． 【题型2】构造二次函数模型求最值 【巩固练习1】如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式； （2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解； 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为． ∵当时，，∴点C的坐标为．将点C坐标代入表达式，得，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由抛物线的对称性得：，∴． 当时，． ∴矩形的周长为． ∵，∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【巩固练习2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值； 【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为 对称轴为 与x轴另一交点为                                ∴设抛物线为 ∴抛物线的表达式为 （2）在抛物线上 ∴设 在第一象限                              ∴当时，有最大值为 【巩固练习3】已知：关于的函数．    (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)0或2或 (2)①6，②存在， 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值． （2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积． ②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值． 【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点， ， ， ， 当函数为一次函数时，， ． 当函数为二次函数时， ， 若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时， ， ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点， ，，． 综上所述，或0．故答案为：0或2或． （2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．    依题意得：，解得： 抛物线的解析式为：． 点为抛物线顶点时，，， ，， 由，得直线的解析式为， 在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标， ， ，， ， ． 故答案为：6． ②存在最大值，理由如下： 如图，设直线交轴于． 由①得：，，，，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ，，，当时，有最大值，最大值为． 1． 【巩固练习4】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【题型3】几何构造求最值 【巩固练习1】已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． 若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为； (2)点和点； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． （2）由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)存在，的最大值为， (3)或 【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得 ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有，解得：， 直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，当时，的最大值为，，． 故的最大值为，． 日拱一卒,功不唐捐 1 / 266 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届中考复习 2025届中考复习专题：八类最值问题汇总 总览 题型解读 模块一：将军饮马等8类常见最值问题 2 【题型1】两定一动型（线段和差最值问题） 8 【题型2】 双动点最值问题（两次对称） 10 【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 11 【题型4】垂线段最短 12 【题型5】相对运动平移型将军饮马 14 【题型6】化斜为直，斜大于直 15 【题型7】构造二次函数模型求最值 17 【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 18 模块二：阿氏圆与胡不归最值问题 20 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 20 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 22 模块三：阿氏圆与胡不归最值问题 23 【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 24 【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1） 27 【题型3】一内一外提系数 28 【题型4】隐圆+阿氏圆 29 模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型） 30 【题型1】平移，对称或构造平行四边形 33 【题型2】构造SAS型全等拼接线段 34 【题型3】加权逆等线 36 【题型4】取到最小值时对其它量进行计算 38 模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型） 40 【题型1】构造中位线 48 【题型2】直线型轨迹（三种解题策略） 50 【题型3】线段和 52 【题型4】圆弧型轨迹 53 【题型5】加权线段和 55 【题型6】路径长度类问题 56 【题型7】取到最值时求其它量 57 模块六：费马点最值问题 58 【题型1】普通费马点最值问题 65 【题型2】 加权费马点·单系数型 68 【题型3】加权费马点·多系数型 69 模块七：隐圆最值问题 71 【题型1】定点定长得圆 76 【题型2】直角的对边是直径 77 【题型3】对角互补得圆 79 【题型4】定弦定角得圆 80 【题型5】四点共圆 81 【题型6】相切时取到最值 82 【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 83 【题型8】米勒角（最大张角）模型 85 模块八：二次函数中的最值问题 86 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 86 【题型1】铅垂高最值 96 【题型2】构造二次函数模型求最值 98 【题型3】几何构造求最值 100 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一：将军饮马等8类常见最值问题 一、单动点问题 【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大 原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、双动点问题（作两次对称） 【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小 问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N， 原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长 【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小 问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N 原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ 【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值 问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求 原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、动线段问题（造桥选址） 【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值 问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值 问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值 原理：通过平移构造平行四边， 四、垂线段最短 【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小 问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求 原理：点到直线，垂线段最短， 五、相对运动，平移型将军饮马 【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想 过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题 策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9. 六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹 【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？ 问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线 七、化斜为直，斜大于直 【问题13】已知：是斜边上的高 （1）求的最大值；（2）若，求的最大值 问题解决：取BC中点M，（1）则；（2） 八、构造二次函数求最值 这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值． 【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 . 问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知，， ，，∴，， ∴， ，在时有最大值，最大值为 【题型1】两定一动型（线段和差最值问题） 【例题1】透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【例题2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　 　） A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（    ） A．160 B．150 C．140 D．130 【巩固练习2】如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．    【巩固练习3】探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为 ，已知，则的最大值是 ．    【题型2】 双动点最值问题（两次对称） 【例题1】四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 。 【例题2】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 【巩固练习1】如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为　 　。 【巩固练习2】如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【巩固练习3】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．    【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为 ． 【例题2】如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ． 【巩固练习1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ． 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ． 【题型4】垂线段最短 【例题1】如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________． M F O A E N P 【例题2】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．    【巩固练习1】如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ． 【巩固练习2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_________． M D C B A P N E 【巩固练习3】如图，在矩形中，于点，，，、分别是、上的动点，则的最小值为 ．    【题型5】相对运动平移型将军饮马 【例题1】如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．    【例题2】如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值是________．    【例题3】如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且．    将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______． 【巩固练习1】如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 。 【巩固练习2】如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。 【巩固练习3】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 。 【题型6】化斜为直，斜大于直 【例题1】如图，直线，分别为直线上的动点，连接，线段交直线于点．设直线与之间的距离为m，直线与之间的距离为n，若，，且，则m＋n的最大值为_____． 【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 ． 【巩固练习1】如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________． A F B D E C 【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为 。 【巩固练习3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为 . 【巩固练习4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路径长为_________． C D B E A 【题型7】构造二次函数模型求最值 【例题1】如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转 90°得到，连接．则的最小值是 【例题2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ． 【巩固练习1】如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大． 【巩固练习2】如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝，BC＝BD＝1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM长度的最大值为_____________． A B D C Q P M 【巩固练习3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝ AC，过点P的直线分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________． A D F C B E P 【巩固练习4】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________． E F B C D A 【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 【例题1】在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ． 【例题2】如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 【巩固练习1】等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ． 模块二：阿氏圆与胡不归最值问题 胡不归模型讲解 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小． 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 【例题1】如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 【例题2】如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 【例题3】如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【巩固练习1】如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【巩固练习2】如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【巩固练习3】如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒． 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 【例题1】如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【例题2】如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 　3　． 【巩固练习1】如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 【巩固练习2】如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 【巩固练习3】如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为　　 A． B． C． D． 【巩固练习4】如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     模块三：阿氏圆与胡不归最值问题 阿氏圆模型讲解 【模型来源】 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似． 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝OB， 连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。 【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 【例题1】如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，． 求①；②；③；④的最小值． 【例题2】如图，正方形ABCD边长为2，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+PD的最小值为______． 【例题3】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 【巩固练习1】如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【巩固练习2】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 【巩固练习3】如图，等边三角形ABC边长为4，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋CP的最小值为______________． 【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋PN的最小值为_______________ 【巩固练习5】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．    【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1） 【例题1】如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为，P是圆O上一动点，PA+PB的最小值为________． 【巩固练习1】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________． 【巩固练习2】如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【题型3】一内一外提系数 【例题1】如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【巩固练习1】如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　 【题型4】隐圆+阿氏圆 【例题1】如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    【例题2】如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．    【巩固练习1】如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 　　． 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是　 　． 【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型） 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 分析思路： ① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求 此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值 ⑤ 求BF 【题型1】平移，对称或构造平行四边形 【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ． 【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________． A D B C F E O 【巩固练习1】如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为 ． 【巩固练习2】如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．    【巩固练习3】如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，． （1）的长为 ；（2）的最小值为 ． 【题型2】构造SAS型全等拼接线段 【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是___________． D A B C E F 【例题2】如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________． A B C D E F 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________． A B C D N E M 【巩固练习3】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________． A D B C E F 【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 【巩固练习5】如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【巩固练习6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 　 　． 【题型3】加权逆等线 【例题1】如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【例题2】如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． 【例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．    【巩固练习1】如图，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE＝2BD，则AE＋2CD的最小值为________ 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 。 【巩固练习3】如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点， ，求的最小值. 【题型4】取到最小值时对其它量进行计算 【例题1】如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为________ 【例题2】如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ． 【巩固练习1】如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ． 【巩固练习2】如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 　 　． 【巩固练习3】如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ． 模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型） 初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚 一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同． 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 【例题1】三种处理策略 如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60°，得到P’，EP’的最小值 【分析】 结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型 第一层：点P’运动的轨迹是直线吗？ 答：是直线，可以通过P在A，D时，即始末位置时P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明. 第二层：点P’的运动长度和点P的运动长度相同吗？ 答：因为点P’与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉手结构，通过全等证明. 第三层：手拉手模型怎么构造？ 答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的轨迹即线段AD中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段AD中的点A绕C点逆时针旋转60°，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便． 第四层：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为B为定点，所以得到P’轨迹为直线BP’ 第五层：点P和点P’轨迹的夹角和旋转角的关系 答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现. 大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？ 答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下． 将点EC绕点C顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即为点G到AD的距离． 要注意的是因为要代换P’E，所以E点的旋转方式应该是从P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹时的旋转方式则是PP’，注意区分. 解析 策略一：找从动点轨迹 连接BP’， 由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠PCP’， ∴△ACP≌△BCP’(SAS)， ∴∠CBP’＝∠CAP， ∵边长为4的等边三角形ABC中，P是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAP＝30°，BD＝2， ∴∠CBP’＝30°， 即点P’的运动轨迹为直线BP’， ∴当D P’⊥B P’时，EP’最短， 此时，EP’＝+ED＝+2＝3 ∴EP’的最小值是3 策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段 将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G，连接PG，CG，EP’ 由旋转可得EC＝ CG， CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°， ∴△ECG是等边三角形，EG＝2 ∵∠PCP’＝∠ECG ∴∠PCG＝∠EC P’ ∴△GCP≌△ECP’(SAS)， ∴EP’＝GP， 过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求． ∵∠GEC＝∠ACD ∴HE∥DC ∵∠GHD＝∠ADC ∴HG∥DC 故G，E，H三点共线，则有HE∥DC 又E是AC中点，分线段成比例可知H是AD中点 ∴HE＝ ∴EP’的最小值是3 总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹 2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹. 3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题 已知点，点B是直线y＝－2上一个动点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC. 角度1：反向旋转构造手拉手（不用求从动点轨迹，直接转换为垂线段最短） （1）求OC的最小值 【简析】如图，构造等腰直角△AOE，由旋转相似可知 角度2：构造手拉手求从动点轨迹：（2）求的最小值 【简析】，求出C点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点，构造旋转相似，易知，可知C点轨迹为，作，，补充：此时加权线段和对应三边之比 角度3：构造旋转相似求加权线段和 （3）记，①求的最小值；②求的最小值 【简析】①由旋转相似可知，则 ②，补充：此时加权线段和对应相似比 【瓜豆圆介绍】 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2 【小结】 确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 【题型1】构造中位线 【例题1】如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    【例题2】如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    【巩固练习1】（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【巩固练习3】如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点P，使，则长的取值范围为 ________． 【题型2】直线型轨迹（三种解题策略） 【例题1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　． 【例题2】如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．    【巩固练习1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为 【巩固练习2】如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值．    【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．    【巩固练习4】如图，矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 ．    【巩固练习5】如图，在中，，，对称轴交于点，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则长的最小值为 ．    【巩固练习6】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　　　． 【变式训练】双动点 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，F为AB边上一点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则AG的最小值为　　　　． 【题型3】线段和 【例题1】如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【巩固练习1】如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【巩固练习2】如图，已知∠CAB＝30°，AB＝2，点D在射线AC上，以BD为边作正方形BDEF，连接AE、BE，则AE＋BE的最小值为___________． C A B D E F 【题型4】圆弧型轨迹 【例题1】如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为　　　　． 【例题2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是_________． D A B C 【巩固练习1】如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【巩固练习2】如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    【巩固练习3】如图，点P是正方形ABCD所在平面内一点，∠APB＝90°，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接AQ，若AB＝2，则线段AQ的最大值为___________． A D B C P Q 【题型5】加权线段和 【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为边AD上一动点，以CE为边向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，连接BE，BF，求BE＋的最小值． A D B C E F 【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，），点P是x轴上的一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转120°得到AQ，连接OQ，PQ，求＋PQ的最小值． x y O A P Q 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（    ） A． B．4 C． D．2 【题型6】路径长度类问题 【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E从点A运动到点D，以CE为边在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为_________，点F运动的路径长为_________． F D A G C E B 【巩固练习1】如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ． 【巩固练习2】如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    【题型7】取到最值时求其它量 【例题1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为 【巩固练习1】如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．    【巩固练习2】如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，且BE＝CD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转120°得到DF，连接CF，当CF取得最小值时，求的值． A F D C B E 【巩固练习3】如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 模块六：费马点最值问题 【常规费马点】 【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC， 当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数. 【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC，PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’， 如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120° 【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论： 1 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心； 2 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时） 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． 【答案】 【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！ 如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果． 【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______． 【加权费马点】 如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段， 一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120° 另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比 【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。 以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法： 1. 将最小系数提到括号外； 2. 中间大小的系数确定放缩比例； 3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。 【例3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________ 【简答】（1）将最小系数提到括号外，得到 中间大小系数为，故放大倍数为倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC． 如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，． ． （2）将最小系数提到括号外，得到， 如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，． 【练习3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则的最小值为________． 【简答】将△PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到， ，，， ，，由勾股定理可得，的最小值为. 【题型1】普通费马点最值问题 【例题1】已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋PC的最小值为________ 【例题2】如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ． 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则的最小值为_________． C A B P 【巩固练习2】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【巩固练习3】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【题型2】 加权费马点·单系数型 【例题1】已知，如图在中，，，，在内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是 ． 【巩固练习1】如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为 . 【巩固练习2】如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点．将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ．    【题型3】加权费马点·多系数型 【例题1】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP＋4BP＋PC的最小值 【巩固练习1】在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）²的最小值 【巩固练习2】如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 【巩固练习3】在中，，，的角平分线交于，过作射线的垂线，垂足为，连接，当取大值时，在内部取点，则的最小值是 ．    模块七：隐圆最值问题 一、定点定长得圆 在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算 二、直角的对边是直径 前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90° 今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类) 三、对角互补 前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆 四、定弦定角模型 定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算． 前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用) 今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动) 五、四点共圆模型 前世:在⊙O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用 六、定角定高（探照灯模型） 什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则△ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。 问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。 所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值． 当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决． 七、米勒角（最大张角）问题 【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大? 米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题. 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即 问题解决 证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大，∴当圆与直线l相切时，∠APB最大 【题型1】定点定长得圆 【例题1】如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？ 【例题2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【巩固练习1】在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 ．    【巩固练习2】如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【巩固练习3】如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    【题型2】直角的对边是直径 【例题1】如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________． C B G D A E F 【例题2】在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    【巩固练习1】如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ． 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________． x B A O D C y E F 【巩固练习3】如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【巩固练习4】如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．    【题型3】对角互补得圆 【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________. 【例题2】（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 ． 【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　 　． 【巩固练习3】如图，正方形的边长为4，点E是边上的动点，过点E作交于点F，点G在上，且，点M、N分别为、的中点，连接，则的最小值为 ． 【题型4】定弦定角得圆 【例题1】如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．    【例题2】如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB 2＋AC 2的最大值为___________． D B C A 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积的最大值为____________． A B C D 【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________． A B C P 【巩固练习3】在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 ． 【题型5】四点共圆 【例题1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则 的最大值为___________． C A B E D 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________． A B C E D F 【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________． A B C D E F 【题型6】相切时取到最值 【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________． A D B C E G F 【巩固练习1】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【巩固练习2】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ． 【巩固练习3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________． C B D A E 【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 【例题1】如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究△ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由． A B C H l 【例题2】如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积的最小值． A D B C E F 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　　　． 【巩固练习2】如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝30°，求线段BC长度的最小值． A B C H l 【巩固练习3】如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接． （1）求的度数及点的坐标； （2）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【题型8】米勒角（最大张角）模型 【例题1】如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝　 　． 【例题2】在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为 　 【巩固练习1】如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（　　） A．2 B．3 C． D． 【巩固练习2】如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 　 米. 【巩固练习3】辅助圆之定角定高求解探究 （1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 模块八：二次函数中的最值问题 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点 （1） 求抛物线解析式 【答案】 【铅垂高系列】 本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来 （2） （☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值， 【答案】16 补充二级结论 【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12 设P， (上面的点减去下面的点) 当时，PH取最大值2，此时△APB面积为：(AO是△PBH，△PAH两个三角形高之和) （3） （☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值 【答案】 【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上 导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大 （4） （★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值 【答案】2＋2和1 【思路分析】△PEF形状固定， （5） 若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求的最大值 【答案】 【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换 （6） （★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S1，△CDA面积为S2，求的最小值 【答案】 【思路分析】化斜为自 第一步：面积比转换为共线的边之比 第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比 （7） （★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面积最大值 【答案】12 【思路分析】 过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H 推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为 【几何构造最值篇】 （8） （☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值 【答案】2 【思路分析】 特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况 （9） （☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。 【答案】 【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题， （10） （★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值 【答案】 【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形， 故，接下来就是常规的将军饮马了 （11） （★☆）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得△BD’Q，①求OD’的最小值；②连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值 【答案】①4－；② 【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题 （12） （★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值． 【答案】 【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段 则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA＝90°，故， 【构造二次函数模型求最值】 （13） （☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值 【答案】 【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽 设，则，而P和Q点到对称轴的距离为，则，PQGH的周长为： （14） （★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值 【答案】3 【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比 设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为： （15） （★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值 【答案】 设， 则 （16） （★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点， N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM． 1 求n的变化范围 2 当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围． 【答案】（1），（2） 【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型， 【详解】①设M坐标为(1，m) ∵， 整理得：，由可知， ②⇒设平移后： 分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点， 此时N点坐标为，则 继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点 综上 【题型1】铅垂高最值 【巩固练习1】如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q． (1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 【巩固练习2】如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【巩固练习3】如图，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．    (1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线交于点，求的最大值； 【题型2】构造二次函数模型求最值 【巩固练习1】如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【巩固练习2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． 【巩固练习3】已知：关于的函数．    (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【巩固练习4】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【题型3】几何构造求最值 【巩固练习1】已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． 若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； 日拱一卒,功不唐捐 3 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $$最值 中考 问 题 2025届中考专题 八类最值问题汇总 模块一: 将军饮马等 8类常见最值问题 1 【题 一】两定一 (线段 差 问题) 6 【题 二】 点 问题 (两次对称) 8 【题 三】 线段问题： ( 行四边 ) 9 【题 四】 线段 短 10 【题 五】相对运 移 军饮马 11 【题 六】 斜为直，斜大于直 13 【题 七】 二次函数模 15 【题 八】 过瓜 出轨迹 军饮马 16 模块二: 胡不归最值问题 17 【题 一】胡不 模 ·已 相关角直 线 18 【题 二】胡不 模 · 相关角再 线 19 模块三: 阿氏圆问题 21 【题 一】两定点 外： 内取点 (系数 于 1) 22 【题 二】两点 内： 外取点 (系数大于 1) 25 【题 三】一内一外提系数 25 【题 四】 + 26 模块四: 线段拼接最值问题 (逆等线模型) 27 【题 一】 移，对称或 行四边 29 【题 二】 SAS 全 拼 线段 31 【题 三】 线 32 【题 四】取 时对其它 进行计 34 模块五: 构造旋转相似求最值 (瓜豆模型) 36 【题 一】 中 线 45 【题 二】直线 轨迹 (三种解题 ) 47 【题 三】线段 50 【题 四】 轨迹 51 【题 五】 线段 52 【题 六】路 类问题 53 【题 七】取 时 其它 54 最值 中考 模 型 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 模块六: 费马点最值问题 55 【题 一】 费马点 问题 62 【题 二】 费马点· 系数 65 【题 三】 费马点·多系数 65 模块七: 隐圆最值问题 68 【题 一】定点定 73 【题 二】直角的对边 直 74 【题 三】对角互补 76 【题 四】定 定角 77 【题 五】四点共 78 【题 六】相 时取 79 【题 七】定角定高 积 、 问题 80 【题 八】米勒角 ( 大 角)模 81 模块八: 二次函数中的最值问题 82 一题可 万题 --二次函数 见模 结，一题 15问 82 【题 一】铅 高 92 【题 二】 二次函数模 94 【题 三】几 96 1 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 模块一 将军饮马等 8类常见最值问题 类型１ 单动点问题 【问题 1】 直线 l上 一点P， PA+PB最 问题解 ：连 AB，与 l交点 为P，两点之间线段最短PA+PB最 值为AB 【问题 2】 直线 l上 一点P， PA+PB 问题解 ： B 于 l的对称点B' ⇒PB=PB'， PA+PB=PA+PB'， A，P，B' 线时取最 ， 理：两点之间线段最短， PA+PB最 值为AB' 【问题 3】 直线 l上 一点P， |PA-PB| 大 问题解 ：连 AB， A，B，P 线时取最大 理：三角 两边之 大于 三边， △AB'P中，|PA-PB'| ≤AB' 2 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 【问题 4】 直线 l上 一点P， |PA-PB| 大 问题解 ： B 于直线 l的对称点B' ⇒PB=PB'，|PA-PB| = |PA-PB'| 理：三角 两边之 大于 三边，连 AB'， △AB'P中 |PA-PB'| ≤AB' 类型２ 双动点问题 (作两次对称) 【问题 5】 直线 l1，l2上 点M，N， △PMN 问题解 ： 点P 于两直线的对称点P' P''，PM=P'M，PN=P''N， 理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点 为M，N， AM+MN+ PN的最 值为线段 P'P''的长 【问题 6】P，Q为定点， 直线 l1，l2上 点M，N， 四边 PQMN 问题解 ： 点P，Q 于直线 l1，l2的对称点P' Q'，PM=P'M，QN=Q'N 理：两点之间线段最短，连 P'Q'，与两直线交点 为M，N， PM+MN+QN的最 值为线段 P'Q'的长， 长最 值为P'Q' +PQ 3 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 【问题 7】A，B 为 l1，l2上的定点，M，N 为 l1，l2上的 点， AN+MN+BM 问题解 ： A，B 于 l1，l2的对称点A'，B'， AN=A'N，BM=B'M，A'B' 所 理：两点之间距 最短，A'，N，M，B' 线时取最 ， AN+MN+ BM=A'N+MN+ B'M≤ A'B' 类型３ 动线段问题 (造桥选址) 【问题 8】直线m∥n， m，n上 点M，N， MN⊥m，且AM+MN+BN的 问题解 ： 点B 上 移MN的长 B'，连 B'M， AB'M 线时有最 值 理： 过构 行四边 转 成 饮马，AM+MN+BN=AM+MN+B'M≤AB' +MN 【问题 9】 直线 l上 两点M，N (M 左)且MN= a， AM+MN+BN的 问题解 ： B点 左移 a个 长 ， B' 于直线 l的对称点B''， AB''M 线有最 值 理： 过 移构 行四边BB'MN⇒BN=B'M=B''M， AM+MN+BN=AM+MN+B''M≤AB'' 4 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 类型４ 垂线段最短 【问题 10】 直线 l1，l2上 点A，B， PB+AB 问题解 ： P 于 l2的对称点P'， P'A⊥ l1于A，交 l2于B，P'A 所 理：点 直线， 线段最短，PB+AB=P'B+AB≤P'A 类型５ 相对运动，平移型将军饮马 【问题 11】 直线 l上 两点M，N (M 左)且MN= a， AM+AN的 问题解 ：相对运 或构 行四边 一：相对运 想 过点A MN的 行线，相对MN，点A 该 行线上运 ， 可转 为 饮马问题 二：构 行四边 量代 ， 问题 9. 5 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 类型６ 瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹 【问题 12】如图，点P 直线BC上运 ， 点P绕定点A 时针旋转 90°， 点Q， Q点轨迹？ 问题解 ： AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹 一种图 ． 定轨迹 线 段的时候，可以任取两个时 的Q点的 ，连线 可，比如Q点的起始 终点 ，连 Q点轨迹线段． 理： 手拉手可知△ABC≌△AQ1Q2，故∠AQ2Q1=∠ACB,故Q点轨迹为直线 类型７ 化斜为直，斜大于直 【问题 13】已知：AD Rt△ABC斜边上的高 (1) ADBC 的 大 ；(2)若AD= 2， BC的 问题解 ：取BC中点M，(1) ADBC ≤ AM BC = 1 2 ；(2)BC= 2AM≥ 2AD= 4 类型８ 构造二次函数求最值 这类问题一 无法 过纯几 方法来解 或几 方法比较复杂，需要 过面积法或者构 、相 建立 量 系， 的线段或图 的面积 有自变量的 子来表 ，一 一个二次函数或者 一个二次函数，然 过 方 最值． 6 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 【问题 14】正方 ABCD的边 为 6，点Q 边CD上，且CD= 3CQ，P 边BC上一 点，连 PQ，过点P EP⊥PQ交AB边于点E，设BP的 为x， 线段BE 的 大 为 . 问题解 ： 题 ， 出图 ， 两个三角 相 的 定 △PCQ∽△EBP，进而 相 比 BE=- 12 x-3  2+ 92 ， 二次函数 最值方法 解 可 A B CD P Q E 【详解】 知∴△PCQ∽△EBP，∴ QC BP = PC BE ， ∵CD= 3CQ，CD= 6，∴QC= 2，∴ 2x = 6-x BE ， ∴BE= 12 x 6-x =- 1 2 x 2-6x =- 12 x-3  2+ 92 0≤x≤6 ， ∵- 12 < 0，∴BE=- 1 2 x-3  2+ 92 x= 3时有最大值，最大值为 9 2 7 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 题 一 两定一动型 (线段和差最值问题) 1 柱 容器 (容器 忽 不计)的高为 12cm， 为 10cm， 容器内壁离 部 3cm的点B处 一饭粒，此时一只蚂蚁正好 容器外壁且离容器上 3cm的点A处． 蚂蚁 饭粒 要爬行的 短路 多 ？ 2 如图， 直角 系中，Rt△OAB的顶点A x轴的正 轴上．顶点 B的 为 (3， 3 )，点C的 为 (1，0)，且∠AOB= 30°点P为斜边OB上的一个 点， PA+PC的 为 ( ) A. 2 B. 3 C. 7 D. 11 1 如图，点A，B 直线MN的 ，A MN的距离AC= 8，B MN的距离 BD= 5已 知CD= 4，P 直线MN上的一个 点，记PA+PB的 为 a，PA-PB 的 大 为 b， a2- b2的 为 ( ) A. 160 B. 150 C. 140 D. 130 8 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 如图， 矩 ABCD中，AB= 5cm，BC= 6cm，点 E 直线AD上，从点A出发 右运 ， 为每秒 0.5cm，点F 直线BC上，从点B出发 右运 ， 为每秒 2cm，BE、AF相 交于点G， BG+CG的 为 cm．    3 子 x2+1 + x-4 2+1 x≥0 的 . 胖 学运 “数 结 ”的 想：如 图，取AB= 4， AC⊥AB于A．BD⊥AB于B，且AC= 1，BD= 1，点E AB上，设AE = x， BE= 4- x，于 ， x2+1 =CE， x-4 2+1 =DE，因此，可 CE+DE的 为 ，已知 y= x+5 2+52- x2+32 x≥0 ， y的 大 ．    题 二 双动点最值问题 (两次对称) 1 四边 ABCD中，∠BAD= 125°，∠B=∠D= 90°， BC、CD上 找一点M、N， 三角 AMN 时，∠MAN的 数为 。 2 如图， 四边 ABCD中，∠B=∠D= 90°，∠DAB= 140°，M，N 边DC，BC上的 点， △AMN的 时，∠MAN= °． 9 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 1 如图所示，E为边 2的正方 ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连 EM、MN、NA， 四边 AEMN 的 为 。 2 如图， 四边 ABCD中，∠B=∠D= 90°，∠BAD= 120°，AB= 2，AD= 4，P、Q 边BC、CD上的 点，连 AP，AQ，PQ， △APQ 的 为 ．    3 如图， 行四边 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F 边AD、AB 上的点，连 OE、OF、EF，若AB= 3，BC= 2，∠DAB= 30°， △OEF 的 ．    题 三 动线段问题：造桥选址 (构造平行四边形) 1 如图， 直角 系中，已知A(3,6),B(-2,2)， x轴上取两点C，D(点C 点D左 )， 且始终保 CD= 1，线段CD x轴上 移， AD+BC的 时，点C的 为 ． 10 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(-3,9)，D(2,4) 抛物线 y= x2上， 左或 右 移抛物 线 ，C，D的对 点 为 C ，D， 四边 ABC D 的 时，抛物线的解 为 ． 1 如图， 直角 系中，矩 OABC的顶点O 点，顶点A，C x轴，y轴 上，B，D两点 为B(-4，6)，D(0，4)，线段EF 边OA上移 ，保 EF= 3， 四边 BDEF的 时，点E的 为 ． 2 如图， 直角 系中 A 0,3 ，D 5,0 两点． 直线 l1：y= x 上 移 2个 直线 l2，点B 直线 l2上，过点B 直线 l1的 线， 足为点C，连 AB，BC，CD， 折线ABCD的 AB+BC+CD的 为 ． 11 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 题 四 垂线段最短 1 如图，∠MON= 45°，OP ∠MON，点A为 线OM上一点，OA= 4，点 E，F 为 线 OP，OM上的 点，连 AE，EF， AE+EF的 为 ． 2 如图， Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC= 6，BC= 8，AB= 10，AD ∠CAB交BC于点 D，点E、F AD、AC边上的 点， CE+EF的 为 ．    1 如图， Rt△ABC中，∠BAC= 90°,AB= 3,BC= 5，点P为BC边上任 一点，连 PA， 以PA，PC为 边 行四边 PAQC，连 PQ， PQ 的 为 ． 2 如图， 边 为 2的正方 ABCD中，点 E为 AD的中点， △CDE CE翻折 △CME，点M 四边 ABCE内，点N为线段CE上的 点，过点N NP∥ EM交MC于 点P， MN+NP的 为 ． 12 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 如图， 矩 ABCD中，CE⊥ BD于点 E，AB= 2 3，BE= 3ED，P、Q BD、 BC上的 点， PC+PQ的 为 ．    题 五 相对运动平移型将军饮马 1 如图， 矩 ABCD中，AB= 15，BC= 20，把边AB 对角线BD 移，点A，B 对 点A，B，AC+BC的 为 ．    2 如图， 菱 ABCD中，AB= 3，∠BCD= 120°，M为对角线BD上一点 (M不与点B、D )，过点MN ∥ CD， MN= CD，连 CM、AM、BN，连 AN， AM+AN的 ． 3 如图，抛物线 y=-x2+ 72 x+ 2上的点A，C 为 0,2 ，4,0 ，抛物线与 x轴负 轴交 于点B，点M为 y轴负 轴上一点，且OM= 2．    抛物线 x轴的负方 移 新抛物线，点A的对 点为点A，点C的对 点为点C， 抛物线 移过 中， MA +MC 的 时，新抛物线的顶点 为 ，MA +MC 的 为 ． 13 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 1 如图，已知点P(0，3)， 直角△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，BC= 2，BC x轴 上滑 时，PA+PB的 。 2 如图，菱 ABCD的边 为 6 ，∠ABC= 60°，点 E、F 对角线 BD上运 ，且 ED=OF，连 AE、AF， △AEF 的 。 3 如图，△ABC 边 为 2的 边三角 ， △ABC 直线AC翻折， △AB′C，再 △AB′C 直线AC上 移， △A′B″C′， △BB″C′的 的 为 。 题 六 化斜为直，斜大于直 1 如图，直线 l1⎳ l2⎳ l3，A，B，C 为直线 l1，l2，l3上的 点，连 AB，BC，AC，线段AC交 直线 l2于点 ．设直线 l1与 l2之间的距离为m，直线 l2与 l3之间的距离为 n，若∠ABC= 90°， BD= 4，且 mn = 2 3 ， m+n的 大 为 ． 14 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 如图， 矩 ABCD中，AB= 4，AD= 3，以点C为 ⊙C与直线BD相 ，点P ⊙C 上一个 点，连 AP交BD于点T， AP AT 的 大 ． 1 如图， 边△ABC的边 为 4，点D，E 边AB，AC上， △ADE DE折叠， 点 A BC边上的点F处， CE的 大 为 ． 2 如图，△ABC中，∠BAC= 45°，AB=AC= 8，P为AB边上的一 点，以PA，PC为边 行四边 PAQC， 线段PQ 的 为 。 3 如图， Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC= 5，BC= 12，P 边AB上一 点，Q 边BC 上一 点，且始终 ∠CPQ= 90°， 线段CQ 的取 围为 . 15 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 4 如图， Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A= 30°，BC= 2，点D为AC边上一 点，过点D DE⊥BD交AB于点E． 点D从点A运 点C时，AE的 大 为 ，点E运 的 路 为 ． 题 七 构造二次函数模型求最值 1 如图，点A 9,0 ，B 0，3 ，P为 x轴上一 点， 线段PB绕点P顺时针旋转 90° PC，连 AC． AC的 2 如图， △ABC中，AB=AC= 5，BC= 4 5，D为边AB上一 点 (B点 外)，以CD为一 边 正方 CDEF，连 BE， △ABC的 积 ，△BDE 积的 大 为 ． 1 如图，Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC= 8，D为AB中点． E、F 边AC、BC上 的 点，E从A出发 C运 ， 时F以相 的 从C出发 B运 ，F运 B 止． AE为 时，△ECF的 积 大． 16 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 如图，△ABC △ABD 两个全 的直角三角 ，∠C=∠D= 90°，AC=AD= 3， BC=BD= 1．若P、Q 边AC、AD上的 点，且始终保 PC=QA，连 PQ交AB 于点M， AM 的 大 为 ． 3 如图， 矩 ABCD中，AB= 3，AD= 4，点 P 对角线AC上一点，AP= 1 4 AC，过 点P的直线 交边AB、AD于点 E、F，连 CE、CF， 四边 AECF的 积的 为 ． 4 如图， △ABC中，∠BAC= 120°，AB=AC，BC= 4，点D AB边上的一个 点，连 CD，以CD为边 上 正方 CDEF，连 BE， △BDE的 积的 大 为 ． 17 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 题 八 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 1 Rt△ABC中，斜边AB= 2，∠A= 30°，点D AC边上的一个 点，连 BD， 线段BD绕 点B顺时针旋转 60° BE，连 CE， BE+CE的 为 ． 2 如图 1，对于 内的点A、P，如 线段PA绕点P 时针旋转 90° 线段PB， 称点B 点A关于点P的“放 点”．如图 2，已知点A(4,0)，点P y轴上一点，点B 点A关于点P 的“放 点”，连 AB、OB， OB+AB的 ( )    A. 4 B. 4 5 C. 8 D. 8 5 1 边 △ABC边 为 6，D BC中点，E AD上运 ，连 BE， BE下方 边 △BEF， △BDF 的 为 ． 18 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 如图， 矩 ABCD中，AB= 4，BC= 9，M为BC上一点，连 MA， 线段MA绕点M 顺时针 90° 线段MN，连 CN、DN， CN+DN的 为 ． 模块二 胡不归最值问题 胡不归模型讲解 如图，一 点P 直线MN外的运 为V1， 直线MN上运 的 为V2，且V1<V2，A、B为定 点，点C 直线MN上， 定点C的 AC V2 + BC V1 的值最 ． AC V2 + BC V1 = 1 V1 BC+ V1V2 AC ，记 k= V1V2 ， BC+ kAC的最 值． 构 线AD sin∠DAN= k，CH /AC= k，CH= kAC． 问题转 为 BC+CH最 值，过B点 BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取 最 值， BC+ kAC最 ． 题 一 胡不归模型·已有相关角直接作垂线 1 如图， ，A 0， 15 ，C(1，0)，D为 线AO上一点，一 点P从A出发，运 路 为 ， AD上的 为 4个 /秒， CD上的 为 1个 /秒， 整个运 时间 时，D的 为 ． 19 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 2 如图， 矩 中，对角线 交于点O，AB=OB= 3，点M 线段 上，且AM = 2．点P为线段 上的一个 点．    (1)∠OBC= °；(2)MP+ 12 PB的 为 ． 3 如图，直线 y=- 13 x+ 2与 x轴，y轴 交于A，B两点，点D 线段AB上一 点，点H 直线 y=- 43 x+ 2上的一 点， 点 ，连 BE，DF，HD． BE+DF取 时，3BH+ 5DH的 ．    1 如图， 菱 中，∠ABC= 60°， ，对角线 、 相交于点 ，点 线段 上，且 ，点 为线段 上的一个 点， 的 为 ． 2 如图， 边三角 的外 ，其 为 4．过点B BE⊥AC于点 E，点P 为线段BE上一 点 (点P不与B，E )， 的 为 ．    20 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 如图，二次函数 y= ax2+ 2ax- 3a与 x轴交于点A，B，对称轴为直线 l，顶点C x轴的 距离为 2 3．点P为直线 l上一 点，另一点从C出发，先以每秒 2个 的 CP 运 点P，再以每秒 1个 的 PA运 点A 止， 时间 短为 秒． 题 二 胡不归模型·构造相关角再作垂线 1 如图， 方 ABCD中，AB= 2，AD= 2 3，点 E BC上，连 DE， 点 E的运 过 中，BE+ 2DE的 为 ．    2 如图，∠ACB= 90°，AC= 2，AB= 4，点P为AB上一点，连 PC， PC+ 12 PB的 为 ． 1 如图所示， 中， ，M为线段 上一定点，P为线段 上一 点． 点P 运 的过 中，满足PM+ 12 AP的 时， ∠APM= ． 21 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 2 如图， ΔABC中，∠A= 15°，AB= 10，P为AC边上的一个 点 (不与A、C )，连 BP， 22 AP+PB的 ( ) A. 5 2 B. 5 3 C. 10 33 D. 8 3 如图，AC O的直 ，AC= 4， BA= 120°，点D AB上的一个 点， 么OD + 12 BD的 为 ( ) A. 3 2 B. 3 C. 1+ 32 D. 1+ 3 4 如图， Rt△ABC中，∠ACB = 90°， ， ，点 D 斜边 上的 点， 的 为 .     模块三 阿氏圆问题 阿氏圆模型讲解 【模 来 】 所 ， 点 两定点距 之比为定值， 么 点的轨迹 ，这个 ，称为 波 斯 ， 称为 ． 本质 过构 母子相 ， 比 系数，转 为两定一 饮马 最值， 点 于如 构 母子相 ． 22 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 【模 建立】 如图 1所 ，⊙O的 为R，点 A、B都 ⊙O外 ，P为⊙O上一 点，已知R= 25 OB， 连 PA、PB， “PA+ 25 PB”的值最 时，P点的 如 定？ 解 法：如图 2， 线段 OB上截取OC OC= 25 R， 可说 △BPO与△PCO相 ， 有 2 5 PB =PC。故本题 “PA+ 25 PB”的最 值可以转 为“PA+PC”的最 值， 中与A与C为定点，P 为 点，故 A、P、C 三点 线时，“PA+PC”值最 。 题 一 两定点在圆外：向内取点 (系数小于 1) 1 如图， RtΔABC中，∠ACB= 90°，CB= 4，CA= 6， C的 为 2，点P为 上一 点，连 AP，BP． ①AP+ 12 BP；② 2AP+BP；③ 1 3 AP+BP；④AP+ 3BP的 ． 23 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 2 如图，正方 ABCD边 为 2 2，内 O上一 点P，连 AP、DP， AP+ 22 PD的 为 ． 1 如图，已知正方ABCD的边 为 6， B的 为 3，点P B上的一个 点， PD- 1 2 PC的 大 为 ． 2 如图，AB为⊙O的直 ，AB= 2，点C与点D AB的 ，且AD⊥AB，BC⊥AB， AD= 1，BC= 3，点P ⊙O上的一 点， 22 PD+PC的 为 ． A B C D P O 3 如图， 边三角 ABC边 为 4 3， O △ABC的内 ，P O上一 点，连 PB、PC， BP+ 12 CP的 为 ． 24 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 4 如图， 直角 系中，M (6，3)，N (10，0)，A(5，0)，点P为以OA为 的 O上 一 点， PM+ 12 PN的 为 5 如图，抛物线 y= x2- 6x+ 5与 x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,AB= 4，以点B为 ， 为 2的 ，点P为⊙B上一个 点，请 出PC+ 12 PA的 ．    题 二 两点在圆内：向外取点 (系数大于 1) 1 如图，∠AOB= 90°，OA=OB= 1， O的 为 2，P O上一 点，PA+ 2PB的 为 ． 1 已知扇 COD中，∠COD= 90°，OC= 6，OA= 3，OB= 5，点P CD上一点，2PA +PB的 为 ． 25 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 2 如图， ⊙O中，点A、点 B ⊙O上，∠AOB= 90°，OA= 6，点 C OA上，且OC= 2AC，点D OB的中点，点M AB上的 点， CM+ 2DM的 为 ． 题 三 一内一外提系数 1 如图， ΔABC中，∠ABC= 90°，AB= 2BC= 6，BD= 1，P 以B为 3为 的 上， AP+ 6PD的 为 ． 1 如图，正方 ABCD边 为 4，L CD的中点，Y ⊙C上，| 2LY-YA|的 大 ，2 2LY+YA的 26 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 题 四 隐圆+阿氏圆 1 如图， 菱 中，对角线AC、BD相交于点O，点 E、F 上的两个 点，且 ，P 的中点，连 OP、PC、PD，若AC= 12,BD= 16， PC+ 14 PD的 为 ．    2 如图， 边 为 6的正方 ABCD中，M为AB上一点，且BM= 2，N为边BC上一 点．连 MN， △BMN MN翻折 △PMN，点P与点B对 ，连 PA，PC， PA+ 2PC的 为 ．    1 如图， RtΔABC中，∠ACB= 90°，AC= 6，BC= 8，D、E 边BC、AC上的两个 点，且DE= 4，P DE的中点，连 PA，PB， PA+ 14 PB的 为 ． 27 最值 中考 问 题 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 2 如图， 直角 系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2)，P ΔAOB外部的 一 内一 点，且∠BPA= 135°， 2PD+PC的 ． 3 如图， 直角 系中，A 2,0 、B 0,2 、C 5,2 、D 4,4 ，点 P 一 ，且 ， 2PD+ 4PC的 为 ．    模块四 线段拼接问题 (逆等线模型) 一、什么 线段。 两个 点 直线上运 ，且它们 自 某一定点的距 始终相 , 么这两条始终相 的线段称 为 线段。 二、解题步骤: 1.找三角 。找一条 线段，一条 线段构成的三角 。 (图中本 有的三角 ，不要添 辅 线以 构成的三角 ) 2. 定该三角 的不变量。 点移 过 中，该三角 有一个边长 不变，有一个角的大 不变。 3.从另一 线段的定点 一条线。 线段长 于 二步中的 个不变的边长，与这个 线 段的夹角 于 二步中 个不变的角。 4.问题转 为 饮马问题 最值。 【模 解读】 △ABC中，D、E AB、AC上的 点，且AD=CE， 相 ， 称AD CE为 线， 么 扭 么来。 28 中考冲刺 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 最值 中考 问 题 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 一 下，题目中有两个 有首 相连的线段相 ， 两定两 ，也 为 线问题。 观察图 ，我们 容 发 ，AD CE 有首 相连，所以，一 过 移或者 行 方法构 三角 来实 线段转移，从而 线段产 系，最终解 问题。 这 解释 统 枯燥，我们以 题来描述 如图， △ABC中，∠ABC= 60°，BC= 8，AC= 10，点D、E AB、AC上的 点，且AD= CE， CD+BE的最 值。 析 路： ① AD △ADC中， 么我们 以CD为一边构 另一个三角 与之 ，这个 也叫做一边一角 。 ② 过点C CF⎳AB，且CF=AC。 (构 一边一角， ) ③ 构 出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE， 两点之间，线段最短，连 BF， BF 为所