精品解析：甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

兰州一中高三年级11月月考试题 高三数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两边同时除以求得z，再根据复数模的概念进行求解. 【详解】因为，所以，. 故选：D 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值. 【详解】因为， 所以，则 又因为， 所以，当且仅当时，等号成立； 所以的最大值为25. 故选：C 4. 在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可. 【详解】在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设， 则，，， 由题意可知，即，解得. 则，所以. 故选：A. 5. 已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，，再根据函数的单调性即可判断. 【详解】为偶函数，， ，， ，定义在上的函数在内为减函数， ，即， 故选：B． 6. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（ ） （参考数据：，） A. 280 B. 300 C. 360 D. 640 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知， ，即， 两式相比得 解得 故选：C 7. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可由和差角公式求解. 【详解】故， 因此 故选：C 8. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】，所以，A正确， 取，满足，显然不成立，B错误； 取，满足，显然不成立，C错误； ，得，又，得， 所以，所以，D正确， 故选：AD 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象上的特殊点和对称轴可求函数的解析式，利用正弦函数的图象与性质，图像变换，诱导公式逐项判断即可. 【详解】由图可知，，周期，则，故A正确； 由，得，即， 解得，，即，； 因为，所以，则； 对于B，的图象向右平移个单位得 ，故B正确； 对于C，由，得，根据正弦函数的图象可知， 和，即和是函数的两个极值点，故C错误； 对于D，由，得，则，此时，则在区间上的最大值为，故D正确； 故选：ABD 11. 已知三次函数有三个不同的零点，，（），函数也有三个零点，，（），则（ ） A. B. 若，，成等差数列，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导根据两个极值点即可求解A，根据关于对称，结合等差中项即可求解B，根据图象即可求解C，利用因式分解可得，即可利用三元平方关系求解D. 【详解】由可得， 要使有三个不同的零点，，（）， 则有两个不相等的实数根，故， 即，A正确， 由于为二次函数，关于对称，因此 ， 故关于对称， 因此，，成等差数列，故是的对称中心，则，故B正确， 当时，作出的图象，则的图象与的图象交点如图所示， 由于，故，故C错误，    对于D，根据， 展开可得， 故， 同理可得的三个实数根为，，（）， 则， 故， 因此， 故， 即得，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据因式分解可得，进而根据求解. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由所给等式得，两式相减可求得的通项公式，代入通项即可得解. 【详解】因为①， 当时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为： 14. 的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义可得，结合余弦定理和周长可得，即可根据基本不等式求解. 【详解】，故， 又余弦定理可得， 因此， 由于，故， 故， 当且仅当时，等号成立， 结合，故，因此最大值为， 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足，数列为等比数列，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可判断数列是以1为首项，2为公差的等差数列，再利用公式求通项公式即可； （2）对于①，将用基本量表示，即可解得首项；对于②，根据等差中项列方程，即可解得首项；对于③，利用等比数列前项和公式列方程，即可解得首项；对于数列的前项和，利用分组求和法计算即可. 【小问1详解】 因为，， 令得，又数列为等比数列，所以公比为2，即， 因此，，所以数列是以1为首项2为公差的等差数列， 所以， 【小问2详解】 由（1）知数列为公比为2的等比数列 若选①，由得，所以，则 若选②，由成等差数列得， 即，所以，则 若选③，由得，所以，则 所以 所以，数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列， 偶数项是以4为首项4为公比的等比数列， 所以 16. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）求证；平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：由题意得平面，因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得到，再结合，可证明平面，从而可求解； （2）由题意知求出，建立空间直角坐标系，再利用空间面面夹角向量方法，从而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以， 又因为三棱锥的体积为，即，得， 由题意可得以为原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设二面角为，则. 所以锐二面角的余弦值为. 17. 如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足． （1）证明：； （2）若，设,求四边形面积的最大值. 【答案】（1）证明：由 ， ， ， ，正弦定理得 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件化简可得sinC+sinB＝2sinA，再由正弦定理可得b+c＝2a； （2）由条件和（1）的结论可得△ABC为等边三角形，利用S△OACB＝S△OAB+S△OBC，结合辅助角公式，可得平面四边形OACB面积的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，为等边三角形 , ，时，取最大值. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及正弦定理和三角形的面积，考查三角函数的性质，正确表示平面四边形OACB面积是关键． 18. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解； （2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 19. 若将对于任意、总有的函数称为“类余弦型”函数. （1）已知为“类余弦型”函数，且，，求的值； （2）在（1）的条件下，若数列：，求的值； （3）若为“类余弦型”函数，且，对任意非零实数，总有.设有理数、满足，判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】（1） （2） （3） 由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称， 令，有，又，故. 令，为任意实数则， 即，故是偶函数. 因为， 又因为当时，， 所以当时，有， 所以， 因为、为有理数，不妨设，， 令为、的分母的最小公倍数且，，、均为自然数，且， 设，，则， 令，，则， 即，， 故数列单调递增，则， 又是偶函数，所以有. 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，然后令，可得出的值； （2）令，，，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，然后利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值； （3）先证为偶函数，再证若、、都是自然数且，如有，，设，只需证是增函数，利用函数单调性的性质即可证明. 【小问1详解】 令则，，又，故. 令，则， 则，，故. 【小问2详解】 令，，，则， ，即， 又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列，即， 则. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，而第三问：根据有理数的性质：令，，将问题转化为判断在上为增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中高三年级11月月考试题 高三数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 4. 在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 5. 已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（ ） （参考数据：，） A. 280 B. 300 C. 360 D. 640 7. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 11. 已知三次函数有三个不同的零点，，（），函数也有三个零点，，（），则（ ） A. B. 若，，成等差数列，则 C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为__________. 13. 已知数列满足，则__________. 14. 的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足，数列为等比数列，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 16. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）求证；平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值. 17. 如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足． （1）证明：； （2）若，设,求四边形面积的最大值. 18. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 19. 若将对于任意、总有的函数称为“类余弦型”函数. （1）已知为“类余弦型”函数，且，，求的值； （2）在（1）的条件下，若数列：，求的值； （3）若为“类余弦型”函数，且，对任意非零实数，总有.设有理数、满足，判断与的大小关系，并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $