专题强化09：三角函数、函数y＝Asin(ωx＋φ)图像性质题型归纳【8大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

专题强化09：三角函数、函数y＝Asin(ωx＋φ)图像性质题型归纳 【题型归纳】 题型一：正余弦函数的图像及其应用 题型二：正弦（型）函数的性质 题型三：余弦（型）函数的性质 题型四：正切（型）函数的图像和性质 题型五：三角函数图像的平移变换 题型六：三角函数图像的平移变换的解析式问题 题型七：三角函数性质综合问题 题型八：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题 【题型探究】 题型一：正余弦函数的图像及其应用 1．（21-22高一下·陕西西安）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·浙江）函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一下·全国）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 题型二：正弦（型）函数的性质 4．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知常数，函数在区间上单调，则不可能等于（    ） A． B．2 C． D． 5．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 题型三：余弦（型）函数的性质 7．（2023·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 8．（2023·山东烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 9．（22-23高一下·河北衡水·阶段练习）不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 题型四：正切（型）函数的图像和性质 10．（22-23高一上·江苏扬州·期末）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 11．（22-23高一上·江苏泰州·阶段练习）关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期是 D．在内单调递增 12．（22-23高一下·江苏镇江）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 题型五：三角函数图像的平移变换 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 14．（22-23高一下·四川绵阳·期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（        ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 15．（22-23高一上·江苏扬州·期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 题型六：三角函数图像的平移变换的解析式问题 16．（2023·北京大兴·三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 17．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是（    ）． A． B． C． D． 18．（22-23高一上·北京通州·期末）将函数的图像向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线对应的函数是（    ） A． B． C． D． 题型七：三角函数性质综合问题 19．（22-23高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．图象关于点成中心对称 C．的一个单调递增区间为 D．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 20．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是图象的一条对称轴； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 21．（21-22高一下·山东德州·阶段练习）已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于对称 D．在上的最大值是1 题型八：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题 22．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值. 23．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知，. (1)若，，且，求函数的单调增区间； (2)若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，当取最小值时，方程在区间上有解，求实数的取值范围. 24．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的一段图象过点，如图所示． (1)求函数的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； (3)若，求的值. 【专题强化】 一、单选题 25．（23-24高一上·山东聊城·期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 28．（22-23高一上·北京·期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 29．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·江苏南通·期末）设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024·陕西·一模）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（，）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 二、多选题 34．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 35．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．函数的图象向左平移单位后关于原点对称 D．在区间上单调递增 36．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．函数的图象向左平移单位后关于原点对称 D．在区间上单调递增 37．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A． 的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 38．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）.    A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在区间内的最小值为1 D．的图象关于直线对称 三、填空题 39．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上的单调减区间是 . 40．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 41．（2024·浙江·模拟预测）设函数，若存在使成立，则的取值范围是 . 42．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 43．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为 . 四、解答题 44．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 45．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，直线是其图象的一条对称轴． (1)求的值； (2)用五点作图法列表画出函数的草图，并写出函数在上的单调减区间． 46．（23-24高一上·江苏盐城·期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期|的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 0 0 (1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； (2)若在区间恒成立，求实数的取值范围. 47．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的最小正周期为，为函数的一个对称中心． (1)求函数的最小值，并求出取得最小值时自变量的集合； (2)设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 48．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数的图象. (1)求的解析式； (2)当时，求的单调递减区间. 49．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为奇函数. (1)求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合. (2)求函数的图象向右平移个长度单位再向下平移1个长度单位得到的图象，求的解析式并求在的单调递减区间. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化09：三角函数、函数y＝Asin(ωx＋φ)图像性质题型归纳 【题型归纳】 题型一：正余弦函数的图像及其应用 题型二：正弦（型）函数的性质 题型三：余弦（型）函数的性质 题型四：正切（型）函数的图像和性质 题型五：三角函数图像的平移变换 题型六：三角函数图像的平移变换的解析式问题 题型七：三角函数性质综合问题 题型八：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题 【题型探究】 题型一：正余弦函数的图像及其应用 1．（21-22高一下·陕西西安）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中作出在上的图象，运用数形结合的思想方法即可求解 【详解】 如图所示，不等式，的解集为 故选：A 2．（20-21高一上·浙江）函数的一个单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合得到答案. 【详解】画出的图象，如下，    可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求. 故选：C 3．（20-21高一下·全国）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据平移，即可得出A项；根据特殊点的坐标，以及函数的最值，即可判断B、C、D项. 【详解】因为. 对于A项， 作出函数的图象 将该函数图象，向左平移即可得出的图象，故A正确； 对于B项，当时，，故B项错误； 对于C项，当时，，故C项错误； 对于D项，因为函数有最大值为2，故D项错误. 故选：A. 题型二：正弦（型）函数的性质 4．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知常数，函数在区间上单调，则不可能等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的单调性，由的单调区间得的取值范围，验证各选项中的值. 【详解】常数，当，有， 正弦函数的单调区间为， 函数在区间上单调， 则有，解得， 时，，满足； 时，，满足； 时，，满足； 不等式，解得，因为，则无解， 则时，函数在区间不单调； 故选：C 【点睛】方法点睛： 依题意有，区间包含于正弦函数的单调区间，可求出的取值范围. 5．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代换法求出函数的递减区间，结合集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，， 令， 解得， 又函数在区间上单调递减， 所以，解得， 当时，. 故选：C. 6．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案. 【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间. 令， 所以. 故选：A. 题型三：余弦（型）函数的性质 7．（2023·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】可化为，故单调增区间： ，， 解得，. 令，，令，. ， 所以的单调递增区间是. 故选：D 8．（2023·山东烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】由，所以， 又，所以， 且函数在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 9．（22-23高一下·河北衡水·阶段练习）不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果. 【详解】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得. 故选：D. 题型四：正切（型）函数的图像和性质 10．（22-23高一上·江苏扬州·期末）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】先看充分性：当时，比如当时, , 显然不满足，充分性不成立； 再看必要性：当时，比如, 此时，但不满足，必要性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件. 故选:. 11．（22-23高一上·江苏泰州·阶段练习）关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期是 D．在内单调递增 【答案】C 【分析】作出的图象，结合正切函数的性质对选项逐一判断， 【详解】作出的图象如图所示， 对于A，，故是偶函数，故A正确， 对于B，结合正切函数的性质知的图象关于直线对称，故B正确， 对于C，的最小正周期是，故C错误 对于D，结合正切函数的性质知在内单调递增，故D正确， 故选：C 12．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】D 【分析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案. 【详解】A：因为， 所以函数的最小正周期，故A正确. B：由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确. C：由，， 得，， 当时，， 所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确. D：因为， ， 所以，故D不正确. 故选：D. 题型五：三角函数图像的平移变换 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数， 所以只需把函数向左平移个单位，即可得到函数的图象. 故选：C. 14．（22-23高一下·四川绵阳·期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（        ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 【答案】B 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解. 【详解】解：先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到， 再向右平移个单位得到的图像； 或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像. 故选：B 15．（22-23高一上·江苏扬州·期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用三角函数平移伸缩变换的性质，结合诱导公式求解即可. 【详解】对于AC，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图像， 再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像，故A错误，C正确； 对于BD，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，后续平移变换必得不到的图像，故BD错误. 故选：C. 题型六：三角函数图像的平移变换的解析式问题 16．（2023·北京大兴·三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】利用诱导公式及三角函数的变换规则计算可得. 【详解】因为， 所以将向右平移个单位得到. 故选：D 17．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图象求得，再根据三角函数图象变换求. 【详解】由函数的图象可得：， 可得，解得， 则 ∵函数图象过点，则，即， 由，可得，故，解得， 故， 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 故选：B. 18．（22-23高一上·北京通州·期末）将函数的图像向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图像变换方式计算即可. 【详解】由题得：，所以：，得到： 故选：C 题型七：三角函数性质综合问题 19．（22-23高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．图象关于点成中心对称 C．的一个单调递增区间为 D．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 【答案】D 【分析】先利用题意得到，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到， 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到， 对于A，因为 所以直线不是的对称轴，故错误； 对于B， 所以图象不关于点成中心对称，故错误； 对于C，当，则， 因为正弦函数在不单调，故不是的一个单调递增区间，故错误； 对于D，当时，则或， 则或，则相邻交点距离最小值为，故D正确 故选：D. 20．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是图象的一条对称轴； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用三角函数的周期性、对称性、平移变换即可得出答案. 【详解】对于①，的最小正周期为，故①正确； 对于②，，所以②不正确； 对于③，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到，所以③不正确. 故选：A. 21．（21-22高一下·山东德州·阶段练习）已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于对称 D．在上的最大值是1 【答案】D 【分析】首先根据函数的周期和图象变换得到，再依次判断选项即可. 【详解】因为，所以，. 将的图象向左平移个单位长度，得到， 再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. 对选项A，，故A正确. 对选项B，，所以的图象关于点对称，故B正确. 对选项C，，所以的图象关于对称.故C正确. 对选项D，，，所以， 所以，故在上的最大值是，故D错误. 故选：D 题型八：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题 22．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值. 【答案】(1)，减区间为 (2) 【分析】（1）利用图象可得出的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最小值和最大值，可得出，即可得解. 【详解】（1）解：由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 因为，则，所以，，所以，， 因此，， 由解得， 所以，函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向左平移个单位长度， 可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则，故实数的最小值为. 23．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知，. (1)若，，且，求函数的单调增区间； (2)若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，当取最小值时，方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，（闭区间也正确） (2) 【分析】（1）根据，，且，结合周期公式求出函数的解析式，再求单调增区间即可； （2）根据平移变换法则以及函数的对称性求出函数解析式，再求的最小值，结合正弦函数的性质可求实数的取值范围. 【详解】（1），则，所以； 由，，解得，， 所以函数的单调增区间为，（闭区间也正确）. （2）将的图象向左平移个单位长度后得到， 若所得图象关于轴对称，则，得，， 因为，所以； ，得，， 所以的取值范围为. 24．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的一段图象过点，如图所示． (1)求函数的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式； （2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域； （3）根据可求出，由此求出，进而得到的值. 【详解】（1）由图知，，则. 由图可得，在处最大值， 又因为图象经过，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． （2）由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以在区间上的值域为. （3）因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以. 所以， 所以. 【专题强化】 一、单选题 25．（23-24高一上·山东聊城·期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解. 【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误； 对于B，若，首先定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又，所以是周期函数，故B正确； 对于C，画出函数的图象如图所示： 由此可知函数不是周期函数，故C错误； 对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B. 26．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线的图象； 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线的图象； 最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的的图象. 由于曲线恰好是函数的图象. 在区间上，，，. 故在区间上的值域是. 故选：B. 27．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 【答案】C 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 可得，所以， 又由，可得，因为，可得， 又因为，即， 因为，可得，解得，所以， 对于A中，由，不是函数的最值，所以A错误； 对于B中，由，所以点不是函数的对称中心，所以B错误； 对于C中，由，可得， 根据正弦函数的性质，可得在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，所以C正确； 对于中，由，可得， 当时，即时，可得， 又由，所以函数在的值域为，所以D错误. 故选：C. 28．（22-23高一上·北京·期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案. 【详解】， 则把函数图象上所有的点向右平移个单位即可. 故选：D 29．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据图像变换得到的解析式，再求出的对称中心，最后逐一验证选项的点是否符合即可. 【详解】图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍得到， 令，解得，所以的对称中心为， 对于A：令，解得，所以是的一个对称中心，A正确； 对于B：令，解得，B错误； 对于C：令，解得，C错误； 对于D：令，解得，D错误， 故选：A 30．（23-24高一上·江苏南通·期末）设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得. 【详解】由，且，故， 即有，解得， 又，，故，即， 综上，. 故选：B. 31．（2024·陕西·一模）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出函数的解析式为，然后求出，再利用整体代换法求出正弦型函数的单调递减区间，从而可求解. 【详解】因为的图像上相邻最高点的距离为，所以的最小正周期，从而． 又的图像关于直线对称，所以， 因为，所以，所以， 所以，将的图像向右平移个单位后，得到， 所以， 当， 即时，单调递减． 因此的单调递减区间为，故D正确. 故选：D. 32．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数与正弦函数的图象结合分段函数的性质计算即可. 【详解】对于，易知，且抛物线开口向下， 则必有一个负根， 所以有且只有两个零点， 易知，则. 故选：B 【点睛】方法点睛：二次函数根的分布需要注意开口方向，判别式及根与系数的关系，本题从以上三个角度可确定函数有一个负零点，而含参三角函数通常利用整体代换的方法结合三角函数图象与性质来处理参数范围. 33．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（，）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【详解】因为函数的图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以， 即且， 则， 因为，得， 因为，所以时，，则；当时，， 综上，，即的最大值为， 故选：C. 二、多选题 34．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】AC 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；当时，解方程，可判断C选项；利用与余弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错. 故选：AC. 35．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．函数的图象向左平移单位后关于原点对称 D．在区间上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据周期公式即可求解A，代入验证即可求解B，根据平移的性质即可求解C，利用整体法即可求解D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A错误， 对于B，，故是函数的图象的一条对称轴，B正确， 对于C,将的图象向左平移单位后得到，为奇函数，故关于原点对称，C正确， 对于D，当时，，故在区间上单调递增，D正确， 故选：BCD 36．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．函数的图象向左平移单位后关于原点对称 D．在区间上单调递增 【答案】BCD 【分析】由周期公式可得A正确，代入验证可知关于对称，即B正确，根据平移规则以及正弦函数奇偶性可得C正确，利整体代换法可求得D正确. 【详解】对于A，由周期公式可得的最小正周期为，即A错误； 对于B，将代入可得，取得最大值， 因此直线是函数的图象的一条对称轴，即B正确； 对于C，函数的图象向左平移单位后可得到， 显然为奇函数，图象关于原点对称，即C正确； 对于D，当可得，易知在上单调递增， 因此在区间上单调递增，即D正确. 故选：BCD 37．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】根据给定的图象求出函数的解析式可判断A；将代入解析式可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的周期，则，， 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为； 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为， 因为， 所以， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，是的最小值，故B正确； 对于C，当时，， 利用正弦函数的性质知，， 得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 38．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）.    A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在区间内的最小值为1 D．的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，根据余弦函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据函数的部分图象， 可得，，可得，，故选项A正确； 由得，又，所以， 所以，所以， 因为定义域为R，且，所以为奇函数，故选项B错误； 当，可得，所以，所以， 故在区间内的最小值为1，选项C正确； 当时，可得，所以函数的对称中心为， 即函数的图象不关于直线对称，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 39．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上的单调减区间是 . 【答案】和 【分析】利用正弦函数的性质可知的单调增区间为，，故可得，从而求出函数的单调减区间，最后取特殊值便可求得上的单调减区间. 【详解】函数， 令， 解得， 即函数的单调减区间为： 令得，；令得， 所以在区间上的单调减区间为和， 故答案为：和. 40．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】，，， 因为上恰有两个最大值， 所以，解得. 故答案为： 41．（2024·浙江·模拟预测）设函数，若存在使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意确定时，，结合正弦函数的图象和性质找到当时，离最近且使得的x值，由此列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于函数， 当时，， 根据正弦函数的性质可知当时，离最近且使得的x值为, 故存在，使成立，需满足， 即的取值范围为， 故答案为： 42．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 【答案】/0.75 【分析】根据函数图象过的点，求出，再结合函数的单调性推出，二者联立即可确定答案. 【详解】由题意知函数（）的图象过点， 故，则， 故， 又在区间上单调递增，则， 解得，结合，， 可得时，， 故答案为： 43．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可求得答案. 【详解】若恒成立，则， 所以，即，又在区间上单调递增， 所以，故，， 解得，令得，又，所以， 令得；当时，，不合题意； 综上可得或. 故答案为：. 四、解答题 44．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值； （3）求出函数图象在内的对称轴方程，可得出，得，，利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，则，， 所以，，则，可得， 因为，则，所以，，解得， 因此，. （2）因为，则，所以，，即， 所以的最大值为，最小值为. （3）因为，当时，， 令，所以， 因为在区间上恰有两个零点、， 函数图象在区间内的对称轴为直线， 由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则， 所以， 由得，， 所以， 所以. 45．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，直线是其图象的一条对称轴． (1)求的值； (2)用五点作图法列表画出函数的草图，并写出函数在上的单调减区间． 【答案】(1) (2)作图见解析，单调减区间为， 【分析】（1）根据已知结合正弦函数的性质推得，结合的取值范围，即可得出答案； （2）列表得出点，描点得出函数图象，根据图象，即可得出函数的单调递减区间. 【详解】（1）根据已知结合正弦函数的性质可得，， 所以，. 又， 所以，. （2）令，列表可得， 0 0 0 1 0 作出函数的图象如下    由图象可知，函数在上的单调减区间为，. 46．（23-24高一上·江苏盐城·期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期|的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 0 0 (1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； (2)若在区间恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据已知条件依次求得、、的值，从而求得的解析式. （2）先求出在区间上的最大值，从而，从而可求解. 【详解】（1）根据五点法的表格中，，，可知，，，所以， ，，得，所以， 令， 解之得， 即的单调递减区间为，. （2）由于，则， 所以，则， 因为在区间恒成立，所以， 所以的取值范围为. 47．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的最小正周期为，为函数的一个对称中心． (1)求函数的最小值，并求出取得最小值时自变量的集合； (2)设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值为，的集合为 (2) 【分析】（1）根据周期性和对称性求，再结合正弦函数的最值分析求解； （2）令，由题意可得：在恒成立，结合二次函数性质分类讨论求最值，结合恒成立问题运算求解. 【详解】（1）因为的最小正周期为，且，可得，解得 又因为为的对称中心，则， 可得 ，解得，， 又因为 ，则，所以， 可知函数的最小值为， 此时，即， 所以使函数取得最小值的的集合为. （2）因为，注意到，可得， 令，且，可得 所以原不等式化为 ，即在恒成立， 令，，对称轴， 当，即时，，解得（舍去）； 当，即时，，解得； 当，即时，，解得（舍去）； 综上所述：实数的取值范围是 48．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示.若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数的图象. (1)求的解析式； (2)当时，求的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数图象可确定A，根据最小正周期求出，利用特殊点坐标求出，即可得的解析式； （2）根据三角函数的平移变换可得的解析式，求出其单调递减区间，和求交集，即得答案. 【详解】（1）由图象可知，函数最小正周期， 由，得，则, 则，结合，可得， 故； （2）由题意可得， 令，解得， 当时，的单调递减区间为，k取其它值时与区间无交集， 故当时，的单调递减区间为. 49．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为奇函数. (1)求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合. (2)求函数的图象向右平移个长度单位再向下平移1个长度单位得到的图象，求的解析式并求在的单调递减区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)与 【分析】（1）求出函数的解析式，然后根据整体代换求解 和，从而求解. （2）利用图象平移求出，然后利用整体代换求解相应的递减区间，从而求解. 【详解】（1）依题意有，因为，所以， 即为奇函数，满足题意. 当即时，取最大值； 当即时，取最小值. 所以取最大值时，的取值集合为， 取最大值时，的取值集合为. （2）依题意图象向右平移个长度单位再向下平移个长度单位得到， 即， 若单调递减，则， 所以， 又， 令得其减区间为与. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$