精品解析：山东省烟台市芝罘区（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题

初二数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】设木条的长度为xcm，则10-5＜x＜10+5，即5＜x＜15． 故选D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析即可得到答案． 【详解】解：B，C，D中线段不能表示任何边上的高； A中线段能表示的高，且表示边上的高． 故选：A． 4. 用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图（作一个角等于已知角），解题的关键是根据“用直尺和圆规画一个角等于已知角”的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．据此可得结论． 【详解】解：如图，设已知角为，以顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为，两点；画一条射线，端点为；以为圆心，长为半径画弧，交射线于点；以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；作射线， 则即为所作． 由以上过程知：，， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 5. 小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数像如图所示，这时的实际时刻应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．解决此类题应认真观察和有空间想象力． 根据镜面对称的性质，求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：C． 6. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 另有， 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用能判定，故此选项符合题意； 故选． 7. 如图，把一张对边互相平行纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，本题先求解，可得，再结合角的和差可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（　　） A 20° B. 30° C. 40° D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】由AD＝DE，以及∠ADE＝40°求得∠DEA＝70°，由AB＝AC，∠B＝40°求得∠C＝∠B＝40°，进而根据三角形的外角性质即可求得∠EDC＝30° 【详解】解：∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠ADE＝40° ∴∠DEA＝70°， ∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠DEA=∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEA-∠C＝30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，求得∠DEA＝70°是解题的关键． 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 10. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ） A. 11 B. 55 C. 66 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和为11， 故选：A． 11. 如图，是的中线，点分别为的中点．若的面积为则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两份逐步分析即可解答． 【详解】解：是的中点，的面积为， ， 是的中点， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形中线把三角形的面积分成面积相等的两份是解答本题的关键． 12. 如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，涉及轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，运用了等积变换的思想．掌握对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，作点，交于点，则，所以，即的最小值为． 【详解】解：作点关于的对称点，作点，交于点，连接， ∴， ∴， 即的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有______条． 【答案】3##三 【解析】 【分析】此题考查轴对称的性质和等边三角形的性质，属常规题．根据等腰三角形三线合一的性质可知每条高所在的直线都是对称轴． 【详解】解：每条高所在的直线都是对称轴，所以共有3条对称轴． 故答案为：3 14. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为__________． 【答案】##15厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分当腰长为时，当腰长为时，根据等腰三角形的定义确定三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形， 综上所述，该等腰三角形的周长为， 故答案为：． 15. 如图，，，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是___________nmile． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】根据题意可知， ∴． 在中，，， ∴（nmile）． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法． 17. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B′， ∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm， 根据两点之间线段最短，AB′==10cm． 故答案为：10 18. 如图，在中，，，，是的角平分线，于点，则的长度是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及角平分线的性质，判定为直角三角形，利用的面积求法得到是解题的关键．作于，利用角平分线的性质证得，由的三边长，根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，根据三角形的面积公式得，代入数值计算即可求得的值． 【详解】解：作于， ∵是的角平分线，于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴，即 ∴． 故答案为∶． 19. 如图，中，，，以为边的正方形面积是2，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据正方形的面积，求出，再利用含30度角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵以为边的正方形面积是2， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 20. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，设点的运动时间为，则，， 分或两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，点为的中点， ∴，， 设点的运动时间为，则， ∴， 若与全等，则有或， 当时，， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 当时，， ∴， ∵， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换以及三角形面积求法等知识，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：的面积为： ． 22. 已知的三边长是，，。 （1）若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； （2）化简． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：的三边长是，，， ，即， 三角形的周长是小于16的偶数， 即， ； 【小问2详解】 解：由三角形三边关系得：， ，， ． 23. 如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．首先根据得到，然后证明，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 24. 如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积等知识点．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再利用勾股定理求得，从而求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 详解】解：∵， ，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴． 25. 我国南海舰队深圳号驱逐舰在南海某岛海域巡航，如图所示，，，，该岛位于O点，深圳号驱逐舰在点B处发现有一艘外国军舰，自A点出发沿着方向匀速驶向该岛所在地点O，深圳号驱逐舰立即从B处出发以相同的速度沿直线方向前去拦截这艘军舰，结果在点C处截住了军舰． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求深圳号驱逐舰行驶的航程的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，基本作图—作垂线． （1）根据两舰的速度相等，得到，得到点在的中垂线上，作的垂直平分线与交于点C，点即为所求； （2）连接，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：点在的中垂线上， 如图所示，作的垂直平分线与交于点C． 【小问2详解】 连接，如上图所示． 由作图可得为的中垂线，则． 由题意可得． 因， 在中，， 所以， 解得 故深圳号驱逐舰行驶的航程的长为． 26. 如图，在中，，高，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的关键是证明． （1）先由已知得到，即可证明，即可求得； （2）由（1）得，，从而，再利用线段的和差即可得解． 【小问1详解】 证明：∵高，交于点， ∴，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵，， ∴，，， ， 在和中， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 27. 下面是小明复习全等三角形时的一个思考，请阅读并帮助小明完成后面的学习任务． 如图，平分，点在上，、分别是、上的点：，求证：． 小明的思考：要证明，只需证明即可． 证明：如图，∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 学习任务： （1）小明得出的依据是________（填序号）： ①②③④ （2）如图，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点，求证：； （3）如图，在中，，当时，的外角平分线交于点，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1）②； （2）见解析； （3），理由见解析。 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可选择； （2）在上取点，使得，连接，证明，，即可证明； （3）在取点，使，连接，再证明，可得，，进而得出，再根据，结合三角形外角的性质和等角对等边得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，其证明全等的是两边及夹角，即：， 故选②； 【小问2详解】 证明：在上取点，使得，连接， ∵平分， ∴． 又，， ， ． ，，， ． ∵平分， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，在取点，使，连接， ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （ ） A B. C. D. 5. 小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（　　） A 20° B. 30° C. 40° D. 50 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ） A. 11 B. 55 C. 66 D. 11. 如图，是的中线，点分别为的中点．若的面积为则的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有______条． 14. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为__________． 15. 如图，，，，则度数是________． 16. 如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是___________nmile． 17. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 18. 如图，在中，，，，是的角平分线，于点，则的长度是________． 19. 如图，中，，，以为边正方形面积是2，则的值是________． 20. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）求的面积． 22. 已知三边长是，，。 （1）若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； （2）化简． 23. 如图，在和中，，，． 求证：． 24. 如图，中，是上一点，连接．若，，，，求的面积． 25. 我国南海舰队深圳号驱逐舰在南海某岛海域巡航，如图所示，，，，该岛位于O点，深圳号驱逐舰在点B处发现有一艘外国军舰，自A点出发沿着方向匀速驶向该岛所在地点O，深圳号驱逐舰立即从B处出发以相同的速度沿直线方向前去拦截这艘军舰，结果在点C处截住了军舰． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求深圳号驱逐舰行驶的航程的长． 26. 如图，在中，，高，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 27. 下面是小明复习全等三角形时的一个思考，请阅读并帮助小明完成后面的学习任务． 如图，平分，点在上，、分别是、上的点：，求证：． 小明的思考：要证明，只需证明即可． 证明：如图，∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 学习任务： （1）小明得出的依据是________（填序号）： ①②③④ （2）如图，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点，求证：； （3）如图，在中，，当时，的外角平分线交于点，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$