精品解析：辽宁省铁岭市西丰县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中考试试卷 九年数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，， 故选：A． 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C．不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选A． 4. 拋物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，即可得到该抛物线的顶点坐标， 熟练掌握二次函数的顶点式是解决此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程的步骤，掌握配方法是解题的关键．先将原方程进行移项，再通过配方得到完全平方公式，即可得到答案． 【详解】解： 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 33 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于原点对称点的坐标特点：横纵标互为相反数可得的值，进而得到． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴ ∴， 故选：B． 7. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额． 8. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，正比例函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，二次函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：， 即：， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选：D． 9. 如图，在直角坐标系中，点，点，把线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图象，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过点作轴与点D，由旋转的性质证明，得到，进而求出，再根据点在第三象限即可解答． 【详解】解：过点作轴与点D， ∵点，点， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限 ∴． 故选：C． 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，故②错误；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；令y=0，则解得：，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； 令y=0，则 解得：， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵， ∴当时，函数有最大值， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数有最大值，故⑤错误； ∴正确的有2个． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程x2－3＝0的根是__________． 【答案】x1＝，x2＝－ 【解析】 【详解】x2－3＝0 移项得x2=3， 开方得x1=，x2=-． 故答案为：x1=，x2=- 12. 二次函数的图象经过点，则它的开口方向是________． 【答案】向下 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴开口方向向下． 故答案为：向下． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得 1+4m≥0， 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 14. 如图，两条抛物线，与分别经过点，，且与平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移．两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵两解析式的二次项系数相同，都是1， ∴两抛物线的形状完全相同， ∴两条抛物线是上下平移得到， ∴； ∴， 故答案为：12． 15. 如图，是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作于M，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时AE取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出． 【详解】过点A作于M， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，， 即此时AE取最小值， 在中，， ∴在中，； 故答案为8． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法并选择适当的解法求解． （1）移项，直接开平方即可得到答案； （2）移项，系数化为1，配方，再直接开平方即可得到答案． 【小问1详解】 解：移项得，，即：， 两边开平方得，， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得，， 系数化为1得，， 配方得，， 两边开方得，， ∴，． 17. 如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，四边形关于点的中心对称图形是四边形． （1）画出四边形，写出，，，的坐标； （2）直接写出以为顶点，经过的抛物线的解析式． 【答案】（1）作图见解析，，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图中心对称变换，待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是掌握中心对称的性质． （1）根据关于点的中心对称的性质即可画出四边形，进而写出的坐标； （2）设以为顶点，经过的抛物线的解析式为，由待定系数法求出解析式即可． 小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； ，，，； 小问2详解】 解：设以为顶点，经过的抛物线的解析式为， ， ， ． 故抛物线的解析式为． 18. 如图，在中，是边上一点(点与、不重合)，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连结． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，，由于，所以，，所以，从而可证明； （2）由△可知：，，从而可求出的度数． 【小问1详解】 解：，，， ，， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 ，， ， 由（）可知：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型． 19. 如图，老张想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长不超过）围成一个矩形大鹅养殖场，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料） （1）当养殖场的面积为时，求边的长； （2）能否围成面积为的养殖场，若能围成，求此时边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． （1）设矩形的边，再利用矩形面积公式即可求出； （2）假设能围成，同理（1）则，求出的长，得到另一边的长与墙的长度即可． 【小问1详解】 解：设边的长为． ， 解得：，（不合题意，舍去） 答：边的长为； 【小问2详解】 解：假设能围成，则 解得， 则，因为外墙长不超过，不能围成面积为的养殖场． 20. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 【答案】（1）y＝；（2）5小时 【解析】 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到正常水位AB的距离，进而求出时间． 【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0）， 由CD＝10m，可设D（5，b）， 由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b﹣3）， 把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ， 解得：， ； （2）∵b＝﹣1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， （小时）， 所以再持续5小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题． 21. 某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品． （1）求该商品平均每月的价格增长率； （2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元． 【答案】（1）20%;（2）60元 【解析】 【分析】（1）设该商品平均每月价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m， 依题意，得：50（1+m）2＝72， 解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商品平均每月的价格增长率为20%． （2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000， 整理，得：x2﹣300x+14400＝0， 解得：x1＝60，x2＝240（不合题意，舍去）． 答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，________． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象． （3）观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________； （4）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程的解（保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）3 （2）见解析 （3）函数图象关于轴对称（答案不唯一） （4）， 【解析】 【分析】（1）把代入解析式即可求得答案； （2）描点后、用光滑曲线顺次连接即可； （3）观察图象可得函数的性质； （4）观察图象即可获得交点横坐标，即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：描点，连线得出函数图象如图： ； 【小问3详解】 解：由图可知，该函数图象关于轴对称． 故答案为：函数图象关于轴对称； 【小问4详解】 解：观察图象可得与图象交点的横坐标为：、． ∴方程的解为：，． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的特征，描点法画函数图象，函数与方程的联系．图象法解方程等知识，解题的关键在于熟练掌握函数的性质，图象的画法． 23. 将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． （1）如图2，当为的角平分线时，求此时的值； （2）当旋转至的外部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】（1）3秒 （2）当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）15或24或27或33 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【小问1详解】 解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； 【小问2详解】 解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； 【小问3详解】 解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案：15或24或27或33． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期中考试试卷 九年数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 拋物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后得到方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 33 B. C. 7 D. 7. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，正比例函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，二次函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系 9. 如图，在直角坐标系中，点，点，把线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程x2－3＝0的根是__________． 12. 二次函数图象经过点，则它的开口方向是________． 13. 若关于一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 14. 如图，两条抛物线，与分别经过点，，且与平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为________． 15. 如图，是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，四边形关于点的中心对称图形是四边形． （1）画出四边形，写出，，，坐标； （2）直接写出以为顶点，经过的抛物线的解析式． 18. 如图，在中，是边上一点(点与、不重合)，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连结． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 19. 如图，老张想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长不超过）围成一个矩形大鹅养殖场，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料） （1）当养殖场的面积为时，求边的长； （2）能否围成面积为的养殖场，若能围成，求此时边的长；若不能，请说明理由． 20. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 21. 某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品． （1）求该商品平均每月的价格增长率； （2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元． 22. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，________． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象． （3）观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________； （4）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程的解（保留一位小数，误差不超过） 23. 将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． （1）如图2，当为角平分线时，求此时的值； （2）当旋转至的外部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$