精品解析：山东省德州市德城区2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期中检测九年级 数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程是只含有一个未知数，未知项的最高次数为的整式方程，本题根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程中只含有一个未知数且未知项的最高次数是，是整式方程，这是一个一元一次方程，故A选项不符合题意； B、、方程中只含有一个未知数且未知项的最高次数是，是整式方程，这是一个一元二次方程，故B选项符合题意； C、方程是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D、中含有两个未知数且未知项的最高次数是，这是一个二元一次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案． 【详解】顶点式的抛物线的顶点坐标为 则抛物线的顶点坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的顶点式，掌握理解顶点式的特点是解题关键． 4. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中，不是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为OD，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故C不符合题意； D．旋转后的对应边为不是，故不可以作为旋转角，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 5. 嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“ ”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“ ”可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实数根，判别式大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：设常数项为：， 则：由题意，得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式的符号与根的个数的关系，是解题的关键． 6. 如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线， 它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． 故选：A． 7. “立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故选：D． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：B． 9. 已知方程的两根是，，那么二次三项式分解因式得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程根与系数关系及因式分解， 根据方程的两根是，，可得，求得，再将因式分解即可． 【详解】解：方程的两根为，， ， ， ， ， ， 故选：D 10. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴若点在对称轴的左侧，则，若点在对称轴的右侧，则， ∴或， 故选：C． 11. 如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，全等三角形的判定与性质，先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∵，且轴， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转四次，点对应点的坐标循环出现， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转可知， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 12. 将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折，翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折问题，根与系数的关系，先根据翻折后的图像与直线相交于四点得到的取值范围，然后再根据对称性可以得到的值，再联立直线方程与翻折后的抛物线方程，利用根与系数的关系得到结果，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式是， ∴对称轴为：， 在对称轴处取得最值， ∴顶点坐标为， 令，解得方程两个根为：， 将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折， 得到翻折后解析式为：，此时顶点坐标为， ∵翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，且， ∴， ∵关于对称轴对称， ∴， 联立与， 得， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标规律，先根据关于原点对称的点坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，可得一个关于的一元一次方程，再解方程即可得． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 已知，是方程的两根，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ， 故答案为：6． 15. 如图，四边形中，，垂足是E，若线段，则S四边形ABCD=__________． 【答案】16 【解析】 【分析】过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠2，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE=AF=４，S△ABE=S△ADF，则S四边形ABCD=S正方形AECF，然后根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图， ∵AE⊥BC，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠CFA=90°， 而∠C=90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠2+∠3=90°， 又∵∠BAD=90°， ∴∠1=∠2， 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF=4，S△ABE=S△ADF， ∴四边形AECF是边长为5的正方形， ∴S四边形ABCD=S正方形AECF=42=16． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，做出辅助线构造出全等三角形是解此题的关键． 16. 某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽_____m． 【答案】5 【解析】 【分析】依题意，其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程即可．本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形， ∴． ∴， 则， ∴（故舍去）， ∴道路的宽， 故答案为：5． 17. 如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值． 【详解】解：如图，连接，过B作轴于D； ∵四边形是正方形， ∴． ∵与x轴负半轴的夹角为， ∴ ∵正方形的边长为6， ∴； 中，，， 则； 故， 代入抛物线的解析式中，得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键． 18. 如图，抛物线与轴相交于，两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，将点绕点旋转，恰好落在直线上，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴， 解得（不合舍去），， ∴； 故答案为： ． 三、解答题（本题共7小题，共78分．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）等号左边直接利用完全平方公式配方即可； （2）方程两边同时加上4，再将等号左边的式子利用完全平方公式配方即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2） 如图所示：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图是小高和小齐同学的对话： （1）根据小高给出的内容，求这个凸多边形是几边形？ （2）小齐说的多边形存在吗？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的理由． 【答案】（1）这个凸多边形是十边形 （2） 这个多边形不存在，理由如下， 假设存在这个多边形，设这个多边形的边数为x， 由题意得，， ∴， 解得， ∵x必须是正整数， ∴不存在一个多边形的有16条对角线， ∴这个多边形不存在． 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，一元二次方程的应用： （1）设这个多边形的边数为n，根据k边形的对角线条数为建立方程求解即可； （2）假设存在这个多边形，设这个多边形的边数为x，则可得方程，解方程看是否有正整数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， ∴， ∴或（舍去）， ∴这个凸多边形是十边形； 【小问2详解】 略 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． （1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∵， ∴是“邻根方程”． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 由题意得：或， 解得：或． 23. 某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点处，拱门到水平；地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式（，为常数，），已知，． （1）求出图中抛物线的函数解析式； （2）从柱子上的点处拉一条横幅到拱门的点处，，若，小华的身高是，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 【答案】（1） （2） 能通过该拱门， 理由：设，则， ，， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门的． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中得应用，要吃透题意，建立函数模型，结合实际得出结果． （1）由题意可得，抛物线过点和，根据待定系数法即可求出结果． （2）设，则，根据即可求出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线过点和， 把上述两点坐标代入函数表达式得：， 解得：， 函数表达式为：． 【小问2详解】 略 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 25. 如图，等边三角形的边长为2，是边的中线，点在线段上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）在图①中依题意补全图形； （2）求证：； （3）如图②，若点从点运动到点，求点的运动路径的长度； （4）连接，在（3）的条件下，直接写出周长的最小值_____． 【答案】（1） 补全图形如下： （2）证明：由旋转的性质可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，轴对称等知识点； （1）根据题意补全图形即可； （2）由旋转可得，，再由是等边三角形，得到，，即可得到，可得； （3）由得到，得到点F在射线上运动，由，得到点F的运动路径长等于点E的运动路径长，即为的长，在中，由勾股定理计算即可； （4）作点A关于直线的对称点H，连接，设与直线交于G，连接，，则是等边三角形，，则，当D、F、H三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长由的周长，得到此时周长最小，最小周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∵等边三角形的边长为2，是边的中线， ∴，，，， ∴， ∴点F在射线上运动， ∵， ∴点F的运动路径长等于点E的运动路径长，即为的长， 在中，由勾股定理得， ∴点F的运动路径为线段，其长为； 【小问4详解】 解：如图所示，作点A关于直线的对称点H，连接，设与直线交于G，连接，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∵点D为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴当D、F、H三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长； ∴的最小值为， ∵的周长， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中检测九年级 数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中，不是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“ ”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“ ”可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. “立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程的两根是，，那么二次三项式分解因式得（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折，翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么_____． 14. 已知，是方程的两根，则的值为_____． 15. 如图，四边形中，，垂足是E，若线段，则S四边形ABCD=__________． 16. 某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽_____m． 17. 如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为__________． 18. 如图，抛物线与轴相交于，两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，将点绕点旋转，恰好落在直线上，则点的坐标为_____． 三、解答题（本题共7小题，共78分．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 21. 如图是小高和小齐同学的对话： （1）根据小高给出的内容，求这个凸多边形是几边形？ （2）小齐说的多边形存在吗？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的理由． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 23. 某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点处，拱门到水平；地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式（，为常数，），已知，． （1）求出图中抛物线的函数解析式； （2）从柱子上的点处拉一条横幅到拱门的点处，，若，小华的身高是，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 25. 如图，等边三角形的边长为2，是边的中线，点在线段上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）在图①中依题意补全图形； （2）求证：； （3）如图②，若点从点运动到点，求点的运动路径的长度； （4）连接，在（3）的条件下，直接写出周长的最小值_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $