精品解析：江苏省无锡市江阴市江华士片区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中考试试卷 初二数学 命题人：郭明其审核人：华晓忠 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确） 1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故错误； C、不是轴对称图形，故正确； D、是轴对称图形，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应边相等得到，，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 3. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B. 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； C. 等腰三角形的对称轴是底边上的高 D. 若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质．利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案． 【详解】解：A、全等的三角形不一定能关于某直线成轴对称，故本选项不符合题意； B、成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，故本选项符合题意； C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故本选项不符合题意； D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 5. 第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行．“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质即可得出答案． 【详解】根据线段垂直平分线的性质可知，三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点． 故选：A． 6. 等腰三角形的一个外角为，则这个三角形的底角的大小是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了腰三角形的定义、三角形外角的性质等知识点，分该外角是等腰三角形底角和顶角的外角两种情况解答即可；利用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当这个外角是底角的外角时，底角的大小为； 当这个外角是顶角的外角时，底角的大小为； 综上，这个等腰三角形的底角的大小是或． 故选：C． 7. 在中，的对边分别为，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用；本题利用勾股定理的逆定理判断A、D，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理判断B、C，从而可得答案． 【详解】解：A．由题可得：满足勾股定理的逆定理， 是直角三角形，故A选项不符合题意； B．， ， ∵， 由三角形内角和定理得：， 不是直角三角形，故B选项符合题意； C．∵ ， 设，则，， 由三角形内角和定理得：， 解得：，，， 是直角三角形，故C选项不符合题意； D． 由题可得：满足勾股定理的逆定理， 是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选B 8. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步可知，求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．   故选：D． 9. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， 故选：D． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，三角形的面积．①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，，据此可对结论①进行判断；②过点O作于M，作于N，连接，根据角平分线的性质得， ，由此可得，据此可对结论②进行判断；③根据②的结论可证三角形全等得到，，，即可得到等于，变形即可得到③正确；④由②得，则，进而得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：在中， 和的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于M，作于N，连接， ， 在中，是的平分线，是的平分线， ， ， ， ∴点O到各边的距离相等，故②正确； ，，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷的相应的位置） 11. 如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______． 【答案】3265 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 12. 若，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．先根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 14. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得BH=3，再利用勾股定理求出AH的长，从而得出面积． 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB=AC，BC=6， ∴BH=BC=3， 由勾股定理得，AH==4， ∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有_________________个． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【详解】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确掌握轴对称图形的性质． 16. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴根据题意可得，，， ∴， ∵是正方形的面积， ∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，，，则的面积为__________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．过点B作交的延长线于点E，先证明，从而证明，进而即可求解． 【详解】解：过点B作交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：32． 18. 如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，A、D两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴与射线的交点，即为使周长最小的点E， ∵．且， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 中，， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答卷的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在图中直线l上找一点P，使的长最短． （2）在图2的中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 （1）①如图所示，即为所求； ②点即为所求． （2）如图所示：则点即为所求． 【解析】 【分析】（1）①根据轴对称的性质作图即可． ②连接，交直线于点，则点即为所求． （2）结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，分别作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 本题考查作图—轴对称变换、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）①略 ②如图所示，连接，交直线于点，连接， 此时，此时为最小值， （2）略 20. 已知：如图，AC∥DF，AC=DF，AB=DE． 求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 【答案】（1） ∵AC∥DF ∴∠A=∠FDE 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(SAS) （2） ∵△ABC≌△DEF ∴∠ABC=∠E ∴BC∥EF 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠FDE，再由已知即可证得结论； （2）由全等三角形的性质可得∠ABC=∠E，由平行线的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，掌握这两个判定与性质是关键． 21. 如图，在中，AB=AC=10cm，BC=6cm，∠A=50°，DE为AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、D． （1）求的周长； （2）求∠CBD的度数． 【答案】（1）16cm；（2）15°. 【解析】 【分析】（1）证明DA=DB，DB+DC=AC，即可解决问题． （2）证明∠A=∠ABD先求出∠ABD的度数；再证明∠C=∠ABC，据此求出∠ABC的度数，即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：（1）∵DE⊥AB，且平分AB， ∴DA=DB，DB+DC=AC， ∴△BDC的周长 = DB+DC +BC = DA+DC +BC =AC+BC =10+6 =16（cm）． （2）∵DA=DB， ∴∠ABD=∠A=50°； ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC==； ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°. 【点睛】该题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；牢固掌握定理是灵活运用的基础和关键． 22. 如图，平分，于点E，于点F，若． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，，, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 24. 如图，在四边形中，，、分别是、的中点． （1）请你猜想与的位置关系，并给予证明． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，连接，， ，为中点， ，， ， 又是的中点， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由是的中点可得，由（1）可知，因而可得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，、分别是、的中点，且，， ，， 由（1）可知：， ， 由勾股定理可得： ， 的长是． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三线合一，线段中点的有关计算，垂线的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 25. 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图，点在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 如图，已知在中，平分，，． 求证：； 【拓展应用】 （3）如图，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口分别在上，步道分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计）请直接写出需要围栏为 米． 【答案】 （）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （）证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （） 【解析】 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （）延长交于点，延长交于点，由（）可知，，，，，证明 得出 ，则可得出答案． 【详解】（）略 （）略 （）解：延长交于点，延长交于点，如图， 由（）可知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴的周长 （米）， ∴需要米的围挡才能将围成一圈， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等角的余角相等，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． （1） （用含的代数式表示）； （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）当 时，点在的角平分线上． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，然后根据即可得出答案； （2）过点作于点，设，则，由勾股定理可得，即，解方程即可求出的长，进而可求出的长，然后分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别根据相应的等量关系列方程，解方程即可求出的值，最后综合所有的情况即可得解； （3）点在的角平分线上，过点作于点，作于点，由角平分线的性质可得，由（2）可知，根据，利用三角形的面积公式可求得，然后根据，即可求出此时的值． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， 设，则， 由勾股定理可得：， ，，， ， 解得：， ， ， 分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：； 当时， ， ， ， ， 解得：； 当时， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形， 答：当或或时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图，点在的角平分线上，过点作于点，作于点， ， 由（2）可知：， ， ， ， 解得：， ， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，垂线的性质，线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，三线合一，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的性质、三角形的面积公式并运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试试卷 初二数学 命题人：郭明其审核人：华晓忠 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确） 1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 21 3. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B. 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； C. 等腰三角形的对称轴是底边上的高 D. 若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 4. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行．“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 等腰三角形的一个外角为，则这个三角形的底角的大小是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 在中，的对边分别为，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）    A. B. C. D. 9. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷的相应的位置） 11. 如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______． 12. 若，，，则___________． 13. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 14. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________． 15. 如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有_________________个． 16. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是______． 17. 如图，在四边形中，，，，则的面积为__________． 18. 如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答卷的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在图中直线l上找一点P，使的长最短． （2）在图2的中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 20. 已知：如图，AC∥DF，AC=DF，AB=DE． 求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 21. 如图，在中，AB=AC=10cm，BC=6cm，∠A=50°，DE为AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、D． （1）求的周长； （2）求∠CBD的度数． 22. 如图，平分，于点E，于点F，若． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 24. 如图，在四边形中，，、分别是、的中点． （1）请你猜想与的位置关系，并给予证明． （2）若，，求的长． 25. 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图，点在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 如图，已知在中，平分，，． 求证：； 【拓展应用】 （3）如图，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口分别在上，步道分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计）请直接写出需要围栏为 米． 26. 如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． （1） （用含的代数式表示）； （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）当 时，点在的角平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $