精品解析： 重庆市巴南区市实验教育集团 2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

K12重庆市2024——2025学年度上期二阶段能力诊断 八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．试题的答㭉书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用里色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 节约是一种美德，下面这些标志都是与提倡节约有关的图案，其中是轴对称图形的是（） A.     B.     C.    D.     【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，本选项不符合题意； D．是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2. 如果一个三角形三个内角度数的比是，那么这个三角形的类型是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键． 根据题意可设三个内角的度数分别为，再由三角形内角和定理求出x的值，进而求得最大角的大小即可解答． 【详解】解：∵一个三角形三个内角度数的比为， ∴设三个内角的度数分别为， ∴，解得：， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式逐一分析判断即可． 详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意， C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式，熟记运算法则是解本题的关键． 4. 根据下列条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，不能判断，故本选项错误； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，能判断，故本选项正确； 故选：D． 5. 如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD=3DC，BD=AC，BC=4DC，AC=2DC，据此即可一一判定． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故B不符合要求； ， 故C不符合要求； ， 故A符合要求； ， ， 故D不符合要求； 故选：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握此定理，应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边是解题的关键． 6. 如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和问题，根据多边形内角和公式及正多边形的性质求出的度数，再根据即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：D． 7. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”. 则展开式中所有项的系数和是( ) A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和，各项系数和是2n; 【详解】观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：各项系数和是2n; 所以，展开式中所有项的系数和是29=512. 故选C 【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 8. 如图，在中，垂直平分交于点垂直平分交于点，连接、．若的周长为32，．则的长为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 同理：， ∵的周长为32， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，为边上一点，连接，，，将沿折叠至，连接，若平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作于，于，连接，过点作于，于，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，于， 则， 由折叠可知，，， ， 是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 10. 已知整式，其中，为正整数，为自然数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，掌握分类讨论思想成为解题的关键．由条件可得，然后再分类讨论即可解答． 【详解】解：∵为自然数，n，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，，满足条件的整式有， 当时，则， ∴，；，；，； ，； 满足条件的整式有：， 当时，则， ∴， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，共4个，故①符合题意； 不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式M共有个．故③符合题意； 综上，正确的有3个， 故选：D． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算：______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和零指数幂的运算，掌握运算原理是关键，根据实数的混合运算、零指数幂的运算，即可求得结果． 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 13 已知中，比小，则______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、二元一次方程组的应用等知识点，理解题意、列出方程组成方程组是解题关键． 根据三角形内角和定理可得，由题意比小，可得，组成方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵比小， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 14. 如图，在中，是边中点，连接，过点作于点，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高及三角形的面积，解决本题的关键是根据三角形的面积求出，先由，，求得的长，再根据是边中点求出即可． 【详解】解：，， ， ， 是边中点， ， 故答案为：6 15. 如图所示和，延长分别交，于点F，G，已知，，，，，则的度数为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．证明是解题的关键． 利用“边角边”证明，可得到，即可求，由三角形内角和定理得到后即可求解． 【详解】解：和中， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 故答案为： ． 16. 已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、一元一次不等式组的整数解等知识点，由不等式组解集的条件和三角形的三边关系得到a的范围是解题的关键． 由不等式组至少有2个整数解和三角形的三边关系得到a的范围，进而确定所有符合条件a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∵不等式组至少有2个整数解 ∴，即 ∵存在以，，为边的三角形 ，即 ∴满足条件的a的整数解是， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：30． 17. 如图，在中，于点于点，交于，平分交延长线于，连接，．若，，，则______，的面积为______． 【答案】 ①. 4 ②. 36 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的高等知识点，灵活运用等高模型解决三角形面积问题成为解题的关键． 先证明可得，再证明可得、；设，则，则，即可求得；易得，根据等高模型可得，即，进而求得；如图：过M作，运用三角面积公式可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵于E，于D， ∴，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∵等高， ∴，即， ∴，解得：； 如图：过M作， ∴，即，解得：， ∴的面积为． 故答案为：4，36． 18. 若一个四位数，前两位数字之和为，后两位数字之和为，且各位数字均不为，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴3523是“同城数”，则．若“同城数”，则______；已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，不等式的性质，二元一次方程的解等相关内容，关键在于理解同城数的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据同城数的定义，，，由题意可得，则是的倍数，确定出的范围，即可得的值，再求解出满足条件的所有的值． 【详解】解：根据题意，； 因为是同城数，所以，， 由题意得， ∴， ∵，， ∴， ∵是整数， ∴是的倍数， 由题意可得，， ∴， ∴或或， 当时，， 得，此时； 当时，， 得，此时； 或，此时； 当时，， 得，此时； 综上所述，满足条件的最大值是． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除法，乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则进行计算即可求解； （2）先计算完全平方公式，再合并，最后根据多项式除以单项式法则进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， 20. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？如图，小洲同学通过直观观察发现：在中，如果大于，那么边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，小洲同学的解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明．根据他的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹）留作图痕迹） （2）证明：∵平分线， ∴①． 在和中， ∴ ∴． ∵， ∴． 进一步思考，在中，如果已知呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的 结论：⑤． 【答案】（1）见解析 （2），，，在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据作角平分线的基本作法作图； （2）根据全等三角形的性质证明． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：平分线， ． 在和中， ， ． ． ， ． 进一步思考，在中，如果已知呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的 结论：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 故答案为：，，，，在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 21. 如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【小问1详解】 证明：，，且， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 的长为5． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴的对称图形． （2）求三角形的面积； （3）在轴上求作一点，使点到，两点的距离之和最小，请作出点，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形面积及线段之和最短问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）用长方形的面积减去四周三个三角形的面积即可； （3）作C关于x轴对称点，连接，与x轴交点即为所求的点N，此时点到，两点的距离之和最小， 【小问1详解】 解：如图，即所求． 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 如图，点N即为所求， 23. “电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； （2）由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人装卸，已知两名装卸工人的质量分别为和，问货运电梯一次最多可装运多少套设备? 【答案】（1）1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克 （2）货运电梯一次最多可装运套设备 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据“1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设货运电梯一次可装运m套设备，根据货运电梯的载重总质量禁止超过，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据题意得： ， 解得，， 答：1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克； 【小问2详解】 解：设货运电梯一次可装运m套设备，根据题意得： 解得： 又∵m为正整数， ∴m的最大值为7 24. 四边形和四边形都是正方形、、、三点在同一直线上． （1）如图1，点在线段上，点在线段上，延长，分别交，于点，，连接，，． ①若，求三角形的面积； ②若正方形和正方形的边长分别为，且，，记三角形的面积为，四边形的面积为，用含有，的代数式表示，并求出的值； （2）如图2，点，分别在线段，的延长线上，连接，记正方形和正方形的面积分别为，．若，，则直接写出的面积．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）①18；②11． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式以及整体思想成为解题的关键． （1）①先说明，然后运用三角形面积公式求解即可；②结合①可得，则、，则，整理后得到，然后代入计算即可； （2）设正方形的边长为a，则小正方形的边长为，的面积，由题意可得，由可得，整理得，然后求解即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形和四边形都是正方形， ∴，四边形是矩形， ∴，即 ∴， ∴， ∴三角形的面积为； ②∵若正方形和正方形的边长分别为， ∴结合①可得，则， ∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：设正方形的边长为a，则小正方形的边长为，的面积， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴的面积为． 25. 如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，连接、交于点． （1）如图1， ①求证：； ②求的度数； （2）如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】（1）①见详解；② （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，掌握性质是解决此题的关键． （1）①根据等边三角形的性质，结合已知证明即可；②由知，即，再利用三角形外角即可求解； （2）先根据直角三角形的性质得，再根据（1）中的结论得，，由已知得，可得，即可得出，然后证明，可得答案． 【小问1详解】 ①证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ； ②， ， ， ， 在中， ， ； 【小问2详解】 证明：在直角三角形中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 26. 如图，在中，，，在右侧以为腰，构等腰三角形，，在左侧以为腰，构等腰直角三角形，，、CF于点，连接，． （1）如图1，若点恰好在线段上时，求的度数； （2）如图2，若点恰为的中点，求证：； （3）如图3，在内部作角，且，射线交于点，在线段上有一定点，点为直线上一动点，点为直线上两个动点，连接，，当的值最小时，请直接写出此时的度数．（用含有的式子表示） 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可知，利用等腰三角形的性质求得，得，进而即可求解； （2）过点作于，交于点，连接，由等腰三角形的性质可知，，进而可证明，得，根据，，证得，进而可证明，得，根据等腰三角形的性质可知，再利用线段垂直平分线的性质可得，再求解即可得结论； （3）作点N关于的对称点，连接，作点P关于的对称点，连接，当四点在同一直线上，且时，的值最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 证明：过点作于，交于点，连接， ，， ， ，即， ， ， ， ，， 又点为的中点， ， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，作点N关于的对称点，连接，作点P关于的对称点，连接， 点P是定点， 点也是定点， 当四点在同一直线上，且时，的值最小， 由轴对称性质可得：， ， ， 由轴对称性质可得：， 【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形三角形的性质与判定，等腰的判定及性质等知识，掌握以上知识，添加辅助线构造全等三角形及利用轴对称性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ K12重庆市2024——2025学年度上期二阶段能力诊断 八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．试题的答㭉书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用里色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 节约是一种美德，下面这些标志都是与提倡节约有关的图案，其中是轴对称图形的是（） A.     B.     C.    D.     2. 如果一个三角形三个内角度数的比是，那么这个三角形的类型是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”. 则展开式中所有项的系数和是( ) A 128 B. 256 C. 512 D. 1024 8. 如图，在中，垂直平分交于点垂直平分交于点，连接、．若的周长为32，．则的长为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 9. 如图，在中，为边上一点，连接，，，将沿折叠至，连接，若平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，为自然数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算：______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 13 已知中，比小，则______． 14. 如图，在中，是边中点，连接，过点作于点，，，则______． 15. 如图所示和，延长分别交，于点F，G，已知，，，，，则的度数为___． 16. 已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为______． 17. 如图，在中，于点于点，交于，平分交延长线于，连接，．若，，，则______，的面积为______． 18. 若一个四位数，前两位数字之和为，后两位数字之和为，且各位数字均不为，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴3523是“同城数”，则．若“同城数”，则______；已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的的最大值是______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？如图，小洲同学通过直观观察发现：在中，如果大于，那么边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，小洲同学的解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明．根据他的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹）留作图痕迹） （2）证明：∵平分线， ∴①． 在和中， ∴ ∴． ∵， ∴． 进一步思考，在中，如果已知呢？请你模仿题中表述，写出你猜想 结论：⑤． 21. 如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴的对称图形． （2）求三角形的面积； （3）在轴上求作一点，使点到，两点的距离之和最小，请作出点，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法） 23. “电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； （2）由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人装卸，已知两名装卸工人的质量分别为和，问货运电梯一次最多可装运多少套设备? 24. 四边形和四边形都是正方形、、、三点在同一直线上． （1）如图1，点在线段上，点在线段上，延长，分别交，于点，，连接，，． ①若，求三角形的面积； ②若正方形和正方形的边长分别为，且，，记三角形的面积为，四边形的面积为，用含有，的代数式表示，并求出的值； （2）如图2，点，分别在线段，的延长线上，连接，记正方形和正方形的面积分别为，．若，，则直接写出的面积．（用含，的代数式表示） 25. 如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，连接、交于点． （1）如图1， ①求证：； ②求的度数； （2）如图2，过点作于，若，求证：． 26. 如图，在中，，，在右侧以腰，构等腰三角形，，在左侧以为腰，构等腰直角三角形，，、CF于点，连接，． （1）如图1，若点恰好在线段上时，求的度数； （2）如图2，若点恰为的中点，求证：； （3）如图3，在内部作角，且，射线交于点，在线段上有一定点，点为直线上一动点，点为直线上两个动点，连接，，当值最小时，请直接写出此时的度数．（用含有的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $