精品解析：辽宁省沈阳市新民市2024-2025学年九年级上学期阶段性学业水平测试数学试卷

2024—2025学年度上学期新民市初中阶段性学业水平测试与诊断九年级数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程9x2＝8x+4化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（　　） A. 9x2，8x，4 B. ﹣9x2，﹣8x，﹣4 C. 9x2，﹣8x，﹣4 D. 9x2，﹣8x，4 2. 下列选项中能使成为菱形的是（　　） A B. C. D. 3. 某人在做掷一枚硬币的试验时，投掷次，正面朝上有次，正面朝上的频率是，下列说法中正确的是（ ） A. 一定等于 B. 一定大于 C. 一定小于 D. 投掷次数逐渐增加，P稳定在附近 4. 下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ） A. B. C. D. 8. 育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同条件下，得到如下数据： 抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000 发芽粒数 95 486 968 1940 2907 则的值最有可能是（ ） A 3680 B. 3720 C. 3880 D. 3960 9. 如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　） A. （40﹣40）cm B. （80﹣40）cm C. （120﹣40）cm D. （80﹣160）cm 10. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是( ) A. 6 B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一矩形相邻两边长分别是方程的两根，则矩形的周长是____． 12. 如图，四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD=90°，P是边AD的中点．若BC＝3，AD＝8，则△BPC的周长为________． 13. 兔热病是一种传播速度很快人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则_____． 14. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是_________（填序号）． 15. 在正方形中，=6，连接，，是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为____________ . 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 17. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 18. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　　个水杯，月销售利润是　　元； （2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． 19. 已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． （1）求证：； （2）若，，求矩形的面积． 20. 一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）． （1）小红摸出标有数3的小球的概率是　 　． （2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果． （3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率． 21. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 22. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时． 求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”． （2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由． 23. [问题提出] 点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，（），交边于点G，H，连接．探究与的数量关系． [问题探究] （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当时，的度数_____；当时，求与之间的数量关系． [问题拓展] 当时，若，，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期新民市初中阶段性学业水平测试与诊断九年级数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程9x2＝8x+4化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（　　） A. 9x2，8x，4 B. ﹣9x2，﹣8x，﹣4 C. 9x2，﹣8x，﹣4 D. 9x2，﹣8x，4 【答案】C 【解析】 【分析】先通过移项变成一元二次方程的一般形式，再找出二次项、一次项、常数项即可． 【详解】解：∵9x2＝8x+4， ∴化为一般式得9x2﹣8x﹣4＝0， ∴二次项是9x2、一次项是﹣8x、常数项是﹣4， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为，掌握一元二次方程的一般形式及其相关概念是解题关键． 2. 下列选项中能使成为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：如图， A、∵四边形是平行四边形， ∴，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴为菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴为矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形平行四边形，， ∴为矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3. 某人在做掷一枚硬币的试验时，投掷次，正面朝上有次，正面朝上的频率是，下列说法中正确的是（ ） A. 一定等于 B. 一定大于 C. 一定小于 D. 投掷次数逐渐增加，P稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据题意，投掷次数逐渐增加，P稳定在附近，即可求解． 【详解】解：依题意，投掷次数逐渐增加，P稳定在附近 故选：D． 4. 下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 5. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，正确理解正方形的性质作出辅助线解决问题的关键．作轴于点D，轴于点E，证明，求出，根据点A在第二象限得到坐标． 【详解】解：如图，作轴于点D，轴于点E，则． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∵点， ∴． ∵点A在第二象限， ∴． 故选：B． 6. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】解：根据题意得：；   故答案为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键． 7. 在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案． 【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm， ∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1， ∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1， ∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 8. 育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据： 抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000 发芽粒数 95 486 968 1940 2907 则的值最有可能是（ ） A. 3680 B. 3720 C. 3880 D. 3960 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在0.97左右，从而得出答案． 【详解】解：95÷100=0.95， 486÷500=0.972， 968÷1000=0.968， 1940÷2000=0.97， 2907÷3000=0.969， 由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在0.97左右，即用频率估计概率，我们可估计小麦发芽的概率为0.97， 所以，a=4000×0.97=3880， 所以，a最有可能为3880， 故选：C． 【点睛】本题考查了统计与概率，解题的关键是用频率估计概率以及对频率计算公式的理解． 9. 如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　） A. （40﹣40）cm B. （80﹣40）cm C. （120﹣40）cm D. （80﹣160）cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC＝BD＝804040， ∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160， 故选：D． 【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 10. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是( ) A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，涉及到菱形性质、勾股定理等，作点关于的对称点，连接，则，，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ，， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一矩形的相邻两边长分别是方程的两根，则矩形的周长是____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系得到即可求解，熟知根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， ∴， ∵矩形相邻两边长是一元二次方程的两个根， ∴这个矩形的周长是， 故答案为：． 12. 如图，四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD=90°，P是边AD的中点．若BC＝3，AD＝8，则△BPC的周长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PB=PC=AD，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠ABD=∠ACD=90°，P是边AD的中点， ∴PB=PC=AD， ∵AD=8， ∴PB=PC=×8=4， ∴△BPC周长=PB+PC+BC=4+4+3=11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形周长的计算，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 13. 兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系(经过两天感染患病的兔一定)列出方程求解．设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染，所以经过两天的传染后感染患病的兔共有：只，根据经过两天的传染后使兔场感染患病的兔，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【详解】解：设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染， 根据题意：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 故答案为：12． 14. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是_________（填序号）． 【答案】②③④． 【解析】 【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确； ②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AEO≌△AFO，即可判断出AD⊥EF； ③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可； ④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立． 【详解】如果OA=OD，则四边形AEDF矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误； ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，DE=DF， ∴AE+DF=AF+DE，故④正确； ∵在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（SAS）， ∴EO=FO， 又∵AE=AF， ∴AO是EF的中垂线， ∴AD⊥EF，故②正确； ∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角， ∴四边形AEDF是矩形， 又∵DE=DF， ∴四边形AEDF是正方形，故③正确． 综上可得：正确的是：②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握． 15. 在正方形中，=6，连接，，是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为____________ . 【答案】2或或 【解析】 【分析】根据题意分情况画出符合题意的图形，然后针对每一个图形利用勾股定理进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°， ∴AC=BD=6； 如图1，当点P在AD上时， ∵AP+PD=AD=6，PD=2AP， ∴AP=2； 如图2，当点P在AB上时， ∵∠PAD=90°， ∴AP2+AD2=DP2， ∵AD=6，PD=2AP， ∴AP2+36=4AP2， ∴AP=； 如图3，当点P在AC上时，作PN⊥AD于点N， 设AN=x，则有DN=6-x，PN=x， 由勾股定理得AP=x，PD=， ∵PD=2AP， ∴=2x， ∴x=或x=（不符合题意，舍去）， ∴AP=x=， 当点P在其余边或对角线上时，不存在可以使PD=2AP的点， 综上，AP的长为2，，， 故答案为2或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画出符合题意的图形． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题目要求熟练掌握相关求解方法是解题的关键； （1）按要求利用公式法求解即可； （2）按要求利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∵， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 17. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【答案】（1）见解析；（2），2；（3）10 【解析】 【分析】（1）利用方程根的判别式求出△=进而得出答案； （2）利用菱形的性质得出，由两个根相等得出及一元二次方程的解法得出答案； （3）将AB＝3代入方程解得m＝2，进而得出x的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m取什么数，方程总有两个实数根； （2）解：∵是菱形， ∴， ∴当时， 即时，是菱形， 把代入已知方程可得：， 解得：； ∴这时菱形的边长为：2； （3）∵， ∴， 解得：， 把代入已知方程，可得：， 解得：，， ∴的周长是：． 【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键． 18. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　　个水杯，月销售利润是　　元； （2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． 【答案】（1）550，8250 （2）50元 【解析】 【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元； （2）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入中即可求出每个水杯的售价为50元． 【小问1详解】 （个）， （元）． 故答案为：550；8250． 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，； 当时，． 又∵要尽量减少库存， ∴， ∴． 答：每个水杯的售价为50元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 19. 已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． （1）求证：； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）矩形的面积为65 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）证即可，推出，即可证明； （2）连接，由（1），设，在中，列式求解求出，即可解决． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 连接，   由（1）知， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即， ∵， ∴ ∴． 20. 一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）． （1）小红摸出标有数3的小球的概率是　 　． （2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果． （3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率． 【答案】（1）；（2）共12种情况；（3） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解； （2）利用树状图展示所有12种等可能的结果数； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到在函数y=-x+5的图象上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解: (1)小红摸出标有数3的小球的概率是； (2)列表或树状图略： 由列表或画树状图可知,P点的坐标可能是(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)， (2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共12种情况， (3)共有12种可能的结果,其中在函数y=−x+5的图象上的有4种,即(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 所以点P(x,y)在函数y=−x+5图象上的概率==. 【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握列表或画树状图是解题的关键. 21. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 【答案】（1）（米） （2）0.5米 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，交于点，如图所示： 则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：过点作于点交于点，如图所示： 设米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 22. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时． 求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”． （2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据AB=AD，AD∥BC和等量代换得到∠ABD=∠DBC，根据∠ABC和∠ADC的值，得到∠BCD的度数，然后可证明，根据题目中的定义即可证明； （2）根据角平分线的性质和得到∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°，又根据三角形内角和得到∠ACB+∠B+∠BAC=180°，据此可以证明∠CAD=∠B，进而证明△ABC∽△DAC，根据题目中的定义即可证明． 【详解】（1）证明：∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB ∵AD∥BC ∴∠ADC+∠BCD=180° ∴∠ADB =∠DBC ∴∠ABD=∠DBC ∵∠ABC=70°，∠ADC=145° ∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=35° ∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-145°=35 ∴ ∴对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线” （2）解：当时， 对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线” 理由如下：∵AC平分∠BCD ∴∠ACB=∠ACD ∵ ∴∠ACB+∠BAD=180° ∴∠ACB+∠BAC+∠CAD=180° ∵△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180° ∴∠CAD=∠B ∴△ABC∽△DAC ∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，本题属于新定义题型，本类题目的关键是根据题目中的定义，结合已有知识点，进行证明或求解． 23. [问题提出] 点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，（），交边于点G，H，连接．探究与的数量关系． [问题探究] （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当时，的度数_____；当时，求与之间的数量关系． [问题拓展] 当时，若，，则_____． 【答案】[问题探究]（1）；（2），；[问题拓展] 【解析】 【分析】[问题探究]：（1）在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，，则，可得到，则，进而得到； （2）在上截取，使，连接．证明，得到，利用即可求解． [问题拓展]：延长至，使，连接，，证明，设，则，，在中，根据勾股定理，得，再代入计算即可． 【详解】[问题探究]：（1）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ， ， ∴ ； （2）解：如图，在上截取，使，连接． ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当时， ∵， ∴， ∴， ， 即； [问题拓展] 解：由（1）中结论：是等腰直角三角形，则， ∴， 如图所示，延长至，使，连接，， ∵菱形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∴，解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的长为． 【点睛】此题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合运用以上知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$