2025年高考数学一模预测卷02（新高考Ⅱ卷专用）

2025高考数学一模预测卷02（新高考Ⅱ卷专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·福建·三模）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·福建·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·二模）已知向量，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆：，是直线：上一点，过作的两条切线，切点分别为、，连接（是坐标原点），当为直角时，直线的斜率（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·北京顺义·三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·重庆·三模）如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．为偶函数 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·湖北·一模）在等比数列中，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 10．（2024·重庆·一模）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（   ） A．函数 为偶函数 B．函数 的值域是 C．对于任意的 ，都有 D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 E．在 图象存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在正方体中，O是线段的中点，点P在棱上运动，则（   ）．    A．点P在平面上的射影不可能是点O B．点P在平面上的射影到B，D两点的距离相等 C．当点P与顶点A重合时，直线与平面所成角的正切值为 D．当点P与顶点重合时，点P到平面的距离等于 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·河北·模拟预测）双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 13．（2024·山东威海·一模）已知函数，若将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则 . 14．（2024·河南·模拟预测）已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·陕西宝鸡·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积． 16. (15分) （2024·广东佛山·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)求证：平面平面； (2)若，，点是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 17. (15分) （24-25高三上·福建·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. (17分) （2024·全国·模拟预测）已知动直线与抛物线相交于两点，分别过两点作抛物线的切线相交于点，点的轨迹曲线记为与相交于两点（邻近）． (1)求曲线的方程； (2)求证：对任意的面积均相等． 19. (17分) （2024·贵州六盘水·模拟预测）中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂牁江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂牁江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览牂牁江，另外的人选择既游览牂牁江又游览乌蒙大草原．每位游客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n个人，记这n个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D D A D C BC ACE 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用复数的除法求复数，进而判断对应点所在象限. 【详解】由题设， 则对应点为在第三象限. 故选：C 2．B 【分析】解不等式求出，由函数特征求定义域，得到，利用补集和交集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 得，故， 故. 故选：B 3．B 【分析】由和及和的关系可知，四边形为直角梯形，由梯形面积计算即可. 【详解】因为，，所以四边形为直角梯形. ，，，则面积， 故选：B. 4．D 【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小. 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 5．D 【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线：为圆的切线，由，即可得出结果. 【详解】由椭圆：可知：， 当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为4，圆方程为， 当为直角时，可知点当在圆， 因为到直线的距离为， 所以直线：为圆的切线， 因为直线，，所以. 故选：D.    6．A 【分析】根据题意，先证得平面，在中，解三角形求得，再结合线面垂直判定定理证得平面，得到，设，利用，求得，结合，即可求解. 【详解】在中，因为且为的中点，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 在中，因为且， 所以，且， 因为四边形为矩形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 设，在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以， 即，解得， 所以多面体的体积 . 故选：A. 7．D 【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在 上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确. 【详解】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下： （1）不等式变形为. （2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误. （3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得. 8．C 【分析】利用三角函数的图象与性质先含参表示的坐标，由线段关系求解参数得，再判定选项即可. 【详解】由题可，则， 有， ， 把代入上式，得，解得(负值舍去)， ，由，解得， 解得， 显然其周期为，故A错误； 当时，，，故B错误； ，故C正确； ，显然是奇函数，故D错误. 故选：C 【点睛】思路点睛：利用三角函数的图象与性质含参表示各点坐标，再根据线段关系解参数求出函数解析式，针对选项利用三角函数性质一一判定即可. 9．BC 【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 依题意得解得所以 故，故BC正确，A错误； 对于D，，则数列为递减数列，故D错误. 故选：BC. 10．ACE 【分析】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项DE取特殊情况判断即可. 【详解】由于，对于选项A，设任意，则，；设任意，则， 总之，对于任意实数，恒成立，A正确； 对于选项B，的值域为，，B错误； 对于选项C，当，则，；当，则，，C正确； 对于选项DE，取，，得到为等边三角形，D错误E正确. 故选：ACE. 11．BCD 【分析】对于A，先证明平面，由点为线段的中点时，即可排除A项；对于B，证明平面平面，得点P在平面上的射影在直线上，即得结论；对于C，由平面可得当点P与顶点A重合时，直线与平面所成角即，计算即可判断；对于D，先利用等体积证得点C到平面的距离等于，再由平面，即得结论. 【详解】    对于A，如图，连接，因平面，平面,则, 又, 平面，故得平面， 又平面，故直线，同理， 又平面,故得直线平面． 当P为线段的中点时，，此时点O是点P在平面上的射影，故A错误； 对于B，连接，，，由A项已得平面, 而平面，故得平面平面，为这两平面的交线， 于是点P在平面上的射影在直线上，显然为线段的中垂线，故B正确； 对于C，因平面，则与平面所成的角等于与平面所成的角， 即，设正方体棱长为1，则，故C正确；    对于D，如图，设正方体棱长为1，平面， 因,, 由，可得,解得， 而,即点C到平面的距离等于， 故点P（即点）到平面的距离等于，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与正方体有关的动点的射影，线面所成角以及距离问题，属于难题. 解题方法在于结合图形，利用线面垂直和面面垂直的判定和性质，确定动点的射影轨迹，从而得到线面所成角或二面角平面角，借助于等体积法求解距离问题即可. 12．2 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线：，可得右焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 13． 【分析】由图象变换写出新解析式，然后由图象关于轴对称求得参数值． 【详解】，变换后函数式为 ，它的图象关于轴对称， 则，, 又，所以， 故答案为：． 14． 【分析】利用已知条件得到为等边三角形、为等腰直角三角形，且面，进而求棱锥外接球半径，即可得表面积. 【详解】由，则底面外接圆半径， 所以，外接圆是以为直径的圆， 又，且二面角的平面角为， 结合对称性，即在以为圆心，2为半径的半圆上， 要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故， 此时，又，,都在面上，故面， 同时，还要保证面积最大，而， 所以，当且仅当时等号成立，此时最大面积， 综上，棱锥体积最大时，为等边三角形、为等腰直角三角形，且面， 如下图，分别是中点，为的中心，为棱锥外接球球心，    又，， 所以，外接球半径，故其表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定为等边三角形、为等腰直角三角形，且面，再确定外接球球心，进而求半径为关键. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识求得. （2）利用三角形的面积公式、余弦定理列方程，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）由，即， 因为，所以， 所以，得． （2）由为的平分线，得， 因为， 所以， 即，① 由余弦定理得， 即，② 由①②，得， 所以． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，设并利用空间向量求出二面角的余弦值的表达式，解方程可求得，可得结果. 【详解】（1）在底面中，因为，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又因为，，，平面， 所以平面 又因为平面，所以平面平面 （2）取中点，连接，． 因为，且，所以四边形为矩形． 即平面， 又因为在中，，所以，，两两垂直． 以，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，    则，，， 设，则，，． 设平面的法向量 则， 令，可得，即， 因为平面，所以平面的法向量， 所以． 化简得即， 解得或（舍），即． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）转化问题为不等式对于恒成立，设，，进而结合导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】（1）当时，，， 则，则， 所以所求切线方程为，即. （2）由，即，， 整理得，， 即不等式对于恒成立， 设，， 则， 当时，，，则； 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则， 即实数的取值范围为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，由可得，再联立切线方程用表示交点坐标，再消去参数即可得曲线的方程； （2）通过联立方程证明线段和的中点重合，即可证明，可得，应用面积公式求得即可. 【详解】（1）解：设，联立消元得：， ． 由可得， 切线，同理切线， 联立，解得：， 消去得曲线的方程为：． （2）解：设， 联立，消元得：， 所以线段和的中点重合，即， 又因为点到直线的距离为， 故 ． 19．(1)分布列见解析， (2) (3)趋近于常数. 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望. （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. （3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览牂阿江又游览乌蒙大草原， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. （3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考数学一模预测卷02（新高考Ⅱ卷专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·福建·三模）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·福建·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·二模）已知向量，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆：，是直线：上一点，过作的两条切线，切点分别为、，连接（是坐标原点），当为直角时，直线的斜率（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·北京顺义·三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·重庆·三模）如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．为偶函数 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·湖北·一模）在等比数列中，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 10．（2024·重庆·一模）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（   ） A．函数 为偶函数 B．函数 的值域是 C．对于任意的 ，都有 D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 E．在 图象存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在正方体中，O是线段的中点，点P在棱上运动，则（   ）．    A．点P在平面上的射影不可能是点O B．点P在平面上的射影到B，D两点的距离相等 C．当点P与顶点A重合时，直线与平面所成角的正切值为 D．当点P与顶点重合时，点P到平面的距离等于 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·河北·模拟预测）双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 . 13．（2024·山东威海·一模）已知函数，若将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则 . 14．（2024·河南·模拟预测）已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·陕西宝鸡·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积． 16. (15分) （2024·广东佛山·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)求证：平面平面； (2)若，，点是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 17. (15分) （24-25高三上·福建·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. (17分) （2024·全国·模拟预测）已知动直线与抛物线相交于两点，分别过两点作抛物线的切线相交于点，点的轨迹曲线记为与相交于两点（邻近）． (1)求曲线的方程； (2)求证：对任意的面积均相等． 19. (17分) （2024·贵州六盘水·模拟预测）中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂牁江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂牁江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览牂牁江，另外的人选择既游览牂牁江又游览乌蒙大草原．每位游客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n个人，记这n个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$