江西省上犹中学南校区2025届高三上学期数学周测（十）

2025届高三上学期数学周测（十） 一、单选题 1．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 2．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（    ） A． B． C．2 D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 7．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 10．已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 11．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在P使得 B．的最小值为 C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值 三、填空题 12．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 13．设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段 的中垂线过点，则 ． 14．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . （1）到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； （2）记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； 四、解答题 15．如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．   (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 16．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线 的方程. 17．已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率 为定值. 2025届高三上学期数学周测（十）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C D B D B C ACD ACD ABC 3．C【详解】若直线l的斜率不存在，则l的方程为，圆心到l的距离为3，易求得弦长为8，符合题意；若直线l的斜率存在，设l的方程为，即，故圆心到l的距离，解得，则l的方程为.综上所述，直线l的方程为或.故选：C. 4．D【详解】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，直线，即，令，解得，即，又，所以，所以直线，即，则点到直线直线的距离为，即. 5．B【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，设的内切圆与，相切于点，如图所示，则，，所以，所以的周长为，由椭圆定义可得，，所以，则， 6．D【详解】由题意并结合双曲线的定义可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.而直线的方程为，由可得，所以，所以点的坐标为.所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为.故选：D. 7．B【详解】由题意可知即为等腰三角形，    故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B. 8．C【详解】设椭圆的长半轴为，则设关于平分线的对称点为Q，由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且又因为，所以是正三角形，设，由椭圆定义可得，，又，所以，所以，即，，所以的面积.故选：C. 9．ACD【详解】由，则，得，即恒过定点，由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，所以，可得，故直线为，故D正确．故选：ACD． 10．ACD【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD. 11．ABC【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，所以，，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；对于D选项，设，则，，于是,故错误.故选：ABC 12.4 13．【详解】设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知，，，；由已知有：，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，所以，，在中，，，，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，设，则，，在中由余弦定理有：,解得，即.故答案为： 14．【详解】（1）设是轨迹上任意一点，由已知可得，根据定义可得，.所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； （2）设曲线G上任意一点，由已知可得，，所以有，整理可得，.（ⅰ）当时，该式可化为，即.当且时，为；当且时，为；（ⅱ）当时，该式可化为，整理可得，即；（ⅲ）当时，该式可化为，整理可得.当且时，为；当且时，为；作出曲线满足的图象  所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 15．(1)证明见解析 (2)【详解】（1）取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，则．证明：，由，得，由，得，因为平面，所以平面． （2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量，则,故，令，得面的一个法向量为，设二面角的值为，则，所以，二面角的正弦值为． 16．(1) (2)，【详解】（1）由已知得，又离心率，得到，，所以椭圆的方程为. （2）设，联立，消得，得到，由韦达定理得，，又因为，又原点到直线的距离为，所以，当且仅当，即，满足，所以，面积的最大值为，此时直线的方程为. 17．(1) (2)直线的斜率为定值 【详解】（1）由题可得离心率，所以，又因为，所以，所以双曲线方程为，又因为双曲线过点，所以，解得，所以双曲线方程为. （2） 设直线的方程为，联立得，则得，，得，， ，因为，所以， 所以，即， 所以，所以 即，得或，若， 则直线的方程为，即过点，不符合题意，若， 则，满足，综上直线的斜率为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$