精品解析：辽宁省沈阳市法库县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024～2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案． 本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键． 【详解】解：由题干中的几何体可得其左视图为， 故选：A． 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 3. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让绿灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让绿发光的有2种情况， ∴能让绿发光的概率为． 故选：D． 4. 若关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 5. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 由平行易证，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴与周长之比为， 故选：C． 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 7. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 10. 如图，点分别在正方形的边上，，若，则（ ） A. B. 15 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“半角模型”，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键．作交的延长线于点，证、即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ， 解得：， ∴， 故选：． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为，再根据概率公式列出方程，求出答案即可． 【详解】解：设红色小球x个，根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 13. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 14. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则， 设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．连接，并延长交与N，连接，由矩形的性质得出，，证明得出，，由勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，连接，并延长交与N，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵H是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案：5． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． （1）先配方，再直接开平方求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， 配方得：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ． 17. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率： （1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，列出表格如下： 美 丽 灵 武 美 丽美 灵美 武美 丽 美丽 灵丽 武丽 灵 美灵 丽灵 武灵 武 美武 丽武 灵武 一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种， 所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率为． 18. 如图，在矩形中，，，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，若时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，牢记相关知识是解答本题的关键． （1）根据矩形性质得，结合，得出即可证出结论； （2）先证，再求出长，证出即可． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，即， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在矩形中，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式： （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，进而得到，则． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或， ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴， ∴． 20. 某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每月销售量为y件． （1）y与x的函数关系式是_______． （2）该网店决定降价薄利多销，在库存充足情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价． 【答案】（1） （2）每件运动衫的售价为元 【解析】 【分析】本题考查一元函数，一元二次方程的应用， （1）根据“销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件”列关系式即可； （2）根据总利润单利润销售量列方程解题即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 解得：，， ∵网店决定降价薄利多销， ∴， 这时售价为元， 答：每件运动衫的售价为元． 21. 如图，中，点在线段上，，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）17 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形的性质得到，再证明，即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，进一步求出，即可求出的周长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 的周长为17． 22. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 23. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，作四边形． （1）求该直线对应的函数表达式并写出点的坐标； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形的面积为3时，求点的坐标； （4）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 （4）0或 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法求出直线表达式，然后令即可求出点A的坐标； （2）根据题意得到，，即可证明出四边形是平行四边形； （3）首先表示出，然后根据四边形的面积为3列方程求解即可； （4）根据题意得到四边形是矩形或菱形，然后分别根据矩形和菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴该直线对应的函数表达式为； ∵直线与轴交于点， ∴令得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 ∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴当四边形的面积为3时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问4详解】 当四边形是轴对称图形时， ∵四边形是平行四边形， ∴①当四边形是矩形时， ∴， ∵点是直线上一点（不与重合），横坐标为， ∴此时点C和点B重合， ∴； ②当四边形是菱形时， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴解得，（应舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，的值为0或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何综合题，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，矩形和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A B. C. D. 4. 若关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 7. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A 4 B. C. D. 8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点分别在正方形的边上，，若，则（ ） A. B. 15 C. 12 D. 16 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 12. 在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为_______． 13. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 14. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 18. 如图，在矩形中，，，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，若时，求的长． 19. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 20. 某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每月销售量为y件． （1）y与x的函数关系式是_______． （2）该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价． 21. 如图，中，点在线段上，，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 22. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与重合），横坐标为；点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，作四边形． （1）求该直线对应的函数表达式并写出点的坐标； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形的面积为3时，求点的坐标； （4）当四边形是轴对称图形时，直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $