专题3.3 函数的单调性与奇偶性题型分类练-2025届高三数学一轮复习

专题3.3 函数的单调性与奇偶性 题型1 判断简单函数的单调性 1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）下列函数在定义域上为减函数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中在定义域上为减函数的是 （　　） A． B． C． D． 4．下列函数在定义域上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，则（　　） A．函数是奇函数，在区间上单调递增 B．函数是奇函数，在区间上单调递减 C．函数是偶函数，在区间上单调递减 D．函数非奇非偶，在区间上单调递增 6．已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 题型2 利用同增异减原则判断复合函数的单调性 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 ，则 的增区间为（　　） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（　　）． A． B． C． D． 4．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 题型3 已知单调性求参 1．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数若 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型4 利用单调性解函数值不等式 1．函数在 上单调递增，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（多选）函数是定义在上的偶函数且在上单调递减，，则满足不等式的的取值可能是（　　） A． B．1 C．3 D．5 题型5 判定奇偶性 1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）下列函数为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 6．函数（　　） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递减 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 题型6 根据函数的奇偶性求参 1．设是实数，若函数为奇函数，则　 　. 2．已知是奇函数，则　 　. 3．已知函数是偶函数，则　 　． 4．已知函数为偶函数，则实数　 　. 5．已知为偶函数，则　 　. 6．已知函数f(x)= 是偶函数，则a=　 　 7．已知是奇函数，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．若为偶函数，则（　　） A．1 B．0 C． D．2 9．若为偶函数，则(　　) A．2 B．1 C． D．0 10．（多选）已知函数是奇函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．无解 C．是减函数 D． 11．（多选）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（　　） A． B．函数在上的值域为 C．，且，恒有 D．若，恒有的一个充分不必要条件为 题型7 根据奇偶性求函数值 1．设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则　 　． 3．设是定义在R上的奇函数，当时，，则　 　． 4．已知是奇函数，当时，，则　 　． 题型8 利用单调性与奇偶性综合 1．已知函数，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（多选）已知的定义域是，既是奇函数又是减函数．若，，且，则（　　） A． B． C． D． 4．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 6．定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 7．是定义在上的奇函数，当时，；则不等式的解集（　　） A． B． C． D． 8．设函数，则使得成立的范围是　 　. 9．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是　 　． 10．（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有二成立则（　　） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 函数的单调性与奇偶性 题型1 判断简单函数的单调性 1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】对于A，函数的定义域是R，且，是R上的增函数，满足题意； 对于B，函数 是R上的减函数， 不满足题意； 对于C，函数 的定义域是 ， 不满足题意； 对于D，函数 在定义域R上不是单调函数， 不满足题意． 故答案为：A． 2．．下列函数在定义域上为减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】对于A，在上是单调减函数，故A正确； 对于B，，，不是单调减函数，故B错误； 对于C，，不是单调减函数，故C错误； 对于D，在上单调递减，故D正确. 故答案为：D. 3．下列函数中在定义域上为减函数的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】对于A，在上是增函数，A不符题意； 对于B，由函数，定义域为，且在上递增，B不符题意； 对于C，由函数，定义域为，且在上递减，C符合题意； 对于D，由函数，定义域为，且在上递增，D不符题意. 故答案为：C 4．下列函数在定义域上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】对于A，函数在上为减函数，A不是； 对于B，函数在上递减，在上递增，在定义域R上不单调，B不是； 对于C，令 ， ，由复合函数单调性， 在 单调递增， 在 单调递减，在 单调递增，故函数 在 单调递减，在 单调递增，C不符合题意； 对于D，函数定义域是，且在上是增函数，D是. 故答案为：D 5．已知函数，则（　　） A．函数是奇函数，在区间上单调递增 B．函数是奇函数，在区间上单调递减 C．函数是偶函数，在区间上单调递减 D．函数非奇非偶，在区间上单调递增 【答案】A 【解答】，故是奇函数，又因为，由复合函数单调性可知单调递增。 故答案为：A 6．已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【解答】定义域为，且， 是上的奇函数， 又是上的增函数，是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 故答案为：A. 题型2 利用同增异减原则判断复合函数的单调性 1．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】对于函数 ， ，解得 或 . 所以，函数 的定义域为 ， 内层函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 外层函数 为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数 的单调递减区间为 . 故答案为：C. 2．已知函数 ，则 的增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由 得 ，解得 ， 即函数 的定义域为 ； 令 ， ， 因为函数 是开口向下，对称轴为 的二次函数， 所以当 时， 单调递增；当 时， 单调递减； 又函数 是增函数， 根据复合函数的单调性，可得， 的增区间为 . 故答案为：B. 3．函数的单调递减区间是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由题意知的定义域为， 又， 而函数图象的对称轴为，当时，函数递减， 故当时，单调递减， 即的单调递减区间是， 故答案为：B 4．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由 得 或 ， 所以函数的定义域为 ， 函数 是由 和 复合而来， 因为函数 在定义域内单调递减， 根据复合函数同增异减求 得单调递增区间等价于求 的单调递减区间， 因为 在定义域 内的单调递减为 ， 所以函数 单调递增区间为 . 故答案为：A． 5．函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】由， ，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数， 由复合函数单调性可得的单调递减区间为. 故选：C. 6． 函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：函数在R单调递减，函数在单调递减，在单调递增， 函数的单调递增区间是. 故答案为：A. 题型3 已知单调性求参 1．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：令， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得； 且在恒大于0，所以， 则，解得或， 综上可知：. 故答案为：B. 2．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设，则是减函数，又因为f（x）在上单调递减，所以在上单调递增，所以，a≤8，所以a的取值范围是. 故答案为：A. 3．已知函数，则的增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：令 ，，在单调递增，在单调递减单调递增， 在单调递减单调递增 . 故答案为：A. 4．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为函数在上单调递减，而且在定义域内是增函数， 所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递减，且， 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 所以且，解得：. 故的取值范围是 故选：C. 5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：令函数， 该函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，要使在上单调递增，则在上单调递增， 且时，，故，解得. 故选：D 6．已知函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为函数在R上单调递增，所以当上分别递增， 所以解得：. 故答案为：D. 7．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】函数，根据反比例函数的性质可得在区间上单调递减， 要使函数在区间上单调递减，则 由在上单调递增，得，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：D. 8．已知函数若 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：当x>1时，f(x)=logax是增函数，则a>1； 又当x≤1时，f(x)=(a-2)x-1是增函数，则a-2>0，且(a-2)·1-1≤loga1； 解得2<a≤3， 综上可得，实数a的取值范围为 . 故答案为：B 9．已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，函数且在上单调递减， 则满足， 解得，即实数的取值范围为． 故答案为：A． 10． 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为在R上单调递减， 所以当时，单调递减， 当x<0时，单调递减， 且满足，解得. 故答案为：. 题型4 利用单调性解函数值不等式 1．函数在 上单调递增，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解答】函数在 上单调递增，且， ，求得. 故答案为：A. 2．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】因为函数在定义域上是减函数，且， 则有 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：A． 3．（多选）函数是定义在上的偶函数且在上单调递减，，则满足不等式的的取值可能是（　　） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A,D 【解答】解：因为是定义在上的偶函数，， 所以，又在上单调递减， 所以由得，则， 所以或，解得或， 则不等式的的取值可能是，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 题型5 判定奇偶性 1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】对于A，因为，所以是偶函数， 当时，设，则， 所以， 所以在上单调递减，故A正确； 对于B，因为，所以是奇函数，故B错误； 对于C，因为，所以是奇函数，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，故D错误. 故答案为：A. 2．（多选）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A,B,C 【解答】对于A中，由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 又由函数在单调递增，结合函数在定义域单调递减， 所以在单调递减，所以A正确； 对于B中，函数的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，可得为单调递减函数，所以B正确； 对于C中，由的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，函数在上单调递减，且函数为增函数， 所以在上单调递减，所以C正确； 对于D中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数，所以D错误． 故选：ABC． 3．下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于A，令，，， 所以是偶函数，故A错误； 对于B，在和上单调递增， 在和上单调递减，故B错误； 对于C，令，，， 所以是奇函数， 又因为，所以是R上的增函数，故C正确； 对于D，令，， 则， 所以，函数在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D错误. 故答案为：C. 4．下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、令，定义域为，但， 则不是偶函数，故A不符合； B、令，定义域为，且，则为偶函数，故B符合； C、令，定义域为，定义域不关于原点对称， 则为非奇非偶函数函数，故C不符合； D、令，定义域为，但，则不是偶函数，故D不符合. 故答案为：B. 5．（多选）下列函数为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：对于A，定义域为R，所以，， 所以 是偶函数，故A正确. 对于B，f(x)= x5+ a sin x定义域为 R，关于原点对称， f(-x)=(-x)5+ asin(-x) = -x5 -asinx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故B错误. 对于C，定义域为(-∞，0) ∪ (0，+∞)，关于原点对称， 又所以f(x)为非奇非偶函数，故C错误. 对于D选项，f(x) = x² + |x| + 2定义域为 R，关于原点对称， f(-x)=(-x)²+|-x|+2=x² +|x|+2=f(x)，所以f(x)为偶函数，故D正确. 故答案为：AD. 6．函数（　　） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递减 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，则为偶函数， 当时，，故在区间上单调递增. 故答案为：A. 题型6 根据函数的奇偶性求参 1．设是实数，若函数为奇函数，则　 　. 【答案】 【解答】解：易知函数的其定义域为， 因为函数为奇函数，所以当时，，解得， 经检验符合题意，则. 故答案为：. 2．已知是奇函数，则　 　. 【答案】​​​​​​​ 【解答】解：根据题意可得：，因为函数为奇函数， 则解得： 故答案为： 3．已知函数是偶函数，则　 　． 【答案】 【解答】函数，是偶函数， ，则，解得， 当时，， ，故是偶函数. 综上所述，. 故答案为：. 4．已知函数为偶函数，则实数　 　. 【答案】 【解答】解：函数的定义域是，定义域关于原点对称； ， 由于为偶函数， 得到恒成立； 即对于恒成立， 所以. 故答案是：. 5． 已知为偶函数，则　 　. 【答案】 【解答】解：法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 6．已知函数f(x)= 是偶函数，则a=　 　 【答案】1 【解答】解：设 ，则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(0)=a·20-2-0=a-1=0，故a=1 故答案为：1 7．已知是奇函数，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：由题意可得：函数的定义域为的奇函数， 则，即，解得， 当时，函数， 经检验，当时，为奇函数，满足题意，故. 故答案为：D. 8．若为偶函数，则（　　） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【解答】解：由，可得， 因为为偶函数，所以，即， ，解得. 故答案为：A. 9．若为偶函数，则(　　) A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【解答】解：因为为偶函数，所以， 即， 所以， 所以，所以， 故答案为：D. 10．（多选）已知函数是奇函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．无解 C．是减函数 D． 【答案】A,B,D 【解答】解：A、的定义域为，且为奇函数，所以，解得；经检验满足题意，故A正确； B、由可得，即，无解，故B正确； C、，因为递增，所以为增函数，故C错误； D、由为奇函数可得，结合C选项可得， 所以，故D正确. 故答案为：ABD. 11．（多选）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（　　） A． B．函数在上的值域为 C．，且，恒有 D．若，恒有的一个充分不必要条件为 【答案】A,C,D 【解答】解：函数是奇函数，且定义域为，即在处有意义， 所以，解得.故A正确； 因为，是在定义域上是增函数，则在上也是增函数， 故有在上也是增函数， 且， 所以函数在上的值域为，故B错误； 因为单调递增， 所以，且，恒有，故C正确； 因为单调递增， 所以可转化为， 即对于恒成立. 当时，不恒成立，不符合题意； 当时，可得，解得. 故，恒有的充要条件为. 因为真包含于， 所以，恒有充分不必要条件为，故D正确. 故答案为：ACD. 题型7 根据奇偶性求函数值 1．设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数 ，所以. 故答案为：B. 2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则　 　． 【答案】 【解答】因为是定义在上的奇函数，所以，，则． 故答案为：. 3．设是定义在R上的奇函数，当时，，则　 　． 【答案】 【解答】解：因为是定义在上的奇函数， 所以， 当时，， 所以， 所以。 故填：. 4．已知是奇函数，当时，，则　 　． 【答案】1 【解答】解：已知是奇函数 ，所以 故 故答案为：1 题型8 利用单调性与奇偶性综合 1．已知函数，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：函数的定义域为，令定义域为， 且满足，故函数为奇函数，则关于原点对称， 所以关于对称，则， 则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，则在定义域上单调递减， 则不等式，即，所以， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：B. 3．（多选）已知的定义域是，既是奇函数又是减函数．若，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A,D 【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，又因为函数为减函数，， 所以，故A正确，C错误； 因为，所以，又因为函数在上单调递减且为奇函数， 所以，即，所以，故D正确，B错误. 故答案为：AD. 4．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，且 所以， 又因为对于任意的，且，都有， 所以函数在上单调递增，在上单调递增， 当时，若，则；若，则， 此时. 故答案为：D. 5．已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当时，，所以在上单调递增； 又有为上的偶函数，所以在上单调递减， ， 即，故， ，，，故. 故答案为：C. 6．定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且， 所以在上单调递增，， 因为， 当，即时，，即， 所以，即，解得，故； 当，即时，，即， 所以，即或，解得或，故； 综上：或. 故答案为：A. 7．是定义在上的奇函数，当时，；则不等式的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为是定义在上的奇函数，， 所以当时，，且， 因为时，由得，由得， 时，由得，由得， 由得或， 当时，无解， 当时，， 故选：B． 8．设函数，则使得成立的范围是　 　. 【答案】 【解答】因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数， 当时，，易知在上递增， 在上递减，所以函数在上递增． 原不等式等价于，所以，解得：． 故答案为：． 9．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解答】解：已知函数，定义域为R， 由， 所以函数是奇函数， 又因为， 所以数在上单调递增， 又，即， 所以，即， 解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：. 10．（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有二成立则（　　） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】A,C 【解答】解：当时，， 即，故在上单调递增， 因为函数为定义在上的偶函数，所以在上单调递减， 又，故， 当时，，所以，解得， 当时，，此时，即， 当时，，由于在上单调递增， 故，故，解得，故； 当时，，由于在上单调递减， 故，故，解得，故； 综上，或或， 故不等式的解集为，故A正确，B错误； 中，令得， 设，则，所以在上单调递增， 因为为上的偶函数， 故定义域为，且，所以为偶函数， 因为，所以，则等价于， 故，解得或，故C正确，D错误. 故答案为：AC. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$