专题2 一元二次函数、方程和不等式 题型分类练-2025届高三数学一轮复习

专题2 一元二次函数、方程和不等式 题型1 不等式的性质 1．如果，则正确的是（　　） A．若a>b，则 B．若a>b，则 C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd 2．“a>b>0”是“”的 （　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若 ，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 4．若 且 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 且 ，则 7．（多选）已知 均为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 则 D．若 则 8．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2 解一元二次不等式 1．不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D． 2．不等式解集为　 　． 3．不等式的解集为　 　． 4．不等式的解集是　 　． 5．不等式组的解集为　 　. 题型3 解分式不等式 1．不等式 的解集为　 　． 2． 不等式的解集为　 　． 3．不等式的解集为　 　． 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 5．不等式的解集为　 　 题型4 解绝对值不等式 1．不等式的解集为　 　. 2．不等式的解集是　 　． 3．绝对值不等式的解集为　 　.. 4．不等式的解集是　 　． 5． 的解集为　 　 题型5 基本不等式取等条件分析 1．（多选）下列选项正确的是（　　） A．若x≠0，则的最小值为2 B．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为8 C．的最小值为2 D．函数（x＜0）的最大值是0 2．（多选）下列命题正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．若，且，则的最大值为 D．若，，，则最小值为2 3．（多选）若，且，则下列不等式恒成立的是（　　）． A． B． C． D． 4．（多选）若实数，，满足．以下选项中正确的有（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 5．下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 题型6 已知积定求和的最小值 1．若，则的最小值为　 　. 2．已知，且，则的最小值为　 　． 3．已知实数a、b满足，则的最小值为　 　． 题型7 已知和定求积的最大值 1．若、为正实数，且，则的最大值为　 　. 2．若正实数满足，则的最大值是　 　． 3．已知，则的最大值为　 　． 4．已知，则的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 5．已知为正实数，且满足，则的最大值是　 　． 题型8 常数代换凑积定 1．已知正实数x、y满足，则的最小值为　 　. 2．已知正数a，b满足，则的最小值是　 　. 3．已知，，且，则的最小值为　 　. 4．已知正数满足，则的最小值为　 　． 5．若正数，满足，则的最小值为　 　. 题型9 一类分式结构的同除法凑定积 1．若，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 2．求函数，的最小值　 　． 3．若，则的最小值为　 　. 题型10 同一结构求最值 1．已知，则的最小值为　 　. 2．若正数、满足，则的最小值为　 　． 3．已知，，且，则的最小值为（　　）． A．4 B．6 C．8 D．12 4．若，，，则的最小值为 A．2 B． C． D． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 一元二次函数、方程和不等式 题型1 不等式的性质 1．如果，则正确的是（　　） A．若a>b，则 B．若a>b，则 C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】C 【解答】对于A：取则，A不符合题意， 对于B：若，则，B不符合题意， 对于C：由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，C符合题意， 对于D：若，则，，D不符合题意. 故答案为：C 2．“a>b>0”是“”的 （　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】由“”可以推出“”，但是由“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件. 3．若 ，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A：由于 ，故 ，A不符合题意. B：当 时， ，B不符合题意. C：由于 ，所以 ，C不符合题意. D：由于 ，所以 ，D成立. 故答案为：D. 4．若 且 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】A： ，符合 ，但不等式 不成立，故本选项是错误的； B：当 符合已知条件，但零没有倒数，故 不成立 ，故本选项是错误的； C：当 时， 不成立，故本选项是错误的； D：因为 ，所以根据不等式的性质，由 能推出 ，故本选项是正确的， 故答案为：D. 5．（多选）已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A,B,D 【解答】且，，且的符号不确定. 对于A，，，由不等式的基本性质可得，A一定能成立； 对于B，，，，，即，B一定能成立； 对于C，取，则，若，有，C不一定成立； 对于D，，，，D一定能成立. 故答案为：ABD 6．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 且 ，则 【答案】B,C,D 【解答】A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题； B： ，所以本命题是真命题； C： ，所以本命题是真命题； D： ，所以本命题是真命题， 故答案为：BCD. 7．（多选）已知 均为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 则 D．若 则 【答案】B,C 【解答】解：若 ， ，则 ，故A错； 若 ， ，则 ，化简得 ，故B对； 若 ，则 ，又 ，则 ，故C对； 若 ， ， ， ，则 ， ， ，故D错； 故选：BC． 8．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B,D 【解答】对于A：当，，A不符合题意； 对于B：，，B符合题意； 对于C：当，时， 则，，， 则，C不符合题意； 对于D：，，D符合题意； 故答案为：BD. 题型2 解一元二次不等式 1．不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 2．不等式解集为　 　． 【答案】 【解答】解：，即，即，解得，所以解集为． 故答案为：. 3．不等式的解集为　 　． 【答案】（-2，3） 【解答】解：， ， 解集为 故答案为：. 4．不等式的解集是　 　． 【答案】 【解答】解：，解得或， 即不等式的解集为. 故答案为：. 5．不等式组的解集为　 　. 【答案】. 【解答】解：由题意，不等式，即，解得或； 又由，即，解得， 所以不等式的解集为或. 即原不等式的解集为. 故答案为：. 题型3 解分式不等式 1．不等式 的解集为　 　． 【答案】[1，3) 【解答】不等式等价为 ， 即 ，即 ， 则不等式的解集为[1，3)， 故答案为[1，3)． 2． 不等式的解集为　 　． 【答案】或 【解答】因为 等价于(x-1)(x+2)0，所以或， 所以 不等式的解集为 或. 故答案为：或. 3．不等式的解集为　 　． 【答案】 【解答】解： 不等式 变形得：即：，解得：或，故不等式：的解集为： 故答案为：. 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：不等式可化为，等价于， 解得，所以，不等式的解集为． 故选：A． 5．不等式的解集为　 　 【答案】 【解答】解：因为，所以，所以 不等式的解集为 . 故答案为：. 题型4 解绝对值不等式 1．不等式的解集为　 　. 【答案】 【解答】解：不等式，转化为，则或， 则不等式的解集为：. 故答案为：. 2．不等式的解集是　 　． 【答案】 【解答】解：由，可得，即， 故不等式的解集为. 故答案为：. 3．绝对值不等式的解集为　 　.. 【答案】 4．不等式的解集是　 　． 【答案】 【解答】解：不等式转化为，解得，故不等式的解集为. 故答案为：. 5． 的解集为　 　 【答案】 【解答】不等式左右两边平方可得 ，化简得： ，解得 . 故答案为： . 题型5 基本不等式取等条件分析 1．（多选）下列选项正确的是（　　） A．若x≠0，则的最小值为2 B．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为8 C．的最小值为2 D．函数（x＜0）的最大值是0 【答案】B,D 【解答】解：A、当时，，当时，，故A错误； B、因为，且，则，当且仅当且，即时，等号成立，故B正确； C、，当且仅当，即成立，此时不存在，所以函数取不到最小值2，故C错误； D、因为，所以，当且仅当，即等号成立，所以有最大值0，故D正确. 故答案为：BD. 2．（多选）下列命题正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．若，且，则的最大值为 D．若，，，则最小值为2 【答案】C,D 【解答】解：A、当时，，故A错误； B、当时，，故B错误； C、因为，，所以，当且仅当时等号成立，即当且仅当时取等号，故C正确； D、因为，，， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故答案为：CD. 3．（多选）若，且，则下列不等式恒成立的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当时， ，此时不成立，故A错误； 因为ab>0，当a<0，b<0时， 不成立，故B错误； 因为ab>0，所以，则 ，当且仅当a=b时，等号成立，则，故C正确； 因为ab>0，则 ，当且仅当ab=1时，等号成立，则 不恒成立，故D错误. 故选：C 4．（多选）若实数，，满足．以下选项中正确的有（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A,D 【解答】解：A、因为实数，，，所以，即， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为，故正确； B、因为，，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故错误； C、因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以等号取不到，故错误； D、因为，则， 所以，当且仅当，即时等号成立，故正确. 故答案为：AD. 5．下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于A，由于，可得， 当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误； 对于B，若可得 则，可知选项B错误； 对于C，由于，可得，可知选项C正确； 对于D，若可得则，可知选项D错误. 故选：C. 题型6 已知积定求和的最小值 1．若，则的最小值为　 　. 【答案】2 【解答】根据基本不等式不等式有：当且仅当即x=y，或x=-y时取等号. 故答案为：2. 2．已知，且，则的最小值为　 　． 【答案】 【解答】解：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号. 故填： 3．已知实数a、b满足，则的最小值为　 　． 【答案】12 【解答】解：因为， 所以 故答案为：. 题型7 已知和定求积的最大值 1．若、为正实数，且，则的最大值为　 　. 【答案】 【解答】解：若、为正实数，且，所以， 而，所以a+2b=4， 因为，当时等号成立，所以， 则的最大值为2。 故答案为：2. 2．若正实数满足，则的最大值是　 　． 【答案】4 【解答】由基本不等式，可得正实数 、 满足 ， ，可得 ，当且仅当 时等号成立， 故 的最大值为 4 ， 故答案为：4. 3．已知，则的最大值为　 　． 【答案】 【解答】解：因为， 由基本不等式可得：， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 4．已知，则的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：因为， 则，即， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故答案为：A. 5．已知为正实数，且满足，则的最大值是　 　． 【答案】100 【解答】解：因为，且为正实数 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最大值为. 故答案为： 题型8 常数代换凑积定 1．已知正实数x、y满足，则的最小值为　 　. 【答案】8 【解答】解：已知正实数x、y满足， 则， 当且仅当时等号成立，即当且仅当时等号成立， 则的最小值为8 故答案为：8. 2．已知正数a，b满足，则的最小值是　 　. 【答案】3 【解答】因为正数a，b满足， 则， 当且仅当且即时取等号， 此时的最小值3。 故答案为：3。 3．已知，，且，则的最小值为　 　. 【答案】 【解答】解：由题意知， 因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 4．已知正数满足，则的最小值为　 　． 【答案】5 【解答】解：因为正数满足，所以，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 故答案为：5. 5．若正数，满足，则的最小值为　 　. 【答案】16 【解答】解：因为，，所以同理， 所以， 当且仅当即时取得最小值16. 故答案为：16. 题型9 一类分式结构的同除法凑定积 1．若，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【答案】C 【解答】解：若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 2．求函数，的最小值　 　． 【答案】 【解答】解：因为函数，，所以，又因为， 所以， 当且仅当，即或（舍）时取得f(x)的最小值， 进而得出函数，的最小值。 故答案为：7. 3．若，则的最小值为　 　. 【答案】4 【解答】解：当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型10 同一结构求最值 1．已知，则的最小值为　 　. 【答案】 【解答】因为，则. 因为，则， 所以 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 2．若正数、满足，则的最小值为　 　． 【答案】 【解答】解：因为正数、满足， 所以由基本不等式可得：当且仅当x=2y时取等号，即， 解得：当且仅当x=2y时取等号，则当且仅当x=2y时取等号，故 的最小值为4. 故答案为：4. 3．已知，，且，则的最小值为（　　）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【解答】解：方法一：因为，且，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为4.； 方法二：因为，，且，所以，即， 当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，则的最小值为4. 故答案为：A. 4．若，，，则的最小值为 A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由，，，可得， ， 则' 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为. 故答案为：． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$