第4章 几何图形初步 单元测试-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第4章 几何图形初步 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第4章（几何图形初步）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列语句表达准确规范的是（    ） A．直线a，b相交于点m B．反向延长直线 C．反向延长射线（O是端点） D．延长线段 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，深刻理解三者的内在联系与区别是解题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 应为“直线a，b相交于点”，原说法表达错误，故选项不符合题意； B. 直线可以向两个方向无限延伸，不能延长，原说法表达错误，故选项不符合题意； C. 应为“反向延长射线（O是端点）”，原说法表达错误，故选项不符合题意； D. 因为线段有两个端点，故可以延长，该说法表达正确，故选项符合题意； 故选：． 2．如图所示，用一个平面截一个圆柱，则截面的形状应为（    ） A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题考查了空间几何图形特别是圆柱的截面知识．通过分析截面平面与圆柱上下底面的相交情况，可以推断出截面的形状为长方形． 【详解】解：由图可得，截面的形状应为长方形． 故选：A 3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握棱柱的展开图是解题的关键． 由平面图形的折叠及棱柱的展开图逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不能围成棱柱，该选项符合题意； B、可以围成四棱柱，该选项不符合题意； C、可以围成三棱柱，该选项不符合题意； D、可以围成五棱柱，该选项不符合题意． 故选：A 4．若，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 5．如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角的定义．利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 6．从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，得到时针与分针之间的夹角是解题的关键． 根据分针每分钟转了，时针每分钟转了即可求解； 【详解】解：分针每分钟转了， 时针每小时转了， 时针每分钟转了， 图中显示的时刻为，当经过分钟后时间为， 此时时针所形成的角度为：， 分针所形成的角度为：， 则分针与时针所形成的角度为：， 故选：D 7．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了几何图形中角的运算，要求学生灵活掌握运用．根据平面各角和为，又因为各角与有关系，用表示其余角，设故有，解之可得，又因为，即可得解． 【详解】解：设，由题意， 可得，即， 又因为，即． 故选：C． 8．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 【答案】D 【分析】本题考查平面图形的旋转体，圆柱的侧面积和体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果． 【详解】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为； 乙图圆柱的侧面积为：，体积为； ， ， 故甲乙的侧面积相同，体积不同； 故选：D． 9．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 10．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20 C．10 D．20或4 【答案】D 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．猜灯谜是中国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式，是从古代就开始流传的元宵节特色活动．灯谜：正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点．打一几何体： ． 【答案】圆锥 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从三个方向看常见几何体所看到的形状是解题的关键． 根据“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点”即可直接得出答案． 【详解】解：根据“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点”可知： 该几何体是圆锥， 故答案为：圆锥． 12．如图是一个正方体的表面展开图，则与“学”字相对的字是 ． 【答案】心 【分析】本题考查正方体相对面上的字，根据正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”解答即可． 【详解】解：如图是一个正方体的表面展开图，则与“学”字相对的字是“心”， 故答案为：心． 13．如图，线段，点C为线段上一点，，点D、E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义；根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得、的长，根据线段的和差，即可得的长． 【详解】解：∵线段，点C为线段上一点，， ∴， ∵点是的中点， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为： 14．如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则 ． 【答案】2或14/14或2 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键． 由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可． 【详解】解：平分， ， 以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转， ①如图1中，当平分时， 解得； ②如图2，当平分时， 解得， 故答案为：2或14． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 16．如图，已知直线l和直线外三点A、B、C，按下列要求画图：    (1)画射线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线l上确定点E，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段以及两点之间线段最短，熟记相关结论即可． （1）根据射线的定义作图即可得； （2）根据线段的定义作图可得； （3）根据延长线的定义作图可得； （4）根据两点之间线段最短作图即可得． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求；    （2）解：如图，线段即为所求；    （3）解：如图，线段即为所求；    （4）解：如图所示，点E即为所求．    17．小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 【分析】本题考查了棱柱的特征，侧棱，侧面积： （1）直接根据五棱柱的特征，即可求解． （2）根据侧面是长方形，侧面长方形的长为，宽为． 【详解】（1）根据题意，这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． （2）侧面长方形的长为，宽为． ． 所以，这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 18．如图，点是线段的中点，点在线段上，，若，求线段的长度． 【答案】4 【分析】本题考查线段之间和差计算，解题的关键是理顺线段与线段之间的数量关系． 【详解】解：因为点是线段的中点，且， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以． 19．如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键． （1）先求解，再证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 20．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 21．已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【答案】(1) (2)3或10 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据中点的定义，推出，即可得解； （2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以． 因为， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以． 当点C在点P的右侧时，，即，解得； 当点C在点A，P之间时，，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，，即，解得， 所以． 综上所述，CP的长为3或10． 22．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 6 正八面体 6 12 正十二面体 20 12 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：所填数据如表所示： 正方体 8 12 正八面体 8 正十二面体 30 （2）解：∵，，，， ∴ （3）解：由，得， 所以， 所以这个多面体的面数为100． 23．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）． (1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则___________； (2)如图，若射线同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”； (3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小． 【答案】(1)或； (2)为或； (3)或． 【分析】（）根据“二倍关联角”得到，分两种情况分析即可得到答案； （）分三种情况分析当时，当时，当时，分别用含的式子表示出和，再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可； （）分当在内部时，当在内部时，当在外部时，利用“二倍关联角”的概念求解即可； 本题考查了新定义——“二倍关联角”，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的“二倍关联角”， ∴； 当在上方时， 则； 当在下方时， 则； 故答案为：或； （2）解：当时，，， ∵是的“二倍关联角”， ∴， ∴， ∴ 符合题意， 当时，，， ∵是的“二倍关联角”， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当时，，， ∵是的“二倍关联角”， ∴， ∴， ∴  符合题意， 综上可知，当为或时，是的“二倍关联角”； （3）解：如图，当在内部时， ， 解得， 如图，当在内部时， ， 解得， 如图，当在外部时， ， 解得， 综上可知：或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 几何图形初步 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第4章（几何图形初步）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列语句表达准确规范的是（    ） A．直线a，b相交于点m B．反向延长直线 C．反向延长射线（O是端点） D．延长线段 2．如图所示，用一个平面截一个圆柱，则截面的形状应为（    ） A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 6．从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 9．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 10．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20 C．10 D．20或4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．猜灯谜是中国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式，是从古代就开始流传的元宵节特色活动．灯谜：正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间一个点．打一几何体： ． 12．如图是一个正方体的表面展开图，则与“学”字相对的字是 ． 13．如图，线段，点C为线段上一点，，点D、E分别为和的中点，则线段的长为 ． 14．如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．如图，已知直线l和直线外三点A、B、C，按下列要求画图：    (1)画射线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线l上确定点E，使得最小． 17．小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 18．如图，点是线段的中点，点在线段上，，若，求线段的长度． 19．如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 20．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 21．已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 22．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 6 正八面体 6 12 正十二面体 20 12 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 23．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）． (1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则___________； (2)如图，若射线同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”； (3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$