精品解析：广西南宁市隆安县雁江镇初级中学2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024年秋季学期期中作业质量评价 九年级数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答案一律填写在答题卡上，在本试卷上作答无效；不能使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】、是一元一次方程，原选项不符合题意； 、是二元二次方程，原选项不符合题意； 、是分式方程，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 2. 下面的图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. E. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 滚动过程中的篮球的滚动 B. 钟摆的摆动 C. 一个图形沿某直线对折过程 D. 气球升空的运动 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转. 【详解】解：A项，滚动过程中的篮球的滚动不是绕着某一个固定的点进行的转动，不属于旋转，故错误； B项，钟表钟摆的摆动，钟摆绕着固定的一点顺时针或逆时针转动一定的角度，属于旋转，故正确； C项，一个图形沿某直线对折的过程，不是绕一点进行的转动，不属于旋转，故错误； D项，气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故错误； 故本题选择B. 【点睛】本题考查了旋转的定义，紧紧抓住定义是解题的关键. 4. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般式，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、当时，不是二次函数，不符合题意； C、的右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 5. 如下图将绕点顺时针旋转，得到（点落在外），若，，则旋转角度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，直接利用已知得出的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．正确得出的度数是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕着点O顺时针旋转，得到， ∴最小旋转角为． 故选：C． 6. 某市年投入了教育专项经费万元，用于发展本市的教育，预计到年将投入教育专项经费万元，若每年增长率都为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每年增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每年增长率都为， 根据题意得：， 故选：． 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减，上加下减”． 8. 关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 9. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 最小值为2 B. 图像与x轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图像的对称轴是y轴 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，当时，函数有最小值2， ∴抛物线与x轴没有交点， 当时，y随x的增大而减小， 故A、B、D说法正确，不合题意，C说法错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 10. 已知方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， 故选：C． 11. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)是图象上的两点，则y1与y2的大小关系是(　　)． A. y1＜y2 B. y1＝y2 C. y1＞y2 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性质进行解答． 【详解】因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝−3，点 A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)， 所以点B与对称轴的距离小于点A到对称轴的距离， 所以y1＜y2 故选A． 【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了二次函数图象的对称性． 12. 如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，(　　)秒后四边形是面积的． A. 2 B. 4.5 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由于四边形是一个不规则的图形，不容易直接表示它的面积，观察图形，可知，因此当四边形是面积的时，是面积的，即有，从而列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴由勾股定理，得：． 设t秒后四边形是面积的，则，． 根据题意，知， ∴，即， 解得：，(舍去)． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 已知点与点关于原点对称，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 14. 二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为_____． 【答案】5． 【解析】 【分析】根据二次函数二次项系数为3，大于0，可以判断出该抛物线开口向上，有最小值，根据二次函数的性质，在顶点处取最小值，求解即可. 【详解】由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0， 所以当x＝1时，函数取得最小值为5， 故答案为5． 【点睛】本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键熟练掌握二次函数的性质. 15. 在等边三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、正方形中，一定是中心对称图形的有________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可得. 【详解】等边三角形不是中心对称图形； 直角三角形不一定是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形； 菱形是中心对称图形； 正方形是中心对称图形， 所以一定是中心对称图形的有3个， 故答案为3. 【点睛】本题考查了中心对称图形有识别，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 16. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排场比赛，应安排______个球队参赛． 【答案】 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）,设有个球队，则比赛场次为，由此即可求出答案． 【详解】解：根据题意，设有个球队， ∴， ∴（舍去），， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，弄清单循环赛的比赛形式，找出等量关系是解题的关键． 17. 若等腰△两边的长分别是一元二次方程的两个解，则等腰△的周长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，先解方程，然后根据三边关系和等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得， ， 解得：，， ∵等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解， ∴当三边为，，，能构成三角形，则等腰得周长为； 当三边为，，，能构成三角形，则等腰得周长为； 故等腰△的周长为或， 故答案为：或． 18. 定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】先根据“特征数”的定义写出函数解析式，分与两种情况，分别求解． 【详解】解：特征数为的函数解析式为，分两种情况： 当时，，函数图象与x轴只有一个交点，符合题意， 此时； 当时，， 若函数图象与x轴只有一个交点，则的根的判别式为0， 即， 解得， 综上可知，a的值为0或， 故答案为：0或． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ， 或， ∴，． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； ； （2）如图，即为所求； ． 【解析】 【分析】（1）根据与关于轴对称，可知点的坐标与的点的坐标关系是，横坐标互为相反数，纵坐标不变，找到点顺次连接即可，再写出点的坐标； （2）根据与关于原点对称，可知点的坐标与的点的坐标关系是，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，找到点画出即可，再写出点的坐标． 【详解】解：（1）的点坐标分别为：，，，所以关于轴的对称点分别为：，，，顺次连接，则即为所求； 点的坐标； （2）的点坐标分别为：，，，所以关于原点的对称点分别为：，，，顺次连接，则即为所求； 点的坐标． 【点睛】本题考查的是作图---轴对称和中心对称变换，熟知关于轴、原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在抛物线上，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）点不在抛物线上，理由： 解：当时，， ∴点不在抛物线上． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，是平塘某校学生为庆祝“十一”而举行的升旗仪式的摄影作品（七寸照片），照片长7英寸，宽5英寸，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积与照片的面积之比为，求照片四周外露村纸的宽度． 【答案】1英寸 【解析】 【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则衬纸的长为英寸，宽为英寸，根据矩形衬纸的面积与照片的面积之比为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出照片四周外露衬纸的宽度． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则衬纸的长为（）英寸，宽为英寸， 依题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：照片四周外露衬纸的宽度为1英寸． 【点睛】此题考查了一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程． 23. 定义新运算：对于任意实数都有． 例如：，根据以上知识解决下列问题： （1）若，求的值． （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1），； （2）顶点坐标． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求抛物线的顶点坐标， （）利用新定义运算法则列出方程，然后解方程即可； （）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案； 解题的关键是掌握新定义运算法则． 【小问1详解】 根据题意，得， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 由题意知，， ∴顶点坐标． 24. 某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式； （2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）；80元； 6000元 （3） 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由待定系数法求解即可； （2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量列出函数关系，将关于的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． （3）当时，得或，根据二次函数的性质和题目中x满足的条件综合得出 x的取值范围． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将；分别代入得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得： ， ； ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，此时， 当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元． 【小问3详解】 ， 当时，，解得，或， 抛物线开口向下 时，， 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图1，中，，，点A，B分别在，上，且． （1）直接写出和的数量关系； （2）将绕点O逆时针旋转，连接，，如图2，第（1）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （3）如图2，连接，若，，，求的度数及点A到的距离 【答案】（1） （2） 成立，理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），点A到的距离是 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得，由平行线的性质得，则，最后由线段和差即可求解； （2）由旋转性质可知，证明即可； （3）先证明为等腰直角三角形，结合为等腰直角三角形，则，从而算得，过点作的延长线于点，接着证明为等腰直角三角形，由勾股定理算得，，再由勾股定理求出，通过，算得，从而得到，点到的距离为，那么，算得即可． 【小问1详解】 解：∵中，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴， 由（1）可知，，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 过点作的延长线于点，如图所示： ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，那么， ∴． ∴，点A到的距离是． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． （1）分别求出直线和这条抛物线的解析式． （2）若点在第四象限，连接、，当线段最长时，求的面积． 【答案】（1）；；（2）的面积． 【解析】 【分析】（1）待定系数法分别求解可得； （2）根据题意可设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），继而可得，知PM最长值为，根据S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案； 【详解】（1）设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 直线的解析式为； 把，代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）设，，则， ， 当时，线段最长，最长为， 此时S△ABM=S△BPM+S△APM． 【点睛】此题考查二次函数的综合，待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期期中作业质量评价 九年级数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答案一律填写在答题卡上，在本试卷上作答无效；不能使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. E. 3. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 滚动过程中的篮球的滚动 B. 钟摆的摆动 C. 一个图形沿某直线对折过程 D. 气球升空的运动 4. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如下图将绕点顺时针旋转，得到（点落在外），若，，则旋转角度可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某市年投入了教育专项经费万元，用于发展本市的教育，预计到年将投入教育专项经费万元，若每年增长率都为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 9. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 最小值为2 B. 图像与x轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图像的对称轴是y轴 10. 已知方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 11. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)是图象上的两点，则y1与y2的大小关系是(　　)． A. y1＜y2 B. y1＝y2 C. y1＞y2 D. 不能确定 12. 如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，(　　)秒后四边形是面积的． A. 2 B. 4.5 C. 8 D. 7 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 已知点与点关于原点对称，则点的坐标为__________． 14. 二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为_____． 15. 在等边三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、正方形中，一定是中心对称图形的有________个． 16. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排场比赛，应安排______个球队参赛． 17. 若等腰△两边的长分别是一元二次方程的两个解，则等腰△的周长为______． 18. 定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在抛物线上，请说明理由． 22. 如图，是平塘某校学生为庆祝“十一”而举行的升旗仪式的摄影作品（七寸照片），照片长7英寸，宽5英寸，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积与照片的面积之比为，求照片四周外露村纸的宽度． 23. 定义新运算：对于任意实数都有． 例如：，根据以上知识解决下列问题： （1）若，求的值． （2）求抛物线的顶点坐标． 24. 某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式； （2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围． 25. 如图1，中，，，点A，B分别在，上，且． （1）直接写出和的数量关系； （2）将绕点O逆时针旋转，连接，，如图2，第（1）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （3）如图2，连接，若，，，求的度数及点A到的距离 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． （1）分别求出直线和这条抛物线的解析式． （2）若点在第四象限，连接、，当线段最长时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $