寒假作业(六) 对数与对数函数-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高一数学寒假作业

高一数学寒假作业（六）对数与对数函数 4.对数函数的图象与性质 知一识-巩-固 (1)对数函数的概念：函数y=1ogx叫 1.对数的运算性质 作 ,其中a是一个大于 ①aoev= ；②log.av= 零且不等于1的常量.函数的定义域是 ③log.1= (a>0,且a≠1). 2.对数的运算法则 (2)对数函数y=logx(a>0,且a≠1) (1)如果a>0且a≠1，M>0,N>0,则 的图象和性质如下表所示： ①log(MN)= M ②log. a>1 0<a<1 ③logM= (n∈R). 图 y x=l y= (2)对数的换底公式 y=logx(a>l) 象 1.0) log b= (a>0且a≠1，c>0 0/7,0￥ 且c≠1，b>0). y=log.x(0<a<l) 3.对数的概念及运算法则 (1)如果a"=N(a>0,且a≠1)，那么数 定义域： ,值域： x叫作以a为底N的对数，记作x= logN,其中a叫作对数的底数，N叫作 图象都过定点 对数的真数. (2)N的常用对数，就是以10为底的对 当x>1时， 当x>1时， 数，记作gN;N的自然数对数，就是以 性 e=2.71828…为底的对数，记作lnN. 质 当0<x<1时， 当0<x<1时， (3)运算性质：如果a>0且a≠1，M>0, N>0,则： ①log.(MN)= 在(0，十∞) 在(0，+∞)上是 lo. 上是 函数 函数 ③logM"= (n∈R). ·17 精典=例一析 精典=题练 若函数y=logx(a>0且a≠1)的图 1.若函数f(x)=log(r+号x)(u>0, 象如图所示，则下列函数的图象正确的是 a≠1D在区间(，十∞)内恒有f(x)>0, 则f(x)的单调递增区间为 y-log A.(0,十o) B.(2,十o∞) C.(1,+o∞) n.(合+)】 2.已知5<8,13<8.设a=1og3,b 1og85,c=log138,则 ( A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 0. 3.设a=30.,b ,c=log。.70.8,则 a,b,c的大小关系为 ( y=log.(-x) -3 A.a<b<c B.B<a<c C.b<c<a D.c<a<b 4.已知函数f)=n。x若26)十 【解析】由题意y=logx(a>0,且 2e 2012e f2013 …十 2013 a≠1)的图象过点(3,1)，可解得a=3.选 503(a+b),则a2+b的最小值为 项A中，y=3 ,显然图象错误； 选项B中，y=x,由暴函数的图象性质可 A.6 B.8 C.9 D.12 知正确：选项C中，y=(一x)3=一x,显 然与所画图象不符；选项D中，y=log(一x) 5.log2 (os）)的值为 的图象与y=logx的图象关于y轴对称， 1 A.-1 B. 2 显然不符.故选B. 、 2 【答案】B ·18· 6.若函数y=a(a>0,且a≠1)的值域 11.若a=log3,则2+2“= 为{yly≥1}，则函数y=log|x的图象 一x十6，x2, 12.若函数f(x)= (a>0,且 大致是 3+log r,>2 a≠1)的值域是[4，十∞)，则实数a的取 小 值范围是 13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函 7.已知函数f(x)=log(x2-2x-3),规 数，f(0)=0,当x>0时，f(x)=logx. 定区间E,对任意x1,x2∈E,当x<x2 (1)求函数f(x)的解析式： 时，总有f(x1)<f(x2),则下列区间可 作为E的是 ( A.(3,6) B.(-1,0) C.(1,2) D.(-3,-1) 8.若A(a,b),B(e,c)(其中e为自然对数 的底数)是f(x)=lnx的图象上不同的 两点，则下列各点一定在f(x)的图象 上的是 ( A.(ae,b+1) B.(a+e,b+1) C.(a-+e,b) D.(ae,b) 9.已知函数f(x)=lnx十ln(2-x),则 (2)解不等式f(x2-1)>-2. A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 x+ 2 -3,x≥1， 10.已知函数f(x) 则 lg(x2+1),x<1, f(f(-3)= ,f(x)的最小值 是 ·19· 14.已知函数f(x)=log(2十x)一1og(2-x) (2)求满足f(x)>0的实数x的取值 (a>0,且a≠1). 范围. (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； ·20·函数∫(x)可化为g(t)=t2-2t十3， f)+)+)+品】 = 号×(2×2012)=2012， g0)在[号1]小上单调道减，在[1回上单 ∴.a+b=4, 调递增。 a2+b>a+b)2= 2 28, .f(x)mm=g(1)=2,又由计算可 当且仅当a=b=2时取等号. 知g(9)<g. a2十b2的最小值为8.故选B. 5.B ∴f(x)m*=g(W2)=5-2V2. 6.B由于y=a的值城为{yly≥1}，∴.a>1, ∴.函数f(x)的值域为[2,5-2√2] 则y=logx在(0，十o)上是增函数，又函数 高一数学寒假作业（六）对数与对数函数 y=lgx的图象关于y轴对称.因此y= 知识巩固 log|x的图象应大致为选项B. 1.NN02.(1)①logM+logN②logM 7.D由题意，得函数f(x)=log号(x-2x-3) -lbeN@Olog.M(eyg会 3.(3)logM+ 在区间E上单调递增，由x2一2.x一3>0，得 log,N log M-log N nlog M 4.(1)对数 x>3或x<1,若x<一1时，当x增大时， 函数(0，十∞)(2)(0，+o∞)R(1,0) x2-2x-3减小，f(x)=log4(x2-2x-3)增 y>0y<0y<0y>0增减 大，即(-oo,-1)为函数f(x)=l0g(.x2-2x 精典题练 一3)的单调递增区间，而（一3，一1）二（一∞， 1.A 一1)，所以(-3，一1)可作为E.故选D. 8.A:A(a,b),B(e,c)是f(x)=lnx图象上 2.A .'logs 3-logs5=logs3- 1og:8 不同的两个点，∴.lna=b,lne=1=c,∴.b十1 logs 3+logs 8 =b+c=lna+lne=ln(ae),∴.(ae,b+1)在 log53·log8- 2 -1 log:8 log,8 f(x)图象上.故选A 10g2412 logs 25* 9.C方法一：由题意知，f(x)=lnx十ln(2-x)的定 -1 2 2 义域为(0,2)，f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1) =0, log:8 log:8 十1门，由复合函数的单调性知，函数f(x) .log3<log5.55<8,13<8, lnx+ln(2一x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单 .5logs5<4log 8=4=4log 13<5l0g18, 调递减，所以排除A,B:又f(分)=ln号十ln(2- ∴loga5<log138,∴log3<log5<log1a8, 即a<b<c.故选A. 之=n是f2)=1n2+n2-2) 3.D因为a=37>3=1,b= =348>347 n是，所以F(宁)=f(受)=ln是，所以排除 c=log.,0.8<log0.,0.7=1,所以b>a>c.故 D.故选C 选D. 方法二：由题意知，f(x)=lnx十ln(2-x)的 4B:f)+fe-x)=l号+he气型 定义战为(02)，f(x)=是十2 =lne2=2, 503a+b)=f203+f(23品)+… 光贵由0件01： l0<x<2, [f(x)<0, 得1<x<2,所以函数f(x)=lnx 0<x<2, ·50· 十ln(2-x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递 (logix.>0, 减，所以排除A,B:又2)=ln号十ln(2 f(x)0,x=0, log4(-x),x<0. 合)=ln景f2)=n号+a2-多) (2)因为f(4)=log44=一2.f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|) n是，所以()=∫（受）=ln是，所以排除 >f(4). D.故选C 又因为函数f(x)在(0，十∞)上是减函数， 10.解析：，f(-3)=lg[(-3)+1]=lg10=1, 所以0<|x2一1|<4，解得-√5<x<V5 ∴.f(f(-3)=f(1)=1+2-3=0. 且x≠士1， 当≥1时+是-3≥2√…三-8=2 而x-1=0时，f(0)=0>-2, 所以-√5<x<√5. -3, 14.解：(1)函数f(x)是奇函数.证明如下： 当且仅当=兰，即=时等号成立， 2+x>0'解得-2<x<2所 根据题意，得2->0， 此时f(x)mn=2W2-3<0: 以函数f(x)的定义域为（一2,2），关于原点 当x<1时，lg(x2+1)≥lg(02+1)=0, 对称。 此时f(x)n=0.所以f(x)的最小值为2√瓦一3. 又f(-x)=log(2-x)-log(2十x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数. 答案：02√2-3 (2)由于f(x)>0得log(2+x)>log(2一x), 1.解析：a=log,3=1oge3=号1og,3= ①当a>1时，22：解得0<<2： 2+x>2-x, logz 3, ②当0<a<1时， ∫-2<x<2, ·2”+20=2gF+2城F=3+2,F 解得一2< 2+x<2-x, 原+54 x<0. 33 综上可知，当a>1时，x的取值范图是(0,2)； 答案 当0<a<1时，x的取值范国是（一2,0）. 高一数学寒假作业（七）三角函数的概念 12.解析：当x≤2时，y=一x十6≥4. 与诱导公式 :f(x)的值城为[4，十o∞)， 知识巩固 .当a>1时，3+logx>3+log2>≥4， 1.(1)yxy (2)MP OM AT .log2≥1， .1<a≤2： 2.-sin a cos a cos a -sin a -tan a 当0<a<1时，3+log.<3+log。2,不合 精典题练 1.B 由sina=号，a∈（受，x）小，得cosa 3 题意. 故a∈(1,2]. 答案：(1,2] √na=-，所以ama=0 cos a 13.解：(1)当x<0时，-x>0, 一是故选B 则f(-x)=log号(-x). 2.C原式=sin2a+cos2a(cos2a+sin2a)= 因为函数f(x)是偶函数，所以f(一x)=f(x). sina+cosa=1.故选C. 所以x<0时，f(x)=log4(一x), -3 sin a3 所以函数（∫x)的解析为 3.C因为tana 4 'cos a 4' ·51·