寒假作业(二) 一元二次函数、方程和不等式-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高一数学寒假作业

高一数学寒假作业（二）一元二次函数、方程和不等式 知一识-巩固 ax2+bx十c>0 (a>0)的解集 1.基本不等式<生 x2十bx十c<0 (1)基本不等式成立的条件： (a>0)的解集 (2)等号成立的条件：当且仅当 一精-典=例-析 时取等号 如图，建立平面直角坐标系xOy,x 2.几个重要的不等式 轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长 (1)a2+b≥ (a,b∈R). 度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮 (2)+≥ (a,b同号). 弹发射后的轨迹在方程y=x一 3a≤( 六1+)(>0)表示的面线上，其中 (a,b∈R). 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地 生≥ (a,b∈R). 点的横坐标 ↑/千米 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解 集如下表： 利干来 判别式 (1)求炮的最大射程. 4>0 4=0 4<0 △=}-4ac (2)设在第一象限有一飞行物（忽略 其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它 二次函数 的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中 y=ax+hx十e 它？请说明理由。 (a>0)的图象 0x1■为x 【解】1)令y=0,得kx一01十 k2)x2=0, →元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, ax2十bx+c=0 x1·g b == (a>0)的根 (x1) 故x= 20k=20<20=10, 1十k2 12 k十 当且仅当k=1时取等号. 4.函数y=log(x十4)-1(a>0,a≠1)的图象 所以炮的最大射程为10千米， 恒过定点A,若点A在直线工+y=一1 m n (2)因为a>0, 上，且m>0,n>0,则3m十n的最小值为 所以炮弹可击中目标台存在k>0, 使3.2=ka- 201+的)。2成立 A.13 B.16 台关于k的方程a2k-20ak十a2+64=0 C.11+6√2 D.28 有正根 x+2y-3≤0， 台判别式△=(-20a)2-4a(a2+64)≥0 5.已知x,y满足{x+3y-3>≥0，z=2x十y的 台a≤6. y≤1， 所以当a不超过6千米时，可击中目标. 最大值为m,若正数a,b满足a十b=m, 精典-题练 则。+告的最小值为 1.对于使f(x)≤M成立的所有常数M, A.9 我们把M的最小值称为f(x)的上确 界，若a,b∈(0，+o∞)，且a十b=1,则 c 名号的上确界为 6.设a>0,不等式-c<a.x+b<c的解集 是{x-2<x<1},则a:b:c=( 9 . A.1:2:3 B.2:1:3 C.3:1:2 D.3:2:1 c D.-4 7.若不等式ax2+bx+c>0的解集是 2.若正数x,y满足x+3y=5.xy,当3x+4y (-4,1),则不等式b(x2-1)十a(x+3)+ 取得最小值时，x十2y的值为 ( c>0的解集为 A B.2 A(- c D.5 B(-1U(停+∞) C.(-1,4) 3.若正数x,y,a满足ax十y十b=xy,且 D.(-∞，-2)U(1,+∞) xy的最小值为18，则a的值为( x2-x+3,x≤1， A.1 B.2 8.已知函数f(x)={ 设 C.4 D.9 +2 ,x>1. 27 ·5· a∈R,若关于x的不等式f(x)≥ (2)点(x,y)在直线x十2y=3上移动， 受十a在R上恒成立，则a的取值范 求2+4的最小值. 围是 A[-2] B.[ 47391 1616] C.[-23,2] n[-2,8 9.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯 解，则a的值为 10.若0<a<1,则不等式(a-x) (x-)>0的解集是 11.设a>b>c>0,x=√a2+b+c2,y= √0+c+a,x=√c+a+b,则x,yz 14.已知不等式(a+b)x+2a一3b<0的解 的大小关系是 .(用“>”连接) 集为>一是}，求不等式(a-26) 12.已知函数f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)， x2+2(a-b-1)x+a-2>0的解集. 若不等式f(x)<0的解集为 女<2或>3，则fe)>0(e是 自然对数的底数)的解集是 13.(1)已知0<x<号，求x(4-3x)的最 大值： ·6…2.B,x+3y=5.xy,x>0,y>0, 13.解：由已知A=B,得 a=2a =6) a=b ,(2) b=2a a=0, 解(1)得 a=0 6=0或6=1， =1 a=0 =4 解(2)得 60 ×≥+2 5.x 3x.2y=5. 1 b=2' 当且仅当号-品，即=2=1时取等子 又由集合中元素的互异性， +2y的值为2.故选B. a=0 a4 3.B正数x,y,a满足a.x十y十6=xy,且ax十y 61 得 b2 ≥2Wa.xy,当且仅当ax=y时等号成立，所以 xy≥6+2 Vary.令1=xy,则i-2Vat-6>0, 14.证明：必要性： 由xy的最小值为18得t≥3√2，所以32为 因为a+b=1, 所以a十b-1=0. 方程1-2√a1-6=0的-个解，则18-6√2a 所以a3+b+ab-a2-b=(a+b)(a2-ab+b) 一6=0，得a=2.故选B. -(a2-ab+b)=(a+b-1)(a2-ab+b) 4.B函数y=log(x十4)一1(a>0,a≠1)的图象恒 过A(-3,-1), =0. 充分性： 由点A在直线乙十义=一1上可得， m n 因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 3+1=-1,即3+1-1. 即(a+b-1)(a2-ab+b)=0, n 又ab≠0，所以a≠0且b≠0. 故3m十”=(3m十n)×(品+）=10十 因为a-a6+6=a-含产+是6>0 3(品+ 所以a十b-1=0,即a+b=1. 综上可得，当ab≠0时，a十b=1的充要条件 因为m>0,>0,所以品+0≥2√只×7=2 是a3+b+ab-a2-b=0. 高一数学寒假作业（二）一元二次函数、 (当且仅当”=四，即m=n时取等号)， 方程和不等式 故3m+n=10+3(”+m）≥10+3×2=16. 知识巩固 1.(1)a>0,b>0(2)a=b2.(1)2ab(2)2 故选B. 3.{xx>x2或x<x1}{xx∈R且x≠1} 5.B画出 R{x|x1<x<x2}☑ 不等式组 x+2y-3=0 :=2x+y 精典题练 所表示的 x+3y30 平面区域 1.A a+6=1.-品- 2=-a+b 2a 如图中阴 2020=--（+）：a>0.6>0, 影部分所示，：=2x十y的几何意义为直线 b 2x十y一之=0在y轴上的截距，由图可知，当 六品+器≥2当且仅当6=20时取学号 直线过点M时，直线2x十y一之=0在y轴上 的载距最大，即目标函数之=2.x十y取得最大 值，由 r+2y-3=0解得M(3.0),所以：的 上确界为-昌故选A x+3y-3=0, ·44· 最大值为2×3十0=6，即m=6,所以a十b=6, 当>1时，()式为-x-2<受+≤+ 故+告-（日+）×(+6) 2 2∠a2十、 5+2+0)≥(5+2√2x9)= 当且收当合-栏，即6=40=2时等号成主 又--是-（侵+2）-2（当 23时取等号) 故选B. 6.B-c<a.x+b<c,又a>0, +≥2√-2（当x=2时取等号 a a 所以-2V5≤a≤2， ,不等式的解集为{x|一2<x<1}, 裤上-将a<2,故选N _b+=-2, b=a a 9.1±⑤ c一b=1, 2 C= a 2a, at6:c=a:号：号=2t1:8,故选B 10.la<r<) 11.解析：方法1y2-x2=2c(a-b)>0, 7.A根据题意，若不等式a.x十bx十c>0的解集 ∴y>x.同理，>y,.x>y>x 是(-4,1)，则一4与1是方程a.x2+bx+c=0的 方法2令a=3,b=2,c=1, (-4)+1=- 则x=√18，y=√20，之=√26，故z>y>x. a 根，且a<0,则有 答案：>y>x (-4)×1=￡， a 12.{.x-ln2<x<ln3} 解得b=3a,c=-4a,∴.不等式b(.x2-1)十 13.解：1已知0<<号，所以0<3<4. a(x+3)+c>0可化为3(x2-1)+(x+3) 4<0,整理得3x2十x一4<0，即(3.x+4)(x-1)<0, 所以r4-3)=号3x(4-3) 解得-号<<1，即不等式6(r-1)+ar+3) 十c>0的解集为（号1小故选A. 当且收当3红=43，脚=号时=”成立， &.A不等式x)≥乏+a为-f(x)≤受十 所以当x=号时，x4-3x)取最大值为 a≤f(x)(米)， (2)已知点(x,y)在直线x十2y=3上移动， 当x<1时，(*)式即为-x2+x-3<受十a≤ 所以x十2y=3. +8 所以2+4'>≥2√2·4=2√2+西= t-x+3,-x+-3<a≤x2- 2√2=4V2. 47 2=4, 当且仅当 1x+2y=3, (x=时取等号： 成立， 2-+3=(e-+>x-时取 所以当x= y=时，2十取最小植 3 等号)， 为4√2 14.解析：因为(a+b)x十2a-3b<0, 所以(a+b).x<3b-2a, ·45· 因为不等式的解集为 (0≤2x≤2， 5.A 由题意，得 解得0≤x≤1，故 8-2≥0. 所以a十b<0,且 36-2=-3 a+b 选A. 解得a=3b<0, x>0, 6.C要使函数有意义，则 则不等式(a-2b)x2+2(a-b-1).x十a-2>0. logzx-1>0, 等价于bx+(4b-2).x+3b-2>0, 解得x>2.故选C. 即+(4-名以+3-号<0， 7.D取x=0,受，可得f0)=0l,这与函数的 定义矛盾，所以选项A错误； 即x+D(e+3-号)<0. 取x=0,π，可得f(0)=0,π十元，这与函数的 因为-3+名<-1， 定义矛盾，所以选项B错误： 取x=1,一1，可得f(2)=2,0,这与函数的定 所以所求不等式的解集为x -3+<-1 义矛盾，所以选项C错误； 高一数学寒假作业（三）函数的概念及其表示 取f(x)=√x十1，则对任意x∈R都有f(x2+ 知识巩固 2x)=√/x2+2x十1=|x十1，故选项D正确. 1.(1)数集唯一确定定义域(3)定义域 综上可知，本题选D. 值域对应关系值域定义域对应关系 8.D由图可知，0℃在虚线框内，所以各月的平 2.非空唯一确定3.解析法列表法图象 均最低气温都在0℃以上，A正确：七月的平 法4.对应关系并集并集 均温差比一月的平均温差大，B正确：三月和 精典题练 十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相 1.A由函数有意义可知ln(3.x一5)≠0， 同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份不 .3.x-5≠1， 是5个，D不正确.故选D. ∴x≠2.注意到真数大于零，故3x一5>0即 >号，故画最的定义线为（停2儿2，十o,故 9D当>0时十号> 选A 所以f(+2+）=f(+是-） 2.D因为f(-5）=f(5）=2sin5=3. 即f(x+1)=f(x), 所以f(6)=f(5)=f(4)=…=f(1)=-f(-1) f0=1og4=2,所以f(-）十f)=3+2. =2.故选D. 故选D. 10.解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为 2的奇函数，所以f(0)=0,f(x十2)=f(x) 3.A对于A,y=(W)2的定义城为[0，十o∞)， y=√T的定义域为R,则A不正确：对于B, 所以f(-）+f2)=(-号+2)+f0) y=lne'=x,y=e,则B不正确；对于C,y= (-2)+0=-f(2)=-t=-2. 的定又线为(-0，-1DU(-1,+ 答案：一2 y=x一1的定义域为R,则C不正确；对于D, 11.解析：要使函数y=√3-2x-x有意义，则 y=lg(x十1)一1的定义城为（一1，十o∞），y= 3-2.x-x≥0，解得-3≤x≤1，则函数y g甜=gr+D-1的定义接为（一1.十o √3-2.x-x2的定义域是[-3,1]. 则D正确.故选D. 答案：[-3,1 4.A因为3十4">3，所以f(3十4")=1og24 12.解析：若a>0,则f(a)=-a<0,f(f(a)) 2m.故选A. =a-2a2+2=2,得a=V2 ·46·