浙江省宁波市镇海蛟川书院2024--2025学年上学期七年级期中考试数学卷

2024-2025学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（3分）下列各式中，错误的是（　　） A．﹣23＝﹣8 B． C． D．|﹣3|3＝﹣27 3．（3分）第三十三届夏季奥林匹克运动会已落下帷幕．16天来，来自全球206个国家和地区代表团的10500位运动员齐聚巴黎，在塞纳河畔、埃菲尔铁塔下，公平竞争，友好交流，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．其中10500用科学记数法表示为（　　） A．1.05×104 B．10.5×103 C．1.05×105 D．105×102 4．（3分）在实数：，，3.1415926，0.，，0.1010010001…（每2个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（3分）下列各式的计算结果正确的是（　　） A． B．9a2b﹣5ba2＝4a2b C．（a﹣b）+（b﹣c）+（a﹣c）＝0 D．2x+3y＝5xy 6．（3分）已知大喇叭和小音箱的单价分别为x元、y元．广播操比赛前夕，大喇叭按七折出售．此时购买两个大喇叭和一个小音箱共需（　　）元（用含x、y的代数式表示）． A．2x+y B．0.7x+y C．1.4x+y D．0.7x+2y 7．（3分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有x两银子，根据题意所列方程正确的是（　　） A．7x﹣4＝9x﹣8 B． C．7x+4＝9x+8 D． 8．（3分）已知：，且a，b为两个连续的整数，则a+2b＝（　　） A．﹣12 B．﹣13 C．﹣14 D．﹣15 9．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|﹣a|+2|b+1|﹣3|a+b|的化简结果为（　　） A．﹣2a﹣5b﹣2 B．﹣2a﹣5b+2 C．4a+b+2 D．4a+b﹣2 10．（3分）在一个3×3方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（　　） A．33 B．36 C．39 D．42 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）﹣8的立方根是 　 　． 12．（3分）单项式的系数为 　 　，次数为 　 　． 13．（3分）将14.2857精确到百分位的结果是 　 　． 14．（3分）若4x2ay3和﹣ybx16是同类项，则b﹣a＝ 　 　． 15．（3分）若一个正数的平方根分别为4﹣m和2m﹣11，则这个正数是 　 　． 16．（3分）某同学解关于x的方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为x＝2，则a＝ 　 　；该方程正确的解为x＝ 　 　． 17．（3分）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．当x＝a（a为常数）时，用f（a）来表示该多项式的值．若，且f（﹣2）＝0，则12k2﹣3k﹣5的值为 　 　． 18．（3分）有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．如图是一张99×99方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有 　 　个格子被涂色． 三、解答题（本题有6小题，第19题9分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题7分，第24题10分，共46分） 19．（9分）计算： （1）； （2）； （3）． 20．（6分）解方程： （1）2x﹣（x+10）＝5x； （2）． 21．（6分）已知：A＝2ab﹣a+1，B＝﹣ab+3b﹣6． （1）当a+b＝6，ab＝5时，求4B﹣12A﹣21的值； （2）若多项式A+mB不含ab项，求m的值． 22．（8分）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：2x＝4和2x﹣1＝0互为“优雅方程”． （1）判断：x+1＝0 　 　（填“是”或“不是”）﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”． （2）若方程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程mx+2＝1（m为正整数）与1＝7﹣nx（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 23．（7分）【知识链接】 在求解几何图形的面积时，通常会利用割、补等手段．所谓“割”，就是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形的面积之和等于原图形的面积． 纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见图1），并将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实．上述规则图形无缝隙、无重叠． 【问题探究】 一张赵爽弦图如图2所示．若四个直角三角形的两条直角边都分别为a和b（即AF＝BG＝CH＝DE＝a，AG＝BH＝CE＝DF＝b），且a＜b． （1）请你用含a、b的代数式表示出正方形EFGH的面积S，并求出当a＝5，b＝12时，S的值． （2）现将赵爽弦图中的四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形ABCD的四条边向外翻折，得到如图3所示的大正方形IJKL、记正方形EFGH的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，正方形IJKL的面积为S3．请问是否存在常数k，使得S1+S3＝kS2成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 24．（10分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务． 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如图2所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　． 【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】点D落在“阶梯坡面”上，BD＝7．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足2AQ＝9PQ，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 2024-2025学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A． A B C D B A B 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：﹣2024的绝对值是2024． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 2．（3分）下列各式中，错误的是（　　） A．﹣23＝﹣8 B． C． D．|﹣3|3＝﹣27 【分析】A．根据乘方的意义进行计算，然后判断即可； B．先求出各数的绝对值，然后根据绝对值大的反而小，进行判断即可； C．先把被开方数化成假分数，然后进行开平方运算，从而进行判断即可； D．先求出绝对值，再进行乘方运算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵﹣23＝﹣2×2×2＝﹣8，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； B．∵，∴，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； D．∵|﹣3|3＝33＝27，∴此选项的计算错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较和算术平方根，解题关键是熟练掌握两个负数比较大小的方法和乘方的意义． 3．（3分）第三十三届夏季奥林匹克运动会已落下帷幕．16天来，来自全球206个国家和地区代表团的10500位运动员齐聚巴黎，在塞纳河畔、埃菲尔铁塔下，公平竞争，友好交流，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．其中10500用科学记数法表示为（　　） A．1.05×104 B．10.5×103 C．1.05×105 D．105×102 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：10500＝1.05×104． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（3分）在实数：，，3.1415926，0.，，0.1010010001…（每2个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义求解即可． 【解答】解：所列数字中无理数有0.1010010001…（每2个1之间依次多一个0）这1个， 故选：A． 【点评】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义． 5．（3分）下列各式的计算结果正确的是（　　） A． B．9a2b﹣5ba2＝4a2b C．（a﹣b）+（b﹣c）+（a﹣c）＝0 D．2x+3y＝5xy 【分析】根据整式的加减运算法则计算，进行判断即可． 【解答】解：A、﹣2（）＝﹣x2+2y，故本选项不符合题意； B、9a2b﹣5ba2＝4a2b，故本选项符合题意； C、（a﹣b）+（b﹣c）+（a﹣c）＝a﹣b+b﹣c+a﹣c＝2a﹣2c，故本选项不符合题意； D、2x与3y不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（3分）已知大喇叭和小音箱的单价分别为x元、y元．广播操比赛前夕，大喇叭按七折出售．此时购买两个大喇叭和一个小音箱共需（　　）元（用含x、y的代数式表示）． A．2x+y B．0.7x+y C．1.4x+y D．0.7x+2y 【分析】根据题意，可以用含x、y的代数式表示出购买两个大喇叭和一个小音箱共用的钱数． 【解答】解：0.7x×2+y＝（1.4x+y）元， 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 7．（3分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有x两银子，根据题意所列方程正确的是（　　） A．7x﹣4＝9x﹣8 B． C．7x+4＝9x+8 D． 【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可． 【解答】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得： ＝， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用人数不变得出等量关系是解题关键． 8．（3分）已知：，且a，b为两个连续的整数，则a+2b＝（　　） A．﹣12 B．﹣13 C．﹣14 D．﹣15 【分析】先利用夹逼法估算无理数的取值范围，即可得出的取值范围，再根据题意即可求出a、b的值，从而计算a+2b． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，且a，b为两个连续的整数， ∴a＝﹣5，b＝﹣4， ∴a+2b＝﹣5+2×（﹣4）＝﹣5﹣8＝﹣13， 故选：B． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法估算无理数是解题的关键． 9．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|﹣a|+2|b+1|﹣3|a+b|的化简结果为（　　） A．﹣2a﹣5b﹣2 B．﹣2a﹣5b+2 C．4a+b+2 D．4a+b﹣2 【分析】由数轴可知：﹣2＜b＜﹣1，a＞2，从而﹣a＜﹣2，b+1＜0，a+b＞0，再逐个化简即可，最后整理合并同类项． 【解答】解：由数轴可知：﹣2＜b＜﹣1，a＞2， ∴﹣a＜﹣2，b+1＜0，a+b＞0， ∴|﹣a|+2|b+1|﹣3|a+b|＝﹣（﹣a）﹣2（b+1）﹣3（a+b） ＝a﹣2b﹣2﹣3a﹣3b ＝﹣2a﹣5b﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的化简，准确判断绝对值号里面的数的符号是正确化简的前提，牢记正数的绝对值为其本身，负数的绝对值为其相反数． 10．（3分）在一个3×3方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（　　） A．33 B．36 C．39 D．42 【分析】利用第三行和第三列上的三个数的和相等，可求出第一行第三个方格中的数字，由对角线上两个数之和为中间数的2倍及方格中9个数的和是中间数的9倍，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：第一行第三个方格中的数字为11+10﹣24＝﹣3． 根据题意得：×2＝11﹣3， 解得：m＝36． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）﹣8的立方根是 　﹣2　． 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键． 12．（3分）单项式的系数为 　　，次数为 　6　． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，6． 故答案为：，6． 【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 13．（3分）将14.2857精确到百分位的结果是 　14.29　． 【分析】把千分位上的数字5进行四舍五入即可． 【解答】解：用四舍五入法将14.2857精确到百分位的结果是14.29， 故答案为：14.29． 【点评】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键． 14．（3分）若4x2ay3和﹣ybx16是同类项，则b﹣a＝ 　﹣5　． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知2a＝16，b＝3， 解得a＝8，b＝3， ∴b﹣a＝3﹣8＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 15．（3分）若一个正数的平方根分别为4﹣m和2m﹣11，则这个正数是 　9　． 【分析】根据平方根的性质得出4﹣m+2m﹣11＝0，求出m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知4﹣m+2m﹣11＝0， 解得m＝7， 则这个正数为（4﹣7）2＝9， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． 16．（3分）某同学解关于x的方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为x＝2，则a＝ 　﹣17　；该方程正确的解为x＝ 　2.5　． 【分析】根据题意可以先求出a的值，然后将a的值代入原方程即可求出该方程正确的解． 【解答】解：， 2（3x﹣1）＝1﹣（4x+a）， ∵在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为x＝2， ∴x＝2是方程2（3x﹣1）＝1﹣（4x+a）的解， ∴2×（3×2﹣1）＝1﹣（4×2+a）， 解得a＝﹣17， 把a＝﹣17代入方程中，得 ， 2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣17）， 6x﹣2＝6﹣4x+17， 6x+4x＝6+17+2， 10x＝25， x＝2.5， 故答案为：﹣17，2.5． 【点评】本题考查了解一元一次方程；解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等． 17．（3分）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．当x＝a（a为常数）时，用f（a）来表示该多项式的值．若，且f（﹣2）＝0，则12k2﹣3k﹣5的值为 　﹣　． 【分析】由f（﹣2）＝0得出4k2﹣k＝﹣，再整体代入计算即可． 【解答】解：将x＝﹣2代入得﹣16﹣20k2+5k+9＝0， 整理得4k2﹣k＝﹣， 则原式＝3（4k2﹣k）﹣5 ＝3×（﹣）﹣5 ＝﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用． 18．（3分）有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．如图是一张99×99方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有 　8551　个格子被涂色． 【分析】计算出没涂色的格子总数，再用总的格子数减去没涂色的格子总数，可得被涂色的格子数． 【解答】解：根据题意有，从左上角到右下角，记： 第1个图形没被涂色的格子数为：2＝4×1﹣2， 第2个图形没被涂色的格子数为：6＝4×2﹣2， 第3个图形没被涂色的格子数为：10＝4×3﹣2， 第4个图形没被涂色的格子数为：14＝4×4﹣2， ...， 第n个图形没被涂色的格子数为：4n﹣2， 当n＝25时，4n﹣2＝4×25﹣2＝100﹣2＝98， 2+6+10+14+...+98＝4×1﹣2+4×2﹣2+4×3﹣2+...+4×25﹣2＝4（1+2+3+...+25）﹣25×2＝4×﹣50＝1250（个）， ∴没被涂色的格子总数为：1250个； 99×99＝9801（个）， ∴99×99方格纸共有9801个格子； 9801﹣1250＝8551（个）， ∴在原方格纸上有8551个格子被涂色． 故答案为：8551． 【点评】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出规律并从问题的反面思考分析问题是解本题的关键，难度适中，仔细审题即可． 三、解答题（本题有6小题，第19题9分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题7分，第24题10分，共46分） 19．（9分）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）按照混合运算法则，先算括号里面的，再逆用乘法分配律进行简便计算即可； （2）先算乘方，再利用乘法分配律计算乘法，最后算加减即可； （3）先根据二次根式的性质和立方根定义计算乘方和开方，最后算加法即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝1﹣12+9+54 ＝1+9+54﹣12 ＝64﹣12 ＝52； （3）原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘法分配律、二次根式的性质和立方根定义． 20．（6分）解方程： （1）2x﹣（x+10）＝5x； （2）． 【分析】（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值； （2）先利用分式的基本性质进行变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【解答】解：（1）2x﹣（x+10）＝5x， 2x﹣x﹣10＝5x， 2x﹣x﹣5x＝10， ﹣4x＝10， x＝﹣2.5； （2）， 方程可化为， 3（2x﹣1）＝700x﹣30， 6x﹣3＝700x﹣30， 6x﹣700x＝﹣30+3， ﹣694x＝﹣27， x＝． 【点评】本题考查了解一元一次方程；解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等． 21．（6分）已知：A＝2ab﹣a+1，B＝﹣ab+3b﹣6． （1）当a+b＝6，ab＝5时，求4B﹣12A﹣21的值； （2）若多项式A+mB不含ab项，求m的值． 【分析】（1）把已知条件中的A和B代入4B﹣12A﹣21，利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把a+b＝6，ab＝5代入化简后的式子进行计算即可； （2）把已知条件中的A和B代入A+mB，利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，根据多项式A+mB不含ab项，列出关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵A＝2ab﹣a+1，B＝﹣ab+3b﹣6， ∴4B﹣12A﹣21 ＝4（﹣ab+3b﹣6）﹣12（2ab﹣a+1）﹣21 ＝﹣4ab+12b﹣24﹣24ab+12a﹣12﹣21 ＝﹣4ab﹣24ab+12a+12b﹣24﹣12﹣21 ＝﹣28ab+12a+12b﹣57， 当a+b＝6，ab＝5时， 4B﹣12A﹣21 ＝﹣28ab+12（a+b）﹣57 ＝﹣28×5+12×6﹣57 ＝﹣140+72﹣57 ＝﹣140﹣57+72 ＝﹣125； （2）∵A＝2ab﹣a+1，B＝﹣ab+3b﹣6， ∴A+mB ＝2ab﹣a+1+m（﹣ab+3b﹣6） ＝2ab﹣a+1﹣mab+3mb﹣6m ＝2ab﹣mab+3mb﹣a+1﹣6m ＝（2﹣m）ab+3mb﹣a+1﹣6m， ∵多项式A+mB不含ab项， ∴2﹣m＝0， 解得：m＝2． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 22．（8分）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：2x＝4和2x﹣1＝0互为“优雅方程”． （1）判断：x+1＝0 　是　（填“是”或“不是”）﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”． （2）若方程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程mx+2＝1（m为正整数）与1＝7﹣nx（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 【分析】（1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先解含有字母参数的两个方程，然后根据新定义，列出关于m，n的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）x+1＝0，解得：x＝﹣1， ﹣3x+5＝4x+12， 4x+3x＝5﹣12， 7x＝﹣7， x＝﹣1， ∵﹣1和﹣1是互为倒数， ∴x+1＝0是方程﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”， 故答案为：是； （2）2（x+4）﹣9＝0， 2x+8﹣9＝0， 2x＝1， ， 2x﹣（a+10）＝6x， 2x﹣a﹣10＝6x， 6x﹣2x＝﹣a﹣10， 4x＝﹣a﹣10， ， ∵程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”， ∴， ﹣a﹣10＝8， ﹣a＝10+8， ﹣a＝18， a＝﹣18； （3）mx+2＝1， mx＝﹣1， ， 1＝7﹣nx， nx＝6， ， ∵于x的方程mx+2＝1与1＝7﹣nx互为“优雅方程”， ∴， ， mn＝﹣6， ∵m为正整数，n为负整数， ∴m＝1，n＝﹣6； m＝2，n＝﹣3； m＝3，n＝﹣2； m＝6，n＝﹣1； 综上可知：m＝1，n＝﹣6或m＝2，n＝﹣3或m＝3，n＝﹣2或m＝6，n＝﹣1； 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义． 23．（7分）【知识链接】 在求解几何图形的面积时，通常会利用割、补等手段．所谓“割”，就是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形的面积之和等于原图形的面积． 纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见图1），并将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实．上述规则图形无缝隙、无重叠． 【问题探究】 一张赵爽弦图如图2所示．若四个直角三角形的两条直角边都分别为a和b（即AF＝BG＝CH＝DE＝a，AG＝BH＝CE＝DF＝b），且a＜b． （1）请你用含a、b的代数式表示出正方形EFGH的面积S，并求出当a＝5，b＝12时，S的值． （2）现将赵爽弦图中的四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形ABCD的四条边向外翻折，得到如图3所示的大正方形IJKL、记正方形EFGH的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，正方形IJKL的面积为S3．请问是否存在常数k，使得S1+S3＝kS2成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，用含a、b的代数式表示出正方形EFGH的面积S，再将a，b的值代入求值即可； （2）用含a、b的代数式表示出正方形EFGH的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，正方形IJKL的面积为S3，再计算出S1+S3，即可发现与S2的关系，从而得到k的值． 【解答】解：（1）由题意可知，正方形EFGH的边长为b﹣a， ∴正方形EFGH的面积S＝（b﹣a）2， 当a＝5，b＝12时， S＝（b﹣a）2＝（12﹣5）2＝49； （2）存在． 由题意，得S1＝（b﹣a）2，S2＝（b+a）2﹣4×ab＝b2+a2，S3＝（b+a）2， ∴S1+S3＝（b﹣a）2+（b+a）2＝b2﹣2ab+a2+b2﹣2ab+a2＝2（b2+a2）＝2S2， ∵S1+S3＝kS2， ∴k＝2． 【点评】本题考查赵爽弦图，解答中涉及列代数式，求代数式的值，乘法公式，理解题意，掌握题目中提供的方法是解题的关键． 24．（10分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务． 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如图2所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，a＝ 　﹣3　，b＝ 　7　，c＝ 　﹣6　． 【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】点D落在“阶梯坡面”上，BD＝7．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足2AQ＝9PQ，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 【分析】【任务1】利用非负数的性质解答即可； 【任务2】利用对称性求得折痕处对应的数为0.5，则利用点A对应的数距离0.5的长度为3.5解答即可； 【任务3】利用题意得到t的取值范围为1≤t≤7，利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：当1≤t≤6时，此时点P，Q都在做上坡运动，①当点P在点Q下方时，利用含t的代数式表示出线段AQ，PQ，依据已知条件列出关于t的方程解答即可；②当点P在点Q上方时，利用①的方法列方程解答即可；当6＜t≤7时，此时点P在做上坡运动，点Q做下坡运动，①当点P在点Q下方时，利用含t的代数式表示出线段AQ，PQ，依据已知条件列出关于t的方程解答即可；②当点P在点Q上方时，利用①的方法列方程解答即可． 【解答】解：【任务1】∵， ∴|a+3|++＝0， ∴a+3＝0，6+c＝0，b﹣7＝0， ∴a＝﹣3，b＝7，c＝﹣6． 故答案为：﹣3；7；﹣6； 【任务2】∵点B与点C重合， ∴折痕处对应的数为＝0.5， ∴与点A重合的点所表示的数为0.5+3.5＝4． 【任务3】∵BD＝7，点B表示的数为7， ∴点D表示的数为0， ∵点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B，当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， ∴0≤t≤7． ∵点P在“阶梯坡面”上运动，CA＝3，点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动， ∴1≤t≤7． 当1≤t≤6时，此时点P，Q都在做上坡运动， ①当点P在点Q下方时， 由题意得：AD＝0﹣（﹣3）＝3， ∴AQ＝AD+DQ＝3+t，AP＝2（t﹣1）， ∴PQ＝AQ﹣AP＝3+t﹣2（t﹣1）＝﹣t+5， ∵2AQ＝9PQ， ∴2（t+3）＝9（﹣t+5）， ∴t＝． ②当点P在点Q上方时， 由题意得：AD＝0﹣（﹣3）＝3， ∴AQ＝AD+DQ＝3+t，AP＝2（t﹣1）， ∴PQ＝AP﹣AQ＝2（t﹣1）﹣（t+3）＝t﹣5， ∵2AQ＝9PQ， ∴2（t+3）＝9（t﹣5）， ∴t＝（大于6，不合题意舍去）． 当6＜t≤7时，此时点P在做上坡运动，点Q做下坡运动， 由题意得：AQ＝AD+DQ＝3+t，BP＝5（t﹣6）， ∴BQ＝AB﹣AQ＝10﹣（3+t）＝7﹣t． ①当点P在点Q下方时， PQ＝BP﹣BQ＝5（t﹣6）﹣（7﹣t）＝6t﹣37， ∵2AQ＝9PQ， ∴2（t+3）＝9（6t﹣37）， ∴t＝． ②当点P在点Q上方时， PQ＝BQ﹣BP＝（7﹣t）﹣5（t﹣6）＝﹣6t+37， ∵2AQ＝9PQ， ∴2（t+3）＝9（﹣6t+37）， ∴t＝（小于6，不合题意舍去）． 综上，当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足2AQ＝9PQ，t的值为秒或秒． 【点评】本题主要考查了数轴，非负数的应用，折叠的性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，利用已知条件正确列出方程是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$