精品解析：山东省临沂市费县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学试题 2024.10 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知点，，与关于轴对称，连接，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点，点在该函数图象上，则，其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的根为_______． 12. 抛物线和轴有公共点，则的取值范围是________． 13. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下，则方程的解是______． … 0 … … 3 … 14. 如图，将绕点A逆时针旋转80°，得到，若点D在线段BC的延长线上，则__________； 15. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 16. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共5小题，共56分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当，时，试判断的形状 19. 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 20. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 21. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 2024.10 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形：如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，该选项不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：一元二次方程等号两边都加上4，得， ∴， ∴一元二次方程配方后可变形为， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提． 3. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意； C．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 7. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 8. 如图，已知点，，与关于轴对称，连接，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点作轴于点C，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点，A与关于y轴对称， ∴， 如图，过点作轴于点C， ∵将线段以点为中心顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点 B的对应点的坐标为． 故选：C 9. 如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的相等关系，垂径定理和三角形中位线性质．作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ，， ， ， ， ， ， 又， 为的中位线， ， 故选B． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点，点在该函数图象上，则，其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据对称轴是判断①；根据时的函数值判断②；根据时得到，代入判断③；根据、、离函数对称轴的距离判断④即可解题． 【详解】解：①函数的对称轴为：，解得： ，即，故①正确； ②当， , 故②正确； ③当时，，即，而故则，故③正确； ④根据、、离函数对称轴的距离，可得，故④正确； 故选: A． 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 抛物线和轴有公共点，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线和轴有公共点， ∴， ∴， 又∵， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 13. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下，则方程的解是______． … 0 … … 3 … 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性求出值等于的自变量的值即可． 【详解】解：的函数值都是， ∴二次函数的对称轴为直线， 时，， 时，， ∴方程的解是； 故答案为：． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转80°，得到，若点D在线段BC的延长线上，则__________； 【答案】50°##50度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得出、，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解； 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键． 15. 如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． 根据垂径定理得出，设为x，则，根据勾股定理得出方程，求出x的值，连接，求出且，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴； 连接， ∵， ∴且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换、勾股定理，通过分析几次旋转得到旋转规律是解题的关键． 过点作轴于点，根据勾股定理列式求出，利用等积法求出，根据勾股定理列式求出，得出，可得坐标，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，根据商为，余数为，可知第个三角形的直角顶点为第个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组后第二个三角形的直角顶点， ∵一个循环组横坐标前进的长度为：， ∴， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共56分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）利用配方法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 18. 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当，时，试判断的形状 【答案】（1） 证明：∵绕点按顺时针方向旋转得到 ∴， ， ， ∴是等边三角形； （2）是等腰直角三角形 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质； （1）利用有一个角为的等腰三角形为等边三角形即可得证； （2）三角形为等腰直角三角形，理由为：由旋转得到两三角形全等，进而求出，再由三角形为等边三角形，进而确定出为直角，即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形 ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形． 19. 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7人 （2）第三轮感染后，患流感的共有1024人 【解析】 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； 【小问2详解】 解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 20. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键． （1）分和两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式； （2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果． 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； 【小问2详解】 当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 21. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，， ∴， 即：的最小值为：； 【小问3详解】 解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $