2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第12讲 二次函数的图像性质

第12讲 二次函数的图象与性质 考点1 二次函数的基本性质 5 题型一 开口方向、对称性、增减性及顶点的确定 5 题型二 求函数解析式 13 题型三 与最值有关的问题 16 考点2 二次函数图象有关的判断 20 考点3 二次函数与系数a，b，c的关系 25 考点4 二次函数与一元二次方程的关系 31 考点5 二次函数图象的变化 37 题型一 二次函数的平移问题 37 题型二 二次函数的轴对称与中心对称问题 42 考点6 二次函数图象与性质综合应用 44 真题过关检测 50 一、二次函数的概念 二次函数 一般地，形如 （为常数，）的函数称为关于的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 二、二次函数的图象与性质 1、的图象与性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值 2、的图象和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值 3、（）的图象和性质 顶点式 （）是二次函数的顶点式，其中为其顶点坐标，为其对称轴 开口向上 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 开口向下 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最大值 4、的图象及性质 图象的画法 一般选取的五点为： ①顶点 ②与轴的交点、以及关于对称轴对称的点 ③与轴的交点，（若与轴没有交点，则取一组关于对称轴对称的点） 一般式与顶点式 开口向上 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 开口向下 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最大值 三、二次函数图象的平移 平 移 步骤 ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 四、二次函数中参数对图象的影响 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 所以决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 所以决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 五、二次函数解析式的表示方法 一般式 （，，为常数，）； 顶点式 （，，为常数，）； 两根式 （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 六、二次函数与一元二次方程 1、二次函数与x轴的交点 抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为，，由于、是方程的两个根，故： . 2、二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以为例） 判别式: 二次函数 的图象 一元二次方程: 的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实根 考点1 二次函数的基本性质 题型一 开口方向、对称性、增减性及顶点的确定 1．（2024·广东·模拟预测）关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，， ∴抛物线与y轴交点为； 故只有选项B错误； 故选B． 2．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 3．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 4．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可． 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴； 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意； 故选：D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图像上、二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表： 下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②这个函数的最大值大于； ③点的坐标是； ④当，时， 其中正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可得答案． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故①错误，②正确． 点坐标为， 点的坐标为， 故③错误 ，， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 故④正确； 故选：C 7．（2024·福建福州·模拟预测）二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由题可知，对称轴为，进而分两种情况讨论：①；②，根据抛物线的增减性得出结论． 【详解】解：对称轴为， 当时， ，，， 与互为相反数， ，故A，B不正确，不符合题意； 同理当时，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 8．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求函数对称轴，则、、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断的大小． 【详解】解∵二次函数 ， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴各个点到对称轴的距离越近越小， ∵，且， ∴， 故答案为：． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点 ，，交轴于点 ，作平行四边形，边交抛物线于点，连接，若的面积是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据题意求得对称轴为的直线，令，则，求得点的坐标，进而求解点的坐标，证明，求得点的坐标，代入二次函数解析式即可求解； 【详解】解：根据题意可知对称轴为：； 令，则， 故， 将代入中， ， 解得：或， 故， ， ， ， ， 将代入， ， 解得：； 故答案为： 10．（2024·福建厦门·模拟预测）已知，在二次函数的图象上，当时，，若图象上，满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再根据已知判断出开口方向，然后根据的大小关系列出不等式即可得到的范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵在二次函数的图象上， 当时，， ∴抛物线开口向上， ∵图象上满足， ∴或， 解得或， ∴的取值范围是， 故答案为：． 题型二 求函数解析式 11．（2024·广东·模拟预测）如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式是， 故选：C． 12．（2024·江苏扬州·一模）已知在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 … 则满足方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型． 先确定抛物线对称轴，再观察表格确定函数值为0时的自变量的值即可解决问题． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 抛物线解析式为：； ， 因式分解得：， 解得：． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 题型三 与最值有关的问题 14．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得m值和函数关系式，再求得最小值即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值， ∵图象经过点，其对称轴在轴右侧， ∴， ∴且， ∴或（舍去）， ∴， ∴该二次函数有最小值0， 故选：B． 15．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 16．（2024·湖北·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据增减性确定的符号，再根据最值求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 解得：或（舍去）； 故选B． 17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数 ∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2， 当时， 时， 函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去)， 当 时， 时，函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去) ， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得：或(舍去)， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得或4(舍去)， 或， 故选：D． 18．（2024年浙江省中考数学试卷）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 考点2 二次函数图象有关的判断 19．（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 20．（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 21．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 22．（2024·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点， ，，，， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 在抛物线中，当时，， 反比例函数经过第一、三象限， 故选：A． 23．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象和性质，根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到， ，，再根据二次函数进行观察图象即可判断，解题的关键是根据函数图象确定，，的取值范围． 【详解】解：根据题意和已知图像关系，可知反比函数分布在第二象限， ∴ 又∵函数图像经过一、二、三象限， ∴，且， ∴的对称轴为：，故D不符合题意； 将代入函数，可得到，故B和C不符合题意，A符合题意； 故选：A． 考点3 二次函数与系数a，b，c的关系 24．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 25．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 26．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 27．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，抛物线的部分图像与轴的一个交点为．有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图像信息解决问题是关键．根据对称轴为直线及图像开口向下可判断出、、的符号，从而判断①；根据函数图像与轴的交点个数，可判断②；由当时，，可判断③；由当时，，即可得出，即，然后根据，，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线交轴于负半轴， ， ，故①正确； 该函数图像与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； 由图像可知当时，， ，故③正确； 抛物线的部分图像与轴的一个交点为， ， ， ， ，即， ，， ，故④正确； 正确的有①②③④，共个， 故选：D． 28．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式，熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析结论的正误是解题的关键．①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②由，，可判断的正负，即可判断；③将，代入方程，根据根的判别式即可判断；④将，代入，求解后即可判断． 【详解】解：①抛物线（，，是常数，）经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值， ， ， 解得：， ， ，故①正确； ②， ， ， ，故②错误； ③，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故③正确； ④，， ， ， ， ． 故④正确； 故答案为：①③④． 考点4 二次函数与一元二次方程的关系 29．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点， ∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为， ∴，，，分别是的横坐标， ∴根据图象可知：， 故选：． 30．（2024年四川省雅安市中考数学试题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 31．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴，解得：， ∴， ∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点， ∴，解得：或； 故答案为：或． 32．（2023年广东省深圳大学附中中考一模数学试卷）已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论： 若，则； 若时，则； 若点，，在抛物线上，，且，则； 当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据和过点，可得，根据，列不等式组可解答； 根据对称轴是直线，计算，最后将点的坐标代入抛物线的解析式可解答； 计算对称轴，确定，可知：点到对称轴的距离点到对称轴的距离，开口向下时可得的大小； 列方程计算可解答； 根据已知确定解析式，列方程计算可解答． 【详解】解：若，则， 抛物线过， ， ， ， 当时，；当时，； 联立此两个不等式，将代入以上不等式， 可解得；故错误； 当时，对称轴是直线， ， 当时，， ，即， ，故错误； 由题意，抛物线的对称轴是直线， ， ，即， 点，在抛物线上，，且， 点到对称轴的距离点到对称轴的距离， ，故正确； 设抛物线的解析式为， 方程， 整理得，， ， ，， ， 关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确， 如果，则， 如果，根据，则； 又抛物线过，， ， ， 当时，，当时，， 根据图象知，直线与该二次函数有一个公共点， 则， ， 故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 考点5 二次函数图象的变化 题型一 二次函数的平移问题 33．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，先配方得到，然后由沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位即可得到新解析式为，熟练掌握抛物线的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键． 【详解】∵， 又∵抛物线沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位， ∴平移后得新抛物线解析式为， 故选：D． 34．（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 35．（安徽省天长市铜城中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷）将抛物线向下平移5个单位后，经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的平移和性质．根据二次函数的平移规律得到，把代入得到，再整体代入即可求出答案． 【详解】解：由抛物线向下平移5个单位后得到， 把点代入得到， ， ∴， ∴， 故选：C 36．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，通常先求出的顶点坐标，再根据的顶点坐标，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题． 【初步感知】 （1）将抛物线向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得的图象； 【深入探究】 （2）将的图象平移，使得平移后的图象始终过点，且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将的图象向右平移多少个单位长度？ 【拓展提升】 （3）将的图象平移后得到的图象，且使得的图象与直线在轴上方只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）上， 3，右，2； （2）右平移3个单位长度； （3）的取值范围为，，或． 【分析】(1)根据抛物线顶点，向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得抛物线，顶点得出结论； (2)设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为，再由已知可得: ，由“x为任意实数”可得，从而得出结论； (3)把代入，得到，从而得到: 的图象与直线有交点时b的取值范围及交点的坐标，再由已知条件“在x轴上方只有一个交点”得出结论． 【详解】解：（1）抛物线的顶点是，抛物线的顶点为，而点向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得点， 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得的图象， 故答案为：上，3，右，2； （2）设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为， 将的图象平移，使得平移后的图象始终过点且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，， 整理，得，， 为任意实数， ，， ， ， 最多将的图象向右平移3个单位长度； （3）①当平移后两个图象相切，只有一个交点时，， 即：， 两函数图象相切， ， 解得：，， 当时，两图象交于点， 当时，两图象交于点， ，都在轴上方， 当或，两图象在轴上方只有一个交点， （2）当平移后两个图象不相切，在轴上方只有一个交点时， 与轴的交点为， 时，二次函数的值为：， 过点为， 过点为， 当时，两图象在轴上方只有一个交点，另一个交点在轴上. 解得：， 两图象在轴上的交点坐标为或，另一个交点在轴上方，. 与轴的交点为， 的对称轴为. 与轴的交点横坐标小于大于0， 的对称轴大于， 两个图象的一个交点在第四象限，一个交点在第一象限，， 与轴的交点为， 的对称轴为， 与轴的交点横坐标大于小于0， 的对称轴小于， 两个图象的一个交点在第三象限，一个交点在第二象限. 当或是，两图象在轴上方只有一个交点， 综上所述：的取值范围为，，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移规律是解题的关键． 题型二 二次函数的轴对称与中心对称问题 37．（2023年陕西省宝鸡市扶风县一模数学试题）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（    ） A． ， B．， C． ， D．， 【答案】D 【分析】首先可分别求得抛物线M及的对称轴，再根据轴对称图形的性质，即可求得m的值；根据抛物线M与y轴的交点坐标，即可求得交点关于直线对称的点的坐标，再根据该点在抛物线上，据此即可求解． 【详解】解：由抛物线可知抛物线M的对称轴为直线，交y轴于点， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与抛物线关于直线对称，， 解得， ∴点关于直线对称的点在抛物线上， ∴把点代入得， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，轴对称图形的性质，熟练掌握和运用轴对称图形的性质是解决本题的关键． 38．（2023年陕西省西北工业大学附属中学九年级下学期中考四模数学试题）在平面直角坐标系中，若抛物线与抛物线关于轴对称，则符合条件的、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由两抛物线关于轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于轴对称，与轴交于同一点，由此可得二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于、的方程组，解方程组即可得. 【详解】解：关于轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数， ∴， 解得：，， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键． 39．（2024年陕西省中考数学试题猜想）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点中心对称，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得抛物线与抛物线的开口方向相反，故，与的对称轴关于直线对称，分别求出与的对称轴列出关于n的方程求解即可． 【详解】解：根据抛物线的对称性可知，抛物线与抛物线的开口方向相反，故， ∵与关于点中心对称， ∴与的对称轴关于直线对称， ∵的对称轴，的对称轴 ， 解得， ∴， 故选：A． 40．（2022年贵州省黔东南州中考数学真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为（-1，-2）， 将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）， 旋转后的抛物线为， 再向下平移5个单位，即． ∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）． 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键． 考点6 二次函数图象与性质综合应用 41．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）当时，用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）当时，可得，又，故，得； （3）由，可得，又，即可知且；求出，用作差的方法可得到答案． 【详解】（1）解：当时，把和代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，， 把和代入得：， ， ， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：把和代入得： ， ， ， 或， 由得， ， ∴无解， 即无解， 则 且， 把代入， 得：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，解不等式组，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质． 42．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；② (2)， 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； ②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）①解：当时，则， 把和分别代入可得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； ②解：当和时，函数值相等， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴的值为； （2）∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数过点和， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 整理可得：， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得：， ∴， ∴， 综上，，． 43．（2024·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于． (1)若点的坐标为． ①求抛物线的函数表达式； ②点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于．若，求点的横坐标； (2)设，经过，两点的直线为，当为何值时，函数取最大值？ 【答案】(1)①；② (2)当时，函数取最大值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②先求出所在直线的函数表式，设，则，，结合求解即可； （2）根据点和的坐标结合对称轴得出和的关系，从而得出和的关系，再根据直线经过和，求出和的关系，代入要求得二次函数对称轴中，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，，又抛物线过，两点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； ②设所在直线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴所在直线的函数表式为， 设，则，且， ， ， ， 解得， 即点的顺坐标为； （2）解：， 拋物线过，两点， 该抛物线的对称轴为直线， ，即． ， ∴当时，函数有取大值， 直线过，两点， ， ∴， 又抛物线过点， ， ， ， 当时，函数取最大值． 真题过关检测 44．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 45．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 46．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 47．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 48．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 49．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 50．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 51．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 52．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 53．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 54．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 56．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 57．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 58．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①6；②且；③4 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ③，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）解：①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 59．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 60．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【详解】（1）解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二次函数的图象与性质 考点1 二次函数的基本性质 5 题型一 开口方向、对称性、增减性及顶点的确定 5 题型二 求函数解析式 7 题型三 与最值有关的问题 8 考点2 二次函数图象有关的判断 9 考点3 二次函数与系数a，b，c的关系 10 考点4 二次函数与一元二次方程的关系 12 考点5 二次函数图象的变化 13 题型一 二次函数的平移问题 13 题型二 二次函数的轴对称与中心对称问题 14 考点6 二次函数图象与性质综合应用 15 真题过关检测 16 一、二次函数的概念 二次函数 一般地，形如 （为常数，）的函数称为关于的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 二、二次函数的图象与性质 1、的图象与性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值 2、的图象和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值 3、（）的图象和性质 顶点式 （）是二次函数的顶点式，其中为其顶点坐标，为其对称轴 开口向上 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 开口向下 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最大值 4、的图象及性质 图象的画法 一般选取的五点为： ①顶点 ②与轴的交点、以及关于对称轴对称的点 ③与轴的交点，（若与轴没有交点，则取一组关于对称轴对称的点） 一般式与顶点式 开口向上 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值 开口向下 对称轴 顶点坐标 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最大值 三、二次函数图象的平移 平 移 步骤 ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 四、二次函数中参数对图象的影响 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 所以决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 所以决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 五、二次函数解析式的表示方法 一般式 （，，为常数，）； 顶点式 （，，为常数，）； 两根式 （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 六、二次函数与一元二次方程 1、二次函数与轴的交点 抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为，，由于、是方程的两个根，故： . 2、二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以为例） 判别式: 二次函数 的图象 一元二次方程: 的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实根 考点1 二次函数的基本性质 题型一 开口方向、对称性、增减性及顶点的确定 1．（2024·广东·模拟预测）关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 2．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 4．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图像上、二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于；③点的坐标是； ④当，时，其中正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④ 7．（2024·福建福州·模拟预测）二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （）的图象过 ，四个点， 则大小关系为 ． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点 ，，交轴于点 ，作平行四边形，边交抛物线于点，连接，若的面积是，则的值为 ． 10．（2024·福建厦门·模拟预测）已知，在二次函数的图象上，当时，，若图象上，满足，则m的取值范围是 ． 题型二 求函数解析式 11．（2024·广东·模拟预测）如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 12．（2024·江苏扬州·一模）已知在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 … 则满足方程的解是 ． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 题型三 与最值有关的问题 14．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 15．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 16．（2024·湖北·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． 17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 18．（2024年浙江省中考数学试卷）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 考点2 二次函数图象有关的判断 19．（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 20．（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（    ） A．B．C． D． 23．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ）． A． B． C． D． 考点3 二次函数与系数a，b，c的关系 24．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，抛物线的部分图像与轴的一个交点为．有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 考点4 二次函数与一元二次方程的关系 29．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（2024年四川省雅安市中考数学试题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 32．（2023年广东省深圳大学附中中考一模数学试卷）已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论： 若，则； 若时，则； 若点，，在抛物线上，，且，则； 当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点5 二次函数图象的变化 题型一 二次函数的平移问题 33．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（    ） A． B． C． D． 34．（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 35．（安徽省天长市铜城中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷）将抛物线向下平移5个单位后，经过点，则（   ） A． B． C． D． 36．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，通常先求出的顶点坐标，再根据的顶点坐标，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题． 【初步感知】 （1）将抛物线向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得的图象； 【深入探究】 （2）将的图象平移，使得平移后的图象始终过点，且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将的图象向右平移多少个单位长度？ 【拓展提升】 （3）将的图象平移后得到的图象，且使得的图象与直线在轴上方只有一个交点，直接写出的取值范围． 题型二 二次函数的轴对称与中心对称问题 37．（2023年陕西省宝鸡市扶风县一模数学试题）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（    ） A． ， B．， C． ， D．， 38．（2023年陕西省西北工业大学附属中学九年级下学期中考四模数学试题）在平面直角坐标系中，若抛物线与抛物线关于轴对称，则符合条件的、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 39．（2024年陕西省中考数学试题猜想）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点中心对称，则m，n的值分别为（　　） A． B． C． D． 40．（2022年贵州省黔东南州中考数学真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 考点6 二次函数图象与性质综合应用 41．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 42．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 43．（2024·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于． (1)若点的坐标为． ①求抛物线的函数表达式； ②点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于．若，求点的横坐标； (2)设，经过，两点的直线为，当为何值时，函数取最大值？ 真题过关检测 44．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 45．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 46．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 47．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 48．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 49．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 50．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 51．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 53．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    54．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 55．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 56．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 57．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 58．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 59．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 60．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$