专题1.1 集合（考点清单，7个考点梳理+12题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题1.1 集合 【清单01】集合与元素 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 【清单02】集合中元素的特征 （1）确定性 （2）互异性 （3）无序性 （4）广泛性 【清单03集合的表示法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 2.描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. 3.区间法：（1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 【清单04】集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，空集可以看成含0个元素，故空集是有限集. 【清单05】集合间的基本关系 1.子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2. ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【清单06】集合的基本运算 1.交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3）， 并集 或 （1） （2） （3）， 补集 （1） （2） 2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B． 【清单07】常用数集及其关系 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. 【考点题型一】集合的基本概念 【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合、判断是否为同一集合、集合元素互异性的应用 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（    ） A．空集 B．单元素集合 C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据条件，得到，再结合选项分析判断，即可求解. 【详解】由，得到，解得，所以选项A和B错误， 当时，或，所以选项C正确， 由，得到，但，所以选项D错误， 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可. 【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【知识点】描述法表示集合、判断元素能否构成集合 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 【变式1-4】（多选）（24-25高一上·重庆·开学考试）下列说法正确的有（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的解集是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【答案】BD 【知识点】判断元素能否构成集合、列举法表示集合、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合的确定性，互异性，和无序性，依次判断选项即可. 【详解】对A：不是质数，故A错误； 对B：根据集合的无序性可知，故B正确； 对C：根据集合的互异性可知方程的解集是，故C错误； 对D：根据集合的互异性可知两两不相等，故一定不是等腰三角形，故D正确. 故选：BD. 【考点题型二】元素与集合 【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③，④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系直接判断①②③，根据的适用情况判断④. 【详解】①是实数，故正确；②不是有理数，故正确； ③，是自然数，故正确；④只能用于元素与集合之间的关系，故错误； 所以正确的个数为个， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系判断. 【详解】A，2是自然数，故A正确；B，是无理数，不是有理数，故B错误； C，0是自然数，故C错误；D，是分数，不是整数，故D错误. 故选：A 【变式2-3】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 【变式2-4】（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，则1与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】代入判断不属于，从而得到不包含于，然后分别考查四个选项即可. 【详解】因为，所以，这也意味着，从而只有选项A正确. 故选：A. 【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数 【例3】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据列方程，利用集合中元素的互异性确定的值. 【详解】当时，，此时，，故舍去； 当时，解得或（舍），此时，符合题意． 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合与元素的包含关系求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 【变式3-3】（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式3-4】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【考点题型四】子集、真子集的个数问题 【例4】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合满足， 则符合条件的集合有 个. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解. 【详解】因为， 所以中含有元素， 故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数， 故有个， 故答案为：7 【变式4-1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数. 【详解】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B 【变式4-3】（24-25高一上·天津·期中）已知，它的非空真子集的个数为 . 【答案】14 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的子集（真子集）个数的结论求解． 【详解】，有4个元素， 则它的非空真子集的个数为， 故答案为：14． 【变式4-4】（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合，然后由集合中元素的个数求解子集的个数即可. 【详解】由题意得，则的子集个数为． 故答案为： 【考点题型五】包含关系的判断 【例5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】ABC选项，由数集字母表示及元素，集合与几何关系可判断选项正误； D选项，由集合相等定义可判断选项正误. 【详解】A选项，为无理数，为有理数集，则，故A错误； B选项，为整数，则，故B正确； C选项，为自然数，不是正整数，则不为正整数集的子集，故C错误； D选项，为数集，为点集，则，故D错误. 故选：B 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】解方程确定集合，然后由子集、真子集的定义判断． 【详解】解方程，得或，则， 因为且，且，所以．又因为但，所以． 故选：C． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合的包含关系可得出结论. 【详解】因为，， 所以，. 故选：D. 【变式5-4】（24-25高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素与集合的关系判断A、B；根据集合的性质判断C；根据集合之间的关系判断D； 【详解】A选项，不是整数，所以，A选项错误； B选项，是无理数，所以，B选项错误； C选项，集合元素的无序性，所以C选项正确； D选项，是点集，是数集，两者没有包含关系，故D错误. 故选：C 【考点题型六】根据集合的包含关系求参数 【例6】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 【变式6-1】（24-25高三上·山西长治·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或，解得或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足元素的互异性，故舍去； 当时，，，不满足，故舍去； 同理，则则或，即或或， 由以上分析可知符合题意，不符合题意， 时，，，不符合题意； 综上可得. 故选：C 【变式6-2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 【变式6-3】（多选）（24-25高一上·河北保定·期中）设集合，，且，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】ACD 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值. 【详解】， 因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，，解得， 综上，或2或. 故选：ACD 【变式6-4】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系，利用数轴分析，即可求得结果. 【详解】因为，，，所以利用数轴分析法，可知. . 故答案为：. 【考点题型七】集合的相等 【例7】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 【答案】BCD 【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、列举法表示集合 【分析】利用集合的元素个数判断AB；利用元素与集合的关系判断B；利用集合的元素特性判断D. 【详解】对于A，，该集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合中有一个元素0，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由集合中元素的无序性，知与是相同的集合，D错误. 故答案为：BCD 【变式7-3】（多选）（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列关于集合的说法不正确的有（    ） A． B．任何集合都是它自身的真子集 C．若（其中），则 D．集合与是同一个集合 【答案】ABD 【知识点】判断两个集合是否相等、根据两个集合相等求参数、空集的概念以及判断、子集的概念 【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项． 【详解】中含有一个元素，不是空集，A错； 任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B错； 由集合相等的定义得，，C正确； 集合中元素是实数，集合中元素是有序实数对，不是同一集合，D错， 故选：ABD． 【变式7-4】（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 【考点题型八】根据集合相等求参数 【例8】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【详解】，，，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 【变式8-1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得或3， 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数、集合元素互异性的应用 【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 【变式8-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知集合，，若，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 【答案】D 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等求解. 【详解】解：因为集合，，且， 所以，解得， 故选：D 【变式8-4】（24-25高三上·河南·期中）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据方程的解是任意实数，即可得求解. 【详解】，即关于的方程的解是任意实数， 则所以所以. 故选：B. 【考点题型九】集合的基本运算 【例9】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知全集，，，或求 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合并集的概念进行计算即可. （2）根据集合交集的概念进行计算即可. （3）根据集合补集的概念进行计算即可. 【详解】（1）， . （2）， . （3）或，或 【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集概念进行求解. 【详解】由题得，且，故． 故选：B 【变式9-2】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据题意，将集合分别化简，即可得到两集合的关系. 【详解】因为集合， 令，则， 令，则， 所以或， 且，所以. 故选：C 【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、交并补混合运算 【分析】根据补集与并集的概念求解即可． 【详解】由题知，则，故． 故选：D． 【变式9-4】（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】求出全集，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，， 则，，所以，. 故选：B. 【考点题型十】根据集合的运算求参数 【例10】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，. (1)若，求，. (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）根据交集，并集和补集概念得到答案； （2）根据条件得到，从而得到方程组，方程组无解，故不存在实数，使得. 【详解】（1）因为，所以，则， 由，得，则. （2）假设存在实数，使得，由，得， 则，方程组无解，从而假设不成立， 故不存在实数，使得. 【变式10-1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 【变式10-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知全集，集合，. (1)求和； (2)已知，写出集合的所有非空子集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】求集合的子集（真子集）、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）求出集合，利用交集和并集的定义可求得集合和； （2）求出集合，利用子集的定义可得出集合的所有非空子集. 【详解】（1）因为，， 则，. （2）因为全集，，则， 所以，集合的所有非空子集为：、、、、、、. 【变式10-3】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知集合． (1)求P，Q； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）化简集合，再根据交集，并集，补集的定义计算即可； （2）根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得， 由或， 得， 所以． ． （2）当时，，得． 当时，或， 解得或． 综上，m的取值范围为． 【变式10-4】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 【考点题型十一】集合的应用 【例11】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合的应用、交并补混合运算 【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解. 【详解】A选项：由已知，则，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 【变式11-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】利用Venn图求集合、集合的应用 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 【变式11-2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【知识点】集合的应用、容斥原理的应用 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 【变式11-3】（24-25高一上·全国·课后作业）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】集合的应用 【分析】由题意画出参加三个项目的人数图形，列方程解出即可； 【详解】      如图所示，设同时参加篮球和排球项目的人数为， 则有， 解得， 故同时参加篮球和排球项目的人数为4． 故选：B. 【变式11-4】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 【答案】44 【知识点】容斥原理的应用、集合的应用 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则，    由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.    故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 【考点题型十二】集合的“新定义”问题 【例12】（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据集合中元素的个数求参数、集合元素互异性的应用、集合新定义 【分析】（1）代入，根据列出方程求解出的值，则结果可知； （2）代入，根据列出方程组，化简方程组结合韦达定理求解出结果； （3）根据进行分类讨论，结合方程组解的情况进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）时，设，由，得， 所以，即， 得或1，故或. （2）时，，由，得， 得或，即或， 当时，是方程的两根，故， 当时，两式相减得， 由集合中元素的互异性得，所以， 故，即，同理， 故是方程的两根，所以， 故ab的所有取值构成的集合为. （3）设，由，得， ①若，故是方程的三个不等的实数根， 而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立； ②若，当时，，令，得， 对，，两式相减得，因为，所以， 代入，得，同理， 故为方程的两个不相等的实根，令，得， 当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意； ③若，则， 由得， 则，， ， 得，因为， 所以，令, 则由上式得, ， ， 所以，即此种情况下， 综上，实数k的取值范围是. 【变式12-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可 【详解】若，则， 若，则， 若，则， 则为伙伴关系集合， 共7个 故选：B 【变式12-2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 【变式12-3】（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 【变式12-4】（多选）（24-25高一上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数、集合新定义 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 【清单01】集合与元素 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 【清单02】集合中元素的特征 （1）确定性 （2）互异性 （3）无序性 （4）广泛性 【清单03集合的表示法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 2.描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. 3.区间法：（1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 【清单04】集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，空集可以看成含0个元素，故空集是有限集. 【清单05】集合间的基本关系 1.子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2. ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【清单06】集合的基本运算 1.交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3）， 并集 或 （1） （2） （3）， 补集 （1） （2） 2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B． 【清单07】常用数集及其关系 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. 【考点题型一】集合的基本概念 【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【变式1-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（    ） A．空集 B．单元素集合 C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【变式1-4】（多选）（24-25高一上·重庆·开学考试）下列说法正确的有（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的解集是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【考点题型二】元素与集合 【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【变式2-1】（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③，④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，则1与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数 【例3】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式3-2】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【考点题型四】子集、真子集的个数问题 【例4】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合满足， 则符合条件的集合有 个. 【变式4-1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式4-3】（24-25高一上·天津·期中）已知，它的非空真子集的个数为 . 【变式4-4】（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 【考点题型五】包含关系的判断 【例5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（24-25高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【考点题型六】根据集合的包含关系求参数 【例6】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【变式6-1】（24-25高三上·山西长治·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【变式6-2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）（24-25高一上·河北保定·期中）设集合，，且，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【变式6-4】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【考点题型七】集合的相等 【例7】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 【变式7-3】（多选）（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列关于集合的说法不正确的有（    ） A． B．任何集合都是它自身的真子集 C．若（其中），则 D．集合与是同一个集合 【变式7-4】（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点题型八】根据集合相等求参数 【例8】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式8-1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式8-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知集合，，若，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 【变式8-4】（24-25高三上·河南·期中）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型九】集合的基本运算 【例9】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知全集，，，或求 (1) (2) (3) 【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】根据集合的运算求参数 【例10】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，. (1)若，求，. (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【变式10-1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知全集，集合，. (1)求和； (2)已知，写出集合的所有非空子集. 【变式10-3】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知集合． (1)求P，Q； (2)若，求m的取值范围． 【变式10-4】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【考点题型十一】集合的应用 【例11】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式11-2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【变式11-3】（24-25高一上·全国·课后作业）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式11-4】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 【考点题型十二】集合的“新定义”问题 【例12】（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 【变式12-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【变式12-2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【变式12-3】（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【变式12-4】（多选）（24-25高一上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$