专题06 平面向量和复数（知识梳理+14考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题06 平面向量和复数 目录 考情回顾 1 考情解读 2 知识梳理 3 考点精讲 8 考点一：平面向量的概念 8 考点二：平面向量的线性运算 11 考点三：根据向量的线性运算求参数 14 考点四：平面向量基本定理的应用 15 考点五：平面向量的坐标运算 18 考点六：利用向量共线求参数 20 考点七：平面向量数量积的基本运算 25 考点八：平面向量的夹角 28 考点九：平面向量的模 32 考点十：平面向量的垂直 34 考点十一：正余弦定理 36 考点十二：复数的概念 42 考点十三：复数的运算 44 考点十四：复数的几何意义 46 实战训练 48 考情回顾 考点 考频 考查内容 平面向量的线性运算 5年1考 平面向量的加、减、数乘运算 平面向量的基本定理的应用 5年2考 基底、基底的表示 平面向量的坐标运算 5年2考 向量的加、减、数乘运算的坐标表示 利用向量共线求参数 5年3考 向量共线 平面向量数量积的基本运算 5年2考 平面向量数量积 平面向量的夹角 5年1考 平面向量的夹角 平面向量的模 5年3考 平面向量的模 平面向量的垂直 5年2考 平面向量的垂直 正余弦定理 5年3考 正余弦定理的应用 复数 5年4考 复数的运算及几何意义 考情解读 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义,(3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义， (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义, 3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算, (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 6.正余弦定理及解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实阿问题 7.复数的概念 (1)通过方程的解，认识复数。 (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 8.复数的运算 掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 知识梳理 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法：向量或；模或. （2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示. 特别的：非零向量的单位向量是. （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2、向量的线性运算 （1）向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （2）向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. （3）向量的数乘 向量数乘的定义: 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 3、共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4、向量的夹角 已知两个非零向量和，如图所示，作，，则 ()叫做向量与的夹角，记作． (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作； 当时，两向量，共线但反向． 5、数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：. 6、平面向量的基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底： 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一； （3）用基底两种表示，即，则，进而求参数. 7、平面向量的坐标运算 （1）向量加减：若，则； （2）数乘向量：若，则； （3）任一向量：设，则. 8、平面向量共线的坐标表示 若，则的充要条件为 9、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量，为向量和的夹角： （1）数量积 （2）模： （3）夹角： （4）非零向量的充要条件： 10、正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 11、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 12、三角形常用面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 13、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 14、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 15、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 16、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 17、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 18、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 19、复数的四则运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （3）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （4）复数的除法法则 （） 考点精讲 考点一：平面向量的概念 【典型例题】 解题策略 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量. 例1．下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 例2．如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 例3．如图所示，在平行四边形中成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】在平行四边形中且，且， 所以，. 故选：D 【即时演练】 1．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相等向量的定义即可得答案. 【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心， 所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确； 与只是模相等的向量，故B错误； 与只是模相等的向量，故C错误； 与只是模相等的向量，故D错误. 故选：A. 2．下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 【答案】D 【解析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误； 当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误； 相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确； 向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的概念，是基础题. 考点二：平面向量的线性运算 【典型例题】 解题策略 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）在四边形ABCD中给出下列四个结论，其中定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，因为，而不一定相等，所以C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：D.    例2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形是菱形， 所以根据向量加法的平行四边形法则知，， ，故C对D错； 因为向量方向不同，所以，，故AB错误. 故选：C 例3．已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】, 故选：B. 【即时演练】 1．在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据向量的运算可得答案. 【详解】. 故选：A. 2．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 3．在中，已知为的中点，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 考点三：根据向量的线性运算求参数 【典型例题】 解题策略 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值． 例1．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】/0.625 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 例2．在中，是直线BD上一点，若，则实数的值为 . 【答案】/-0.4 【分析】根据向量的加法可得 ，结合三点共线，利用相关结论，即可求得答案. 【详解】. 又点三点共线，， 故答案为： 【即时演练】 1．在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 2．已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可. 【详解】，即， 因为点是直线上相异的三点，则点三点共线， 则，解得. 故选：A. 考点四：平面向量基本定理的应用 【典型例题】 解题策略 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 例1．（2022高三下·广东·学业考试）如图，ABC中，，，，用，表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形法则得，然后将即可得出答案. 【详解】, 故选：D. 例2．如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 例3．下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断. 【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线， A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误； B.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误； C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误； D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确. 故选：D 【即时演练】 1．如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量线性运算求解即可. 【详解】因为是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点， 所以. 故选：C. 2．（2024高三·广东·学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，则 故答案为： 3．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】， ， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 考点五：平面向量的坐标运算 【典例讲解】 解题策略 平面向量坐标运算的2个技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 例1．（2022高二上·广东·学业考试）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算即可. 【详解】, 故选:D. 例2．（2023高三·广东·学业考试）已知向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量加法的坐标运算计算． 【详解】由题意， 故选：B． 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知向量，则（　　） A．(4，3) B．(5，1) C．(5，3) D．(7，8) 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算即得. 【详解】∵， ∴． 故选：B. 例4．向量的相反向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反向量的定义写出的相反向量对应坐标即可. 【详解】由相反向量定义，的相反向量为. 故选：C 【即时演练】 1．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 2．若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据减法的坐标运算即可得解. 【详解】， 故选：C 3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算得到答案. 【详解】设线段中点为，则， 故线段中点为. 故选：B. 考点六：利用向量共线求参数 【典例讲解】 解题策略 利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤 (1)根据已知条件求出相关向量的坐标． (2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组． (3)根据方程或方程组求解得到参数的值． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得. 故选：A. 例2．（2022高三下·广东·学业考试）已知向量，，若，则实数= . 【答案】 【分析】由平面向量共线（平行）的坐标关系列式求解. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 例3．设向量，，若，则 . 【答案】 【分析】若与平行，则 【详解】由得，故. 故答案为： . 例4．已知向量，若与共线，则m = . 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】因为向量，且与共线， 所以， 解得：， 故答案为：. 例5．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案； （2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，，， ， ，， ，同理可得， 设BD的中点， 则，， . （2），， 三点共线，， ，解得. 【即时演练】 1．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D．或4 【答案】A 【分析】先根据坐标计算，再根据平行的坐标运算公式计算求参. 【详解】因为，所以， 又因为，所以,所以. 故选：A. 2．已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的基本定理可得出结论. 【详解】由，得， 对于A： ，故A项正确； 对于B：设，即，无解，故B项错误； 对于C：设，即，无解，故C项错误； 对于D：设，即，无解，故D项错误； 故选：A. 3．已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】直接根据向量以及平行的坐标运算求解即可. 【详解】， ， 又， ， 解得. 故选：B. 4．已知向量，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，得， 所以. 故选：A. 5．已知向量，，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据向量平行的坐标表示直接计算求解即可得解. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：3. 6．已知，则等于 . 【答案】 【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值. 【详解】， 由于，所以. 故答案为： 考点七：平面向量数量积的基本运算 【典例讲解】 解题策略 平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题． (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式直接进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A 例2．（2023高三·广东·学业考试）已知向量和的夹角为，，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故答案为：. 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知向量与的夹角为，且，，则的值为 ． 【答案】－6 【分析】由数量积的定义计算． 【详解】． 故答案为：． 例4．（2024高三·广东·学业考试）设为所在平面内一点，，，，则 . 【答案】 【分析】通过转化的方法求得. 【详解】∵=，∴， ∵，则， 因此， . 故答案为： 【即时演练】 1．如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以， 所以. 故选：C 2．已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用向量的数量积公式计算得到答案. 【详解】 因为，且向量与的夹角为，所以， 故选：C． 3．在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 4．已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：A. 5．如图，已知点，，点C是y轴上的动点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据数量积的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则， 所以. 故选：D 考点八：平面向量的夹角 【典例讲解】 解题策略 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cosθ＝，θ的取值范围为[0，π]． (2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝. (3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中． 例1．（2023高三·广东·学业考试）设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式将移到另一端,两边同时平方,由都是单位向量可求出,的夹角. 【详解】解析:由,可知,故,∴. 设,的夹角为,即,又,∴. 故选::A 例2．已知向量，则向量与（    ） A．互相平行 B．夹角为 C．夹角为 D．互相垂直 【答案】A 【分析】根据向量的夹角公式，求得，求得，即可求解. 【详解】由向量，可得， 则， 因为，所以，所以向量与平行. 故选：A. 例3．若向量，，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积，由向量夹角的坐标运算求解. 【详解】向量，， ， 设向量与的夹角为，则， 由，得. 故选：A. 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知向量满足，，，则与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量满足，，且，可得， 所以与的夹角的余弦值为. 故答案为： 例5．已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】直接利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】解：设与的夹角为，因为，，，所以， 所以与的夹角的余弦值为． 故答案为：. 【即时演练】 1．若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的夹角，通过代入条件计算即可. 【详解】设与的夹角， 因为 所以 解得， 所以， 故选：B. 2．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据垂直条件，得到数量积为0，结合及夹角公式求解即可. 【详解】因为, 所以， 即, 所以, 因为, 所以， 因为, 所以. 故答案为：. 3．已知向量、满足且，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】设向量与的夹角为，则，利用平面向量数量积的运算性质以及定义可得出的值，再结合的取值范围可得出的值. 【详解】设向量与的夹角为，则， 所以，，可得， 故. 故答案为：. 4．已知向量，，且与的夹角为，则 ． 【答案】/ 【分析】先求向量与的数量积及和的模，再利用向量夹角公式即得． 【详解】向量，， 所以，，， 则， 故答案为：． 考点九：平面向量的模 【典例讲解】 解题策略 求平面向量模的2种方法 (1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算． (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知向量满足 ，，则（ ） A． B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即得. 【详解】向量满足，， 所以. 故选：C 例2．（2021高三上·广东·学业考试）已知向量，，，则等于（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【分析】求出，对两边平方可得答案. 【详解】，， 因为，所以， 即，解得. 故选：C. 例3．若，，（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，进而可得模长. 【详解】因为，，则， 所以. 故选：B. 【即时演练】 1．已知向量的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量的夹角为，，则， 则，即，解得. 故选：A 2．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，，那么 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积的定义、性质及运算律分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，，，， ∴， 解得：， ∴， 又∵， ∴. 故答案为：． 考点十：平面向量的垂直 【典例讲解】 解题策略 (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据已知条件(如共线、夹角等)计算出这两个向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系求解相关参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】∵，∴，即，解得， 故选：D． 例2．已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案. 【详解】由已知向量， 可得， 由可得， 即，解得， 故选：D 例3．已知向量，满足，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直列出方程，结合向量的数量积运算性质求解. 【详解】∵，∴ ∵，∴ ∵，∴，即. 故选：C. 【即时演练】 1．（2022高二上·广东·学业考试）设向量，，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于， 所以. 故答案为： 2．已知向量，，若，则 ． 【答案】4 【分析】由向量数量积的垂直表示求解即可. 【详解】因为， 所以，得. 故答案为：. 3．已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 考点十一：正余弦定理 【典例讲解】 解题策略 正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系． 例1．（2021高二上·广东·学业考试）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求得正确答案. 【详解】由余弦定理得， 所以． 所以． 故选：D 例2．（2023高三·广东·学业考试）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】∵A＝60°，b＝2，c＝3， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－2×2×3×＝7， ∴a＝． 故选：A 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理计算即可得； （2）由正弦定理计算即可得. 【详解】（1），，，由余弦定理可得： ，即； （2），，，由正弦定理可得： ，故. 例4．（2023高三·广东·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合大边对大角定理可求得角的值； （2）求得，利用勾股定理可求得的值. 【详解】（1）解：由正弦定理可得，所以，， 因为，则，故. （2）解：由（1）可知，所以，. 例5．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3 （1）求△CBD的面积； （2）求边AC的长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解； （2）由正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则， ； （2）在中，由正弦定理得， 即，解得. 【即时演练】 1．在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 2．已知分别为△三个内角的对边，且，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，所以， 因为，又因为，所以，所以， 所以. 故答案为：. 3．的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 【答案】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】由，解得， 又， 所以 故答案为： 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】1 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】, 故答案为：1. 5．在中，分别为三个内角所对的边，且，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得方程，可解出，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】由余弦定理可得， 因为且，， 所以，解得， 因此的面积为 故答案为：. 6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 7．在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 8．在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 所以，又，则， 得到，所以. （2）由正弦定理知，又，所以，， 由，得到，整理得到， 所以，又， 所以， 得到，其中，， 则，解得， 所以边的取值范围为. 考点十二：复数的概念 【典例讲解】 解题策略 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z. 例1．复数（为虚数单位）的实部是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据复数的定义求解. 【详解】显然复数的实部是2. 故选：C. 例2．复数（为虚数单位）的模为（    ） A．3 B．5 C．4 D．7 【答案】B 【分析】根据复数的模的计算公式计算即可. 【详解】. 故选：B. 例3．已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数定义得，即可确定虚部. 【详解】由题设，故其虚部为3. 故选：C 例4．已知是实数，且，则x+y= 【答案】7 【分析】根据给定条件，利用复数相等求出即可得解. 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 【即时演练】 1．（2024高二上·广东·学业考试）若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 【答案】B 【分析】根据复数的概念求出答案. 【详解】的虚部为-5. 故选：B 2．（2023高三·广东·学业考试）已知复数，要让z为实数，则实数m为 . 【答案】2 【分析】由复数的定义求解. 【详解】为实数，则，． 故答案为：2. 3．复数， 其中为虚数单位，则=（      ） A．25 B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】求出，进而利用模长公式求出答案. 【详解】因为，所以，故. 故选：C 考点十三：复数的运算 【典例讲解】 解题策略 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化． 例1．复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 【答案】D 【分析】根据复数除法运算求得正确答案. 【详解】由于，所以. 故选：D 例2．已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 例3．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的模的运算得到的值，再由复数的除法运算求出. 【详解】，即， ， 故选：A 【即时演练】 1．（2023高二·广东·学业考试）设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的乘法及复数的概念即得. 【详解】因为，又其实部与虚部互为相反数， 所以，即． 故选：B. 2．已知是虚数单位，则等于（    ） A．13 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法即可. 【详解】. 故选：A. 3．（2023高三·广东·学业考试）已知i是虚数单位，则复数的虚部为 . 【答案】 【分析】 先把复数化简为，再根据虚部定义得出即可. 【详解】, 则复数的虚部为. 故答案为:. 考点十四：复数的几何意义 【典例讲解】 解题策略 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)＝(a，b)． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 例1．（2024高二上·广东·学业考试）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 根据复数的几何意义求出即可. 【详解】因为， 所以对应复平面内点的坐标， 所以位于第二象限， 故选：B 例2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 例3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义得解. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 【即时演练】 1．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义直接判断. 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A 2．复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义得到复平面内的点对应的复数. 【详解】复平面内的点对应的复数为. 故选：A 3．若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意得，，进而求得向量的坐标，最后根据复数的几何意义即可求解. 【详解】依题意得， 所以， 所以 故与向量对应的复数为 故选：B 实战训练 一、单选题 1．复数（i为虚数单位）的模是（    ） A．1 B．i C． D．2 【答案】C 【详解】由题可得. 故选：C 2．复数的虚部为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】的虚部为． 故选：C． 3．已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 4．已知关于x的方程有实根n，且，则复数z＝（    ） A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 【答案】B 【详解】由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0， 所以，解得， 所以z＝3－i. 故选：B 5．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 6．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，    则， 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 当在边上运动时，记， 则，所以，则； 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 综上：. 故选：A. 7．已知向量，，若，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得或， 所以的值为3或. 故选：C 8．两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点， 则， 则， 又因，所以. 故选：C. 9．已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 所以 又，，，, 所以， 故选：C． 10．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∴， ①当时，，为直角三角形． ∵，，∴； ②当时，则有，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得， 综上，或． 故选：C． 11．已知向量，，若，则锐角α为（    ） A．30° B．60° C．45° D．75° 【答案】A 【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±． 又α为锐角，所以α＝30°． 故选：A 12．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知， 即 由正弦定理化简得 即 故选：. 二、填空题 13．已知向量，，则 . 【答案】5 【详解】由，可得,所以, 故答案为：5 14．在矩形ABCD中，，，点M、N满足，，，则 . 【答案】14 【详解】, ,所以, 故答案为：14    15．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 . 【答案】且 【详解】由于与夹角为钝角，所以， 解得且. 所以的取值范围是且. 故答案为：且 三、解答题 16．已知的夹角为，当实数为何值时， (1)与共线； (2)与垂直． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，则，即， 不共线，，解得， 故当时，与共线． （2）若与垂直，则，即， 则 即， 所以，解得， 故当时，与垂直． 17．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1); (2) 【详解】（1）中，， 由正弦定理可得：， 即， 又，， ∴，求得. （2）由的面积为， 即， ∵，∴， 由，利用余弦定理，可得， 即，∴， 即的周长为. 18．记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求B的值； (2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以，由余弦定理可得， 又，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理可得： 所以， 所以△ABC的周长为． 19．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长. ①；②的面积为. 【答案】(1) (2)选条件①，选条件② 【详解】（1）由可得, 即， 由于,故，而，故； （2）选①，， ，所以 ， ， 故 ， 故的周长为. 选②的面积为， 则,则， ， 故 ， 故的周长为. 20．在锐角△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c已知． (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）在锐角中，因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得，因为，所以． （2）在锐角中，， 所以，解得， ， 因为，所以，所以． 即． 故的取值范围为. 21．已知向量，向量． （1）求和的夹角； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为向量，向量， 则，，， 则， 又由，则； （2）若，则， 解可得. 22．在△中，，． （1）若点M是线段BC的中点，，求边的值； （2）若，求△的面积． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设，则， ∴在△中，， ∴，整理得，解得（舍去）， ∴，即△为等边三角形，则. （2）由正弦定理知：，由已知得， ∵，即， ∴，而， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量和复数 目录 考情回顾 1 考情解读 2 知识梳理 3 考点精讲 8 考点一：平面向量的概念 8 考点二：平面向量的线性运算 10 考点三：根据向量的线性运算求参数 11 考点四：平面向量基本定理的应用 12 考点五：平面向量的坐标运算 13 考点六：利用向量共线求参数 14 考点七：平面向量数量积的基本运算 15 考点八：平面向量的夹角 17 考点九：平面向量的模 18 考点十：平面向量的垂直 19 考点十一：正余弦定理 20 考点十二：复数的概念 21 考点十三：复数的运算 22 考点十四：复数的几何意义 23 实战训练 24 考情回顾 考点 考频 考查内容 平面向量的线性运算 5年1考 平面向量的加、减、数乘运算 平面向量的基本定理的应用 5年2考 基底、基底的表示 平面向量的坐标运算 5年2考 向量的加、减、数乘运算的坐标表示 利用向量共线求参数 5年3考 向量共线 平面向量数量积的基本运算 5年2考 平面向量数量积 平面向量的夹角 5年1考 平面向量的夹角 平面向量的模 5年3考 平面向量的模 平面向量的垂直 5年2考 平面向量的垂直 正余弦定理 5年3考 正余弦定理的应用 复数 5年4考 复数的运算及几何意义 考情解读 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义,(3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义， (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义, 3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算, (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 6.正余弦定理及解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实阿问题 7.复数的概念 (1)通过方程的解，认识复数。 (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 8.复数的运算 掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 知识梳理 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法：向量或；模或. （2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示. 特别的：非零向量的单位向量是. （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2、向量的线性运算 （1）向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （2）向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. （3）向量的数乘 向量数乘的定义: 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 3、共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4、向量的夹角 已知两个非零向量和，如图所示，作，，则 ()叫做向量与的夹角，记作． (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作； 当时，两向量，共线但反向． 5、数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：. 6、平面向量的基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底： 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一； （3）用基底两种表示，即，则，进而求参数. 7、平面向量的坐标运算 （1）向量加减：若，则； （2）数乘向量：若，则； （3）任一向量：设，则. 8、平面向量共线的坐标表示 若，则的充要条件为 9、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量，为向量和的夹角： （1）数量积 （2）模： （3）夹角： （4）非零向量的充要条件： 10、正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 11、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 12、三角形常用面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 13、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 14、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 15、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 16、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 17、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 18、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 19、复数的四则运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （3）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （4）复数的除法法则 （） 考点精讲 考点一：平面向量的概念 【典型例题】 解题策略 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量. 例1．下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 例2．如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 例3．如图所示，在平行四边形中成立的是（    ）    A． B． C． D． 【即时演练】 1．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 考点二：平面向量的线性运算 【典型例题】 解题策略 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）在四边形ABCD中给出下列四个结论，其中定正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 例3．已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知为的中点，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 考点三：根据向量的线性运算求参数 【典型例题】 解题策略 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值． 例1．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 例2．在中，是直线BD上一点，若，则实数的值为 . 【即时演练】 1．在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 考点四：平面向量基本定理的应用 【典型例题】 解题策略 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 例1．（2022高三下·广东·学业考试）如图，ABC中，，，，用，表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 例3．下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【即时演练】 1．如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·广东·学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 3．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 考点五：平面向量的坐标运算 【典例讲解】 解题策略 平面向量坐标运算的2个技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 例1．（2022高二上·广东·学业考试）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高三·广东·学业考试）已知向量，则=（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知向量，则（　　） A．(4，3) B．(5，1) C．(5，3) D．(7，8) 例4．向量的相反向量是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 2．若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点六：利用向量共线求参数 【典例讲解】 解题策略 利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤 (1)根据已知条件求出相关向量的坐标． (2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组． (3)根据方程或方程组求解得到参数的值． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2022高三下·广东·学业考试）已知向量，，若，则实数= . 例3．设向量，，若，则 . 例4．已知向量，若与共线，则m = . 例5．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 【即时演练】 1．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D．或4 2．已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D．1 4．已知向量，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，且，则 ． 6．已知，则等于 . 考点七：平面向量数量积的基本运算 【典例讲解】 解题策略 平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题． (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高三·广东·学业考试）已知向量和的夹角为，，，则 . 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知向量与的夹角为，且，，则的值为 ． 例4．（2024高三·广东·学业考试）设为所在平面内一点，，，，则 . 【即时演练】 1．如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 2．已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 4．已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 5．如图，已知点，，点C是y轴上的动点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点八：平面向量的夹角 【典例讲解】 解题策略 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cosθ＝，θ的取值范围为[0，π]． (2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝. (3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中． 例1．（2023高三·广东·学业考试）设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（    ） A． B． C． D． 例2．已知向量，则向量与（    ） A．互相平行 B．夹角为 C．夹角为 D．互相垂直 例3．若向量，，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知向量满足，，，则与的夹角的余弦值为 . 例5．已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为 . 【即时演练】 1．若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 . 3．已知向量、满足且，则向量与的夹角为 . 4．已知向量，，且与的夹角为，则 ． 考点九：平面向量的模 【典例讲解】 解题策略 求平面向量模的2种方法 (1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算． (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知向量满足 ，，则（ ） A． B．6 C． D．5 例2．（2021高三上·广东·学业考试）已知向量，，，则等于（    ） A． B． C．5 D．25 例3．若，，（    ） A．10 B． C． D． 【即时演练】 1．已知向量的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，，那么 ． 考点十：平面向量的垂直 【典例讲解】 解题策略 (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据已知条件(如共线、夹角等)计算出这两个向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系求解相关参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 例2．已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 例3．已知向量，满足，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2022高二上·广东·学业考试）设向量，，若，则 ． 2．已知向量，，若，则 ． 3．已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 考点十一：正余弦定理 【典例讲解】 解题策略 正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系． 例1．（2021高二上·广东·学业考试）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 例2．（2023高三·广东·学业考试）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝（　　） A． B． C．4 D． 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 例4．（2023高三·广东·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 例5．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3 （1）求△CBD的面积； （2）求边AC的长. 【即时演练】 1．在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知分别为△三个内角的对边，且，则 ． 3．的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 5．在中，分别为三个内角所对的边，且，，，则的面积为 ． 6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 7．在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 8．在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 考点十二：复数的概念 【典例讲解】 解题策略 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z. 例1．复数（为虚数单位）的实部是（    ） A．1 B． C．2 D． 例2．复数（为虚数单位）的模为（    ） A．3 B．5 C．4 D．7 例3．已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（    ） A．2 B． C．3 D． 例4．已知是实数，且，则x+y= 【即时演练】 1．（2024高二上·广东·学业考试）若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 2．（2023高三·广东·学业考试）已知复数，要让z为实数，则实数m为 . 3．复数， 其中为虚数单位，则=（      ） A．25 B．3 C．5 D． 考点十三：复数的运算 【典例讲解】 解题策略 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化． 例1．复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 例2．已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 例3．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2023高二·广东·学业考试）设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知是虚数单位，则等于（    ） A．13 B．5 C． D． 3．（2023高三·广东·学业考试）已知i是虚数单位，则复数的虚部为 . 考点十四：复数的几何意义 【典例讲解】 解题策略 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)＝(a，b)． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 例1．（2024高二上·广东·学业考试）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即时演练】 1．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 3．若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 实战训练 一、单选题 1．复数（i为虚数单位）的模是（    ） A．1 B．i C． D．2 2．复数的虚部为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 4．已知关于x的方程有实根n，且，则复数z＝（    ） A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 5．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D．5 8．两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 11．已知向量，，若，则锐角α为（    ） A．30° B．60° C．45° D．75° 12．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知向量，，则 . 14．在矩形ABCD中，，，点M、N满足，，，则 . 15．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 . 三、解答题 16．已知的夹角为，当实数为何值时， (1)与共线； (2)与垂直． 17．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 18．记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求B的值； (2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长． 19．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长. ①；②的面积为. 20．在锐角△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c已知． (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 21．已知向量，向量． （1）求和的夹角； （2）若，求实数的值． 22．在△中，，． （1）若点M是线段BC的中点，，求边的值； （2）若，求△的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$