专题01 集合（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题1 集合 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设实数满足：集合与的交集为，则的值为_____． 2．（2022·全国联赛A卷）集合的所有元素之和为_____． 3．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合(为虚数单位)．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 4．（2022·全国联赛A2卷）已知集合的四个500元子集，满足：对任意，均存在某个，使得．求正整数的最大可能值． 各省预赛试题汇编 5．（2022·吉林预赛）已知集合，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2024·江苏预赛）集合为连续个正整数构成的集合，若中所有元素的和恰为2024，且为偶数，则集合中最小的元素为_____． 7．（2024·四川预赛）记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为 ．（用具体数字作答） 8．（2024·北京预赛）设整数集合 ，若中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 ，则集合 ． 9．（2024·北京预赛）已知，且中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则的最大值为 ． 10．（2024·江西预赛）设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 11．（2024·吉林预赛）设集合．若的子集满足：若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为_____． 12．（2024·浙江预赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 13．（2024·广西预赛）设，，，均是正整数，且．则 ． 14．（2024·内蒙古预赛）集合的全部非空子集的元素和等于 ． 15．（2023·北京预赛）是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是_____．(这里表示的元素个数) 16．（2023·广西预赛）设，则集合的元素的个数_____． 17．（2023·福建预赛）设整数是整数集，满足，且中任意两个元素的差的绝对值是素数．则这样的集合共有_____个． 18．（2023·贵州预赛）设集合，则集合的子集的个数是_____． 19．（2023·吉林预赛）已知集合．若集合的子集个数为4，则实数的取值范围是_____． 20．（2023·山东预赛）已知，则集合的元素个数是_____． 21．（2023·四川预赛）设集合，且，则集合中元素的个数为_____． 22．（2023·苏州预赛）集合的非空子集中，元素和是10的倍数的子集称为好子集，则的好子集共有_____个． 23．（2023·新疆预赛）设是任意一个7元实数集合，令集合且，记集合中的元素个数为，则_____． 24．（2023·浙江预赛）已知集合，若，则实数_____． 25．（2023·重庆预赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为，则_____． 26．（2022·广西预赛）设是集合的两个子集，，且时．记为的元素之和，则的最大值是_____． 27．（2022·新疆预赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为，则_____． 28．（2022·福建预赛）已知是集合的个非空子集，如果对于任意的，均有，则的最大值为_____． 29．（2022·甘肃预赛）已知集合，若，且中恰有一个整数，则的取值范围是_____． 30．（2024·广东预赛）设有限集为有限集，对任意， 定义．证明以下结论： (1)存在，使得； (2)．其中表示集合中的元素个数，． 31．（2024·吉林预赛）全体正有理数的集合被分拆为三个集合(即，且，满足，这里 (1)给出一个满足要求的例子(即给出)； (2)给出一个满足要求的例子，且中的任意两个相邻正整数均不同时在中． 32．（2024·浙江预赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 33．（2024·广西预赛）设A为数集的元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求的最大值． 34．（2024·内蒙古预赛）设是一个给定的正整数，集合，求最大的正数，使得对任意正整数，，都存在集合的子集，满足集合至少有个元素，且集合的任两个元素，均有，． 35．（2023·吉林预赛）设为给定的正整数，．对于集合中的任意元素和，满足： ①若，则为奇数；②若，则为偶数． (1)当时，求集合中元素个数的最大值； (2)当时，求集合中元素个数的最大值． 36．（2023·上海预赛）设集合，对的子集，令它对应一个数(空集对应的数)．对的所有子集，求它们对应的数的总和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题1 集合 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设实数满足：集合与的交集为，则的值为_____． 【答案】7 【详解】由于，故是一个包含且以为中点的闭区间，而是至多有一个端点的区间，所以必有，故． 进一步可知只能为，故且，得． 于是． 2．（2022·全国联赛A卷）集合的所有元素之和为_____． 【答案】57 【详解】当为整数时，． 因此．所求的和为． 3．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合(为虚数单位)．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 【答案】 【详解】当时，的值分别为，故．由于的所有元素之和为，即，故． 所以的所有元素之积为． 4．（2022·全国联赛A2卷）已知集合的四个500元子集，满足：对任意，均存在某个，使得．求正整数的最大可能值． 【答案】所求最大的． 【详解】一方面，当时，令 则，且． 考虑．对任意，若其中有一个属于，则同时属于中的某个集合；若均不属于，则同时属于．在中任意添加中一个元素，使其成为500元集合，这便得到的四个500元子集满足要求． 另一方面，若，则不存在满足要求的四个500元子集． 用反证法，假设存在满足要求的四个500元子集，易知的每个元素至少属于其中两个子集，设有个元素恰属于其中两个子集，则 故．记这个元素构成的集合为，则．将中的元素按所属的情况分为6类，对，记是中恰属于的元素的集合． 易知与必有一个是空集，不妨设．同样地，与必有一个是空集，不妨设．同理，与必有一个是空集． 若，则，从而，这样，矛盾． 若，则，从而中的每个元素至少属于中的两个集合，这样，矛盾． 各省预赛试题汇编 5．（2022·吉林预赛）已知集合，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时满足题意，当时不满足题意，所以选． 6．（2024·江苏预赛）集合为连续个正整数构成的集合，若中所有元素的和恰为2024，且为偶数，则集合中最小的元素为_____． 【答案】119 【详解】设， 注意到为偶数，则为奇数，且， 显然，所以集合中最小的元素为119． 7．（2024·四川预赛）记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为 ．（用具体数字作答） 【答案】 【详解】不妨设，对，如果，就在这两个数之间画一条红线；如果，就在这两个数之间画一条蓝线． 显然，一个数不能同时引出两条线． ①如果总共有两条线，线在不考虑颜色的情况下的组合方式有3种，每种线都对应如下问题：在中取三个数，任意两个数之差大于6（如果两线均为红，；如果一红一蓝，；如果都是蓝，） 这又等价于在中任取三个数，有种 所以此时有种； ②如果总共有一条线，线在不考虑颜色的情况下有4种可能，每种线都对应如下问题：在中取四个数，任意两个数之差大于6（如果是红线，；如果是蓝线，） 这又等价于在中任取四个数，有种取法 所以此时有种 ③如果没有线，那么就是在中取五个数，任意两个数之差大于6，这不可能． 所以总共有种． 8．（2024·北京预赛）设整数集合 ，若中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 ，则集合 ． 【答案】 【详解】中所有三元子集共有个， 中的每个元素在这些三元子集中均出现了次， 故， ，因为集合中的元素有个负数个正数， 故集合中的元素有个负数个正数，所以， 不妨设， 三个元素之积绝对值最大时，，， 又为整数集合，所以，或者，； 三个元素之积绝对值最小时，，又，所以，， 因为集合中的元素有个负数个正数，故、均为正整数，所以，， 故． 9．（2024·北京预赛）已知，且中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则的最大值为 ． 【答案】1212 【详解】因为，取， 即可满足中任何两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9． 下面证明以上满足题设条件． 若或9，，并且， （1）当时，有，而， 因此； （2）当时，为使或9，应使得或9， 进而使得或，但，故满足不了， 因此； （3）当时，为使或9，应使得或9， 进而使得或，但，故满足不了， 因此； 综上所述，，这里，并且． 故中任何两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，此时． 另一方面，在模13下考虑，将排成一个首尾相连的圆圈（这里1和10首尾相连）， 任意两个相邻的数的差的绝对值均为4或9， 那么从中任取7个数，其中必定会有两个数的差的绝对值均为4或9． 因此在中，不可能同时有7个数作为余数入选， 则． 所以的最大值为1212． 10．（2024·江西预赛）设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 【答案】68 【详解】设，则或4， 于是或．由于， 当时，，此时(a，b)共有62个； 当时，，此时(a，b)共有6个， 所以集合的元素个数为68． 11．（2024·吉林预赛）设集合．若的子集满足：若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为_____． 【答案】 【详解】集合非空子集的个数为， 具有性质的的事件含有的基本事件为：，共7个， 所以所取出的非空子集具有性质的概率为． 12．（2024·浙江预赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，要使， 则，则，所以． 13．（2024·广西预赛）设，，，均是正整数，且．则 ． 【答案】14 【详解】不妨设，则． 由及， 可知，，于是， 从而，． 因此，故，，，． 因此． 14．（2024·内蒙古预赛）集合的全部非空子集的元素和等于 ． 【答案】272 【详解】集合的子集有以下情形； 含有元素1的子集有个； 含有元素2的子集有个； 含有元素3的子集有个； 含有元素5的子集有个； 含有元素6的子集有个， 所有子集的元素的和为． 15．（2023·北京预赛）是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是_____．(这里表示的元素个数) 【答案】1350 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，． 则除3的倍数外，任何两个数的平方和不是9的倍数，于是中至多有一个为3的倍数，即 16．（2023·广西预赛）设，则集合的元素的个数_____． 【答案】1 【详解】取，有所以． 17．（2023·福建预赛）设整数是整数集，满足，且中任意两个元素的差的绝对值是素数．则这样的集合共有_____个． 【答案】4 【详解】对于任意三个两两不同的奇数(或偶数)，最大的减去最小的必定是不小于4的偶数，矛盾．则集合中奇数最多两个，偶数也最多两个，故． 由于，则只有如下两种情况： 或，其中为正整数． (1)当时，注意到是三个连续的奇数，于是它们中恰有一个数是3的倍数，即中恰有一个数是3． 或，则或 ，经检验满足题意； 或，则或 ，经检验均不满足题意； 或，则或 ，经检验满足题意； (2)当时，同理中恰有一个数是3． 或，则或 ，经检验满足题意； 或，则或 ，经检验均不满足题意； 或，则或 ，经检验满足题意． 综上，满足条件的集合共有4个． 18．（2023·贵州预赛）设集合，则集合的子集的个数是_____． 【答案】4 【详解】由于圆心(0，0)到直线的距离，则． 所以集合的子集的个数是4． 19．（2023·吉林预赛）已知集合．若集合的子集个数为4，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】，而的对称轴为，则有． 于是． 所以实数的取值范围是． 20．（2023·山东预赛）已知，则集合的元素个数是_____． 【答案】7 【详解】 又，所以集合的元素个数是7． 21．（2023·四川预赛）设集合，且，则集合中元素的个数为_____． 【答案】552 【详解】 若． 当时，或，易知(b，c)共有对； 同理可知时，(b，c)也共有45对； 若， ． 当时，时无解；时； 又； ，易知(b，c)共有22对； 同理可知(a，d)为其它情况时，(b，c)均共有22对． 所以集合中元素的个数为． 22．（2023·苏州预赛）集合的非空子集中，元素和是10的倍数的子集称为好子集，则的好子集共有_____个． 【答案】103 【详解】和为10的子集有共10个； 和为20的子集有，共10个； 以及和为10的子集两个组合共个； 和为30时，前面和为20且不含10的子集中添加10后的子集有22个； 和为30的子集有共1个； 和为10与20的子集两个组合(不含元素10)共14个； 和为10的子集三个组合(不含元素10)共2个； 和为15的子集有 共20个，则和为40的子集共20个． 和为50的子集有共3个． 综上，的好子集共有103个． 23．（2023·新疆预赛）设是任意一个7元实数集合，令集合且，记集合中的元素个数为，则_____． 【答案】30 【详解】显然为的最大值，取，满足题意； 若最小，则；此时，必有， 从而集合． 于是． 所以． 24．（2023·浙江预赛）已知集合，若，则实数_____． 【答案】1 【详解】 25．（2023·重庆预赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为，则_____． 【答案】 【详解】由于，等号成立时，则； 又，等号成立时，则．所以． 26．（2022·广西预赛）设是集合的两个子集，，且时．记为的元素之和，则的最大值是_____． 【答案】39 【详解】，即只能在数组， 中进行选取，于是取满足题意． 所以的最大值是39． 27．（2022·新疆预赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为，则_____． 【答案】 【详解】固定，考虑函数单调递增，则． 于是． 所以． 28．（2022·福建预赛）已知是集合的个非空子集，如果对于任意的，均有，则的最大值为_____． 【答案】511 【详解】设为满足题意的的最大值．由于集合的非空子集有个，将每一个子集与它的补集分为一组，共可得到512组，其中为单独一组．显然不能取，则最多可取出511个非空子集，于是． 另一方面，集合的全部511个非空子集显然满足题意，于是． 综上，的最大值为511． 29．（2022·甘肃预赛）已知集合，若，且中恰有一个整数，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】，由于，显然 ，于是． 所以的取值范围是． 30．（2024·广东预赛）设有限集为有限集，对任意， 定义．证明以下结论： (1)存在，使得； (2)．其中表示集合中的元素个数，． 【答案】证明见解析 【详解】(1)， 则由抽屉原理知，存在，使得． (2)由柯西不等式得 所以． 31．（2024·吉林预赛）全体正有理数的集合被分拆为三个集合(即，且，满足，这里 (1)给出一个满足要求的例子(即给出)； (2)给出一个满足要求的例子，且中的任意两个相邻正整数均不同时在中． 【答案】见解析 【详解】（1）对任意一个有理数，对其作质因数分解， 其中为互不相同的质数，为整数(可为负整数)， 令， 易知，满足要求； （2）对任意一个有理数，对其作质因数分解， 其中为互不相同的质数，且不等于5，不等于为整数(可为负整数)． 令． 可以试验出，， ， ， 所以，上述满足要求． 32．（2024·浙江预赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 【答案】 【详解】一方面，对，假设包含的不超过两个． 由于每个至多包含个包含的二元子集，所以至多有个包含的二元子集包含于某个，但包含的二元子集有个，说明存在一个包含的二元子集不包含于任何，这与已知矛盾． 所以至少存在三个包含，这就意味着全体的元素个数之和至少是． 而每个的元素个数都是，所以，得． 这就得到了． 另一方面，设，，，，． 则两两交集为空，且全体并集就是． 然后令，，，，，． 此时可以验证，对，由于必然都落在之一，故分情况验证即知一定存在一个集合同时包含，此时． 综上，的最小值为． 33．（2024·广西预赛）设A为数集的元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求的最大值． 【答案】506 【详解】由A中的任意两个数不互素可知存在素数P，A中的每个数均被P整除， 故在数集的元子集中使得任意两个数不互素的最大的子集是偶数子集． 共有1012个元素，而其中有的元素满足整除关系，注意到1012的2倍是2024． 于是，集合中，任意两个数既不互素又不存在整除关系， 此时A中有506个元素．若从中任取一数，则它与A中的某个数存在整除关系． 因此，506是的最大值． 34．（2024·内蒙古预赛）设是一个给定的正整数，集合，求最大的正数，使得对任意正整数，，都存在集合的子集，满足集合至少有个元素，且集合的任两个元素，均有，． 【答案】1 【详解】可以把看成在第行，第列的一个点， 设， 则表示点与点之间距离的平方， 显然越小，满足的点越多， 即对于，越小，满足的点越少， 由题意可知，当，时， 第一行可以取点为， 第二行的点均不可取， 第三行的点可以取， 所以满足的点为， 则，所以．所以． 35．（2023·吉林预赛）设为给定的正整数，．对于集合中的任意元素和，满足： ①若，则为奇数；②若，则为偶数． (1)当时，求集合中元素个数的最大值； (2)当时，求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)5； (2)． 【详解】(1)显然中的每个元素含奇数个1． 由于中含奇数个1的元素共有个，将它们分为如下5组： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：． 每组中至多有一个在中，于是；构造， 满足题意．所以集合中元素个数的最大值为5． (2)一方面，当时满足题意，此时含个元素； 另一方面，用反证法．对于中的任意元素 和，记． 假设中含有个元素，记．对于任意一整数组， 其中． 考虑向量，中．由于左边的数组共有个，而右边的向量至多有个，且 ，则必存在不同的和使得 记，则不全为0且 由已知得对任意的有， 于是 这与不全为0矛盾．故假设不成立． 综上，集合中元素个数的最大值为． 36．（2023·上海预赛）设集合，对的子集，令它对应一个数(空集对应的数)．对的所有子集，求它们对应的数的总和． 【答案】 【详解】对于集合，奇子集(子集内所有元素之和为奇数)的个数与偶子集(子集内所有元素之和为偶数，空集的元素之和为0)的个数相等． 考虑所有不含元素1的集合的子集，显然也是的子集，不同的对应的也不同，且这样的子集有个． 由于与中恰有一个是奇子集，另一个为偶子集，于是的奇子集的个数与偶子集的个数相等． 注意到奇子集对应的，偶子集对应的，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$