专题20 初等数论（下）（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题20 初等数论（下） 一、填空题 1．（2025·福建预赛）对正整数，记为的各位数码之和，如．则满足的所有正整数的和是_____． 2．（2025·贵州预赛）对正整数，用表示的各位数码之和，用表示小于且与互质的正整数个数．若为三位数，且满足，则的最大值为_____． 3．（2025·江苏预赛）设表示正整数的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1，2，3，6，则．设，其中表示取遍的所有正因数求和．例如 则的值为_____． 4．（2024·北京预赛）数列定义如下：设写成既约分数后的分母为等于的最大质因数，则的最大值等于 ． 5．（2023·北京预赛）使得为完全平方数的正整数的最小值是_____． 6．（2023·北京预赛）已知为正整数，，且互质．若关于的不等式有且仅有2023组正整数解，则_____．(求出满足题意的所有可能数组) 7．（2022·北京预赛）有_____个不超过2020的正整数，满足对任意正整数，均有 二、解答题 8．（2025·北京预赛）已知互不相等的正整数和互不相等的正整数，满足，求的所有可能整数值． 9．（2024·北京预赛）设为个两两不同的正整数且恰有4048个质因数．如果中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求的最大值． 10．（2024·福建预赛）设正整数是合数，是的全部正因数，且．对于，若不能整除，则称是的一个“好因数”，若的好因数个数小于的不同素因子的个数，则称为“好数”． (1)问：16，2024是否为好数? (2)求出所有的好数． 11．（2023·广西预赛）设．其中，中有无限多项不为0，则称为一个十进制无限小数． 设为一个十进制无限小数，若存在自然数，使得对任意的自然数均成立，则称为一个循环小数；否则，称为一个不循环小数．例如，和是循环小数，是一个不循环小数． 已知中的每一个数均与一个十进制无限小数一一对应． (1)求证：若，则存在循环小数．即循环小数在(0,1)中稠密； (2)求证：中所有的数不能排列成一个数列．即是一个不可数集； (3)用分数表示循环小数． 12．（2023·江西预赛）如果直角三角形的三边是两两互素的正整数，则称这种直角三角形为本原直角三角形． (1)求本原直角三角形中面积恰好等于周长倍的本原直角三角形的个数，并记为； (2)求，并列出所有面积恰好等于周长2023倍的本原直角三角形． 13．（2023·上海预赛）设为大于3的正整数，求的最小值，使得存在两个正整数，满足：都恰有个正约数，且若将的正约数从小到大排列为(其中，将的正约数从小到大排列为(其中)，则存在一个整数，使得 一、解答题 1．（2025·全国联赛B卷）求具有下述性质的所有正整数：存在的一个倍数，其在十进制表示下含有中每一个数码，并且对任意，可以删去的十进制表示中的一个数码，使所得的数仍是的倍数． 2．（2024·全国联赛B卷）给定素数．求同时满足下面两个条件的三元有序数组的数目： (1)； (2)三个数除以所得的余数相同． 3．（2023·全国联赛B卷）设正整数同时满足： (1)； (2)是2023的倍数； (3)是2023的倍数． 证明：是2023的倍数． 4．（2022·全国联赛B卷）设正整数都恰有个正约数，其中是的所有正约数的一个排列．问是否可能恰好是的所有正约数的一个排列？证明你的结论． 5．（2022·全国联赛B1卷）对每个正整数，将形如为正整数)的整数称为“有趣数”． (1)判断2022是否为2-有趣数，说明理由； (2)求所有正整数，使得存在两个有趣数互为相反数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 初等数论（下） 一、填空题 1．（2025·福建预赛）对正整数，记为的各位数码之和，如．则满足的所有正整数的和是_____． 【答案】4014 【详解】因为， 所以，于是． 因此，即． 对逐一代入验证可知，符合要求． 所以符合条件的正整数的和为． 2．（2025·贵州预赛）对正整数，用表示的各位数码之和，用表示小于且与互质的正整数个数．若为三位数，且满足，则的最大值为_____． 【答案】128 【详解】设三位数，其中，．则．但，故．从而，． 当时，，；当时，；当时，；当时，．故的最大值为． 3．（2025·江苏预赛）设表示正整数的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1，2，3，6，则．设，其中表示取遍的所有正因数求和．例如 则的值为_____． 【答案】36． 【详解】使用唯一分解定理及正因数个数公式．的每个正因数都可以写成的形式，其中，故 4．（2024·北京预赛）数列定义如下：设写成既约分数后的分母为等于的最大质因数，则的最大值等于 ． 【答案】4027 【详解】由勒让德公式可知：， 设，，因为， 所以，从而， 又因为，且，所以， 又因为，所以，故， 由于，，，，，，，， 故，取，有，知． 5．（2023·北京预赛）使得为完全平方数的正整数的最小值是_____． 【答案】 【详解】设 设，由可知，取最小值当且仅当最小． 的正因子从小到大依次为 ， 所以 经检验， 6．（2023·北京预赛）已知为正整数，，且互质．若关于的不等式有且仅有2023组正整数解，则_____．(求出满足题意的所有可能数组) 【答案】 【详解】，如图所示． 可知线段，上没有整点， 则不等式的正整数解有组． 依题意， 于是， 经检验，时不合题意． 所以． 7．（2022·北京预赛）有_____个不超过2020的正整数，满足对任意正整数，均有 【答案】7 【详解】考虑一般命题：设为素数，求所有的正整数，满足条件： 对任意的正整数，均有． 引理：记表示的进制表示的所有数码和，则； ．设的进制表示为， 其中且． 于是； 而对， 所以． 由勒让德公式，，则 ①如果，其中，那么对任意的正整数，均有， 从而符合题意； ②如果不是的幂，只需证：存在正整数，使得． 不妨设，其中．则， 于是只需证：存在正整数，使得． 由于，则存在正整数，使得． 理由如下：考虑个数，，利用抽屉原理，存在，使得，取满足条件． 构造正整数，其中正整数待定． 取设 于是． 另一方面， 注意到，不妨设，其中， 代入，有 从而，取即满足题意． 综上，当且仅当时满足题意，本题结果为共7个． 二、解答题 8．（2025·北京预赛）已知互不相等的正整数和互不相等的正整数，满足，求的所有可能整数值． 【详解】答案是至少包含两个不同质因子的全体正整数． 引理1：对两两互质的正整数，必有． 引理1的证明：若不然，设这个最大公约数有质因子，由，不妨设，从而，但显然，故，不妨设，矛盾于． 引理2：对任意正整数，存在两两互质且互不相等的正整数使得． 引理2的证明：当时，取．当时，取．当时，取．当2）时，取． 回到原题．因，故是的约数．因，故是的约数．因此，同理，得出． 记，则由知，同理，即两两互质且互不相等．于是，同理．记，其中为正整数，由得，即，同理，即两两互质且互不相等．此时 反过来，给定两两互质且互不相等的正整数，两两互质且互不相等的正整数，取是的正公倍数，则确实符合题目所有要求，且上式成立． 往证上式右边能取到的整数值是至少包含两个不同质因子的正整数．事实上，由引理1，，故，故上式右边是的倍数，结合互不相同且两两互质，知上式右边至少包含两个不同质因子．反过来，对任意一个至少包含两个不同质因子的正整数，可以取互质且，此时两两互质，且11，由引理2知存在两两互质且互不相等的正整数使，于是上式右边的值为． 9．（2024·北京预赛）设为个两两不同的正整数且恰有4048个质因数．如果 中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求的最大值． 【详解】法一：设的4048个互不相同的质因数为， 设， 记一组4048维向量． 中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方等价于存在不全为零的一组数， 使得的每个分量在模4049的意义下)， 求的最大值等价于求能从最多多少个4048维向量中选出若干个向量的和不为0． 下证： 若不然，设前个向量为 其中，有(的每个分量在模4049的意义下)， 易知4049为质数，由费马小定理可知 ， 从而① 对每一组不全为0的成立． 将①式左边看成关于的多项式二项式展开， 由于1的任何次幂都是1，0的任何次幂都是项可看成， ①式左边常数项为，从而存在某个非常数项不为0． 考虑最高次项，不妨设为，由于(1)式左边次数最高为，所以， 取，此时这组不全为0，那么无论如何取值①式均同余于0，这与组合零点定理矛盾． 故的最大值为， 构造：对，取，其中第个分量为1． 每个向量有4048个．(注：由于在模4049的意义下，故向量可以相同)． 法二：设是一个质数． 先给出的构造：取， 并取为．该构造明显是符合要求的， 因为若取出了某个中的个元素，那么乘积的含量模余，必然不是的倍数． 下说明时总存在中若干个（至少一个）相乘为整数的次方． 设为，其中．当， 考虑，当不全为时， 它表示中若干个(至少一个)数的乘积． 考虑到， 因此，结合费马小定理，为整数的次方， 当且仅当都有， 即． 考虑：． 易见上式可表示为， 其中是一些关于的次数小于0的单项式之和． 注意到这之中每个单项式W里都存在一个的系数是， 因此． 进而． 因此，结合时对应的求和项模不余0， 因此也存在另一种不全为0的取值使其对应的求和项模不余0． 这样，由前述分析，，代表着中若干个不同数之积， 为整数的次方，进而结论成立． 综上所述，的最大值为． 10．（2024·福建预赛）设正整数是合数，是的全部正因数，且．对于，若不能整除，则称是的一个“好因数”，若的好因数个数小于的不同素因子的个数，则称为“好数”． (1)问：16，2024是否为好数? (2)求出所有的好数． 【详解】(1)的全部5个正因数为1，2，4，8，16，好因数的个数为0，不同素因子的个数为1，即16是好数； 的全部16个正因数为1，2，4，8，11，22，23，44，46，88，92，184，253，506，1012，2024，易知好因数有8，22，23，44，46，88，184，好因数的个数为7，不同素因子的个数为3，即2024不是好数． (2)①若为素数，且)，即只有一个素因子，而没有好因数，因此是好数； ②若好数恰有两个不同的素因子，且，则存在一个最大的正整数，满足． 将的正因数从小到大排列，则为排列中连续的三项，从而为好因数，又为好数，即为的唯一好因数．于是不是好因数，后面的因数能被整除，因此是的正因数从小到大的排列中的连续三项，则也为的正因数从小到大的排列中的连续三项． 注意到，由上面分析可知不能整除，此时不是整数，则是好数，于是(唯一好因数)．因此好数． ③若好数至少有3个不同的素因子，设是它的所有素因子，则存在一个最大的正整数，满足． 仿②知，是一个好因数，类似地，在的正因数从小到大的排列中，排在前面的因数也是好因数，于是至少有个好因数．由于是好数，则除了这个好因数之外，没有其它的好因数，且的每个好因数的后项都是的下一个素因子． 在的正因数从小到大的排列中，若排在与之间的因数中有素数，设是排在与之间的最大素数，的后项是合数．由素数的最大性可知，的前项不能被整除，同时，从而的后项比小，则的后项也不能被整除，于是是的一个好因数． 由前面讨论可知，是某个素因子的前项，即的后项为素数，这与的后项是合数矛盾．于是在的正因数从小到大的排列中，与之间没有素数，因此与是相邻的两项． 又整数，满足，仿②，是的正因数从小到大的排列中的连续三项，不能整除．则是的正因数从小到大的排列中的连续三项，且不是整数，即是的一个好因数．于是的后项是的素因子，从而存在某个，使得，这样只有2个素因子，与至少有3个素因子矛盾． 综上，所有的好数(其中为素数，)或(其中为素数，为正整数，)． 11．（2023·广西预赛）设．其中，中有无限多项不为0，则称为一个十进制无限小数． 设为一个十进制无限小数，若存在自然数，使得对任意的自然数均成立，则称为一个循环小数；否则，称为一个不循环小数．例如，和是循环小数，是一个不循环小数． 已知中的每一个数均与一个十进制无限小数一一对应． (1)求证：若，则存在循环小数．即循环小数在(0,1)中稠密； (2)求证：中所有的数不能排列成一个数列．即是一个不可数集； (3)用分数表示循环小数． 【详解】(1)设，记，由知存在正整数． 如果存在，令， 于是为循环小数且； 如果所有，则必存在，令，于是为循环小数且． 所以循环小数在(0,1)中稠密． (2)假设中所有的数可以排列成一个数列． 记，下面利用数列构造数，其中(如若时，取；若时，取)．显然与的第位数字不同，从而与数列中的任一数都不相同，矛盾．所以是一个不可数集． (3) 12．（2023·江西预赛）如果直角三角形的三边是两两互素的正整数，则称这种直角三角形为本原直角三角形． (1)求本原直角三角形中面积恰好等于周长倍的本原直角三角形的个数，并记为； (2)求，并列出所有面积恰好等于周长2023倍的本原直角三角形． 【详解】(1)设本原直角三角形三边长分别为，则一奇一偶，不妨设． 引理：不定方程满足的全部正整数解可表示为，其中一奇一偶，且的任意整数． 证明：，注意到奇偶性相同，且， 则均为奇数．于是，由 ，同理可得． 令从而，其中一奇一偶，． 由条件应有， 且一奇一偶为奇数，则为偶数． 当时，， 则存在唯一，于是； 当时，， 则存在唯一，于是． 设，其中为的大于1的奇素因子．由于一奇一偶，则为奇数，为偶数．又，于是．设，则或有且只有一种情况出现，于是与的取值情况有且只有种． 所以(是的大于1的奇素因子的个数)． (2)．由， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则． 注意到，即2023的大于1的奇素因子最多有4个，所以． 13．（2023·上海预赛）设为大于3的正整数，求的最小值，使得存在两个正整数，满足：都恰有个正约数，且若将的正约数从小到大排列为(其中，将的正约数从小到大排列为(其中)，则存在一个整数，使得 【详解】由，取得 当为偶数时，有， 依题意，，则 ，与矛盾； 当为奇素数时，由正约数公式知，均为素数的方幂， 不妨设，则， 此时的符号与的符号相同，矛盾； 综上，为奇合数，于是． 当时，构造，易知分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7 13 49 91 169 637 1183 8281 1 5 17 25 85 289 425 1445 7225 + - + + - + - + 此时，所以满足题意的的最小值为9． 一、解答题 1．（2025·全国联赛B卷）求具有下述性质的所有正整数：存在的一个倍数，其在十进制表示下含有中每一个数码，并且对任意，可以删去的十进制表示中的一个数码，使所得的数仍是的倍数． 【详解】所求的为满足的所有正整数． 必要性：若，则，可知的数码和被3整除，但是删去一个1后，数码和不被3整除，从而不可能是的倍数． 充分性：设，其中为非负整数，与10互素．对由数码构成的若干个数码串，记为将依次写下来所构成的数码序列（看作十进制数）． 构造如下：取正整数满足，令 其中是正整数，均是位数码串，是个0构成的数码串，这里． 对，将删去上面表达式中的后所得的数记为，则易知 其中． 我们要求． 取，满足，这由及可知存在，从而． 假设已经取了，使得，则由及知，可取满足 从而．若不足位，则在其最高位前用0补足至位，则上式显然仍成立．这样取定了． 再取（同上用0补足至位），使得 这样．因为，故，从而，更有． 现在证明如上构造的满足要求． 若删去末位的一个0，则得到的数为，这是的倍数． 此外，对，由及，可知，结合知．证毕． 2．（2024·全国联赛B卷）给定素数．求同时满足下面两个条件的三元有序数组的数目： (1)； (2)三个数除以所得的余数相同． 【解析】当其中之一为0时，不妨设．此时，故，为满足条件的一组解； 考虑都不为0的情况． ① 同理②，③． 由①得，代入②，有，上式代入③，得 ，于是． 情况一：若，由知，则，于是，此时为满足条件的解； 情况二：若，则可被表示为．代回原式：，则 (i)，则， 而，故或． 当时，，此时． 当时，，此时．由 ， 故，则为满足条件的解； (ii)，则，此时对于每一个 （因为时有），都存在唯一的解，由可解出唯一的．此时有组解． 综上，共有组解． 其中表示的数论倒数．即． 3．（2023·全国联赛B卷）设正整数同时满足： (1)； (2)是2023的倍数； (3)是2023的倍数． 证明：是2023的倍数． 【详解】易知． 首先，由(1)，(3)知 是2023的倍数，故中至少有一个是7的倍数． 由对称性，不妨设是7的倍数，则也是7的倍数，也是7的倍数，故结合(2)知是7的倍数，因此 也是7的倍数．又平方数除以7的余数只能是0，1，2，4，因此只能同时是7的倍数，这表明都是7的倍数． 同上面分析可知：是的倍数，故或者其中有一个因子是的倍数，或者其中有两个因子是17的倍数． 如果有一个因子是的倍数，不妨设是的倍数，结合都是7的倍数知，是的倍数，但这与及是正整数相矛盾！ 因此中至少有两个是17的倍数．不妨设都是17的倍数，那么也是17的倍数，由 知，是17的倍数，故是17的倍数． 因此都是17的倍数，这就说明了是的倍数，也就是2023的倍数． 4．（2022·全国联赛B卷）设正整数都恰有个正约数，其中是的所有正约数的一个排列．问是否可能恰好是的所有正约数的一个排列？证明你的结论． 【详解】用反证法．假设题述情形发生，记 显然，而，故．又知，故是奇数． 所以为奇数，得为偶数，又，故是偶数． 易知中最大的两个元素为． 显然中每个元素都不超过．特别地，有． 设，其中(因为有个正约数，而)． 于是中存在两个元素，它们都大于，进而都大于，且均为的约数． 这表明，与为奇数矛盾． 因此题述情形不可能发生． 5．（2022·全国联赛B1卷）对每个正整数，将形如为正整数)的整数称为“有趣数”． (1)判断2022是否为2-有趣数，说明理由； (2)求所有正整数，使得存在两个有趣数互为相反数． 【详解】(1)由于，故2022为2-有趣数． (2)考虑有趣数模的余数，有 若这些数中存在两个数互为相反数，则或有，或有，或有，从而只可能为2，3，4，6，即． 当时，对任意正整数，均有 这样的数中不存在两个互为相反数． 当时，与均为2-有趣数，且互为相反数；当时，与均为有趣数，且互为相反数． 综上，所求正整数为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $