模拟卷04（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题4 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知是的两个不交子集，满足：若，则． 那么A中元素个数的最大值为 ． 2．方程的所有实数解为 ． 3．设复数z满足，则的实部的取值范围是 ． 4．若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的最小值为 ． 5．已知椭圆的中心为，点在上，是以半焦距为边长的正三角形，则的离心率为 ． 6．设向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 ． 7．在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为 ． 8．设l为某正方体的一条体对角线，S为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集．若从S中任选两点连成线段，则与l垂直的线段数目为 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知函数，等差数列的前n项和为，记． (1) 若是某三角形的三个内角，求的取值范围； (2) 证明：若，则． 10.（本题满分20分）已知抛物线与双曲线的公切线与分别交于点，与交于点．求的面积． 11.（本题满分20分）设数列满足，且 ． 已知数列的通项公式为，若数列为等差数列，求的所有可能值及相应的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题4参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知是的两个不交子集，满足：若，则． 那么A中元素个数的最大值为 ． 答案：． 解：由，得．若．则，从而A中至多有个元素．又注意到符合条件，故所求最大值为． 2．方程的所有正实数解为 ． 答案：． 解：原方程可化为． 显然函数在上单调递增，而，因此原方程只有一个正实数解． 3．设复数z满足，则的实部的取值范围是 ． 答案：． 解：设，则，故．所以 ． 4．若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的最小值为 ． 答案：16． 解：由二项式定理，． 因为的定义域为，故其图象如果关于直线对称，只能有，即是偶函数． 因此有和x前的系数均为，从而，．由对勾函数的性质可知，当且仅当时，取到最小值． 5．已知椭圆的中心为，点在上，是以半焦距为边长的正三角形，则的离心率为 ． 答案：或． 解：不妨设，其中短半轴，半焦距．由椭圆的性质易知点关于x轴或y轴对称． 若关于x轴对称，不妨设A在第一象限，则OA的方程是．与的方程联立得．结合条件知，得．故离心率． 若关于y轴对称，不妨设A在第二象限，则OA的方程是．与的方程联立得．结合条件知，得．故离心率． 综上所述，离心率或． 6．设向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 ． 答案：． 解：如图，设，， 则，，故，而，故在的外接圆上运动变化（沿弧），外接圆的半径为． 取的中点为，连接，则，故，故． 7．在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为 ． 答案：． 解：因为，所以点P的轨迹方程为（椭球），又因为，所以点的轨迹方程为（双曲线的一支）． 过点P作，而平面，所以平面．     设AB的中点为，则二面角的平面角为． 设，则．所以 ． 因此．令，则 ， 等号成立当且仅当． 所以二面角的余弦值的最小值为． 8．设l为某正方体的一条体对角线，S为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集．若从S中任选两点连成线段，则与l垂直的线段数目为 ． 答案：． 解：以正方体的中心为原点建立空间直角坐标系，并不妨设正方体的边长为2．则． 设l的方向向量为，．由得 ． 设． 由对称性，只需考虑的情形． 当时，． 当时，． 当时， ． 综上所述，满足条件的线段的条数为当时，． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知函数，等差数列的前n项和为，记 ． (1) 若是某三角形的三个内角，求的取值范围； (2) 证明：若，则． 解：(1) 由于且是等差数列，所以．因此 ． 不妨设，则，所以，故，因此． (2) 因为是等差数列，且，所以当 时，，故． 因此 ． 所以，若，则． 10.（本题满分20分）已知抛物线与双曲线的公切线与分别交于点，与交于点．求的面积． 解：设点，则点P处的切线方程为， 点Q处切线方程为，因此解得． 令，则，故，且． 由解得，即点． 故边PQ的中点，边PT的中点，边QT的中点， 从而． 而，设KQ与MT交于点，则G为的重心，因此． 11.（本题满分20分）设数列满足，且 ． 已知数列的通项公式为，若数列为等差数列，求的所有可能值及相应的值． 解：由，有，所以 或， 即或． 因为，故 ，， 所以，于是可得 或或， 又因为，所以．因此 ， 所以数列为等差数列（公差为）． 设，即，故 ，即，因此 ， 所以，即． 不妨设，由可推得，又因为，所以且． 由题意，已知，则． 设数列的公差为常数，则 ， 又，所以． 记常数，则．所以都是公差为d的等差数列． 对于数列，易得． 若，当时，，而，矛盾； 若，当时，，而，矛盾． 因此． 于是，即，则． 若，则，此时 ， 这与矛盾．因此，则，可得． 当时，．于是可得，化简整理得．因为是常数，与n无关，故只能有，所以． 当时，，由此易得，同理可得，于是． 综上所述，当时，；当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$