专题01 有理数（考题猜想，易错压轴必刷72题24种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题01 有理数（易错压轴题必刷72题24种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的意义 题型二 正负数的实际应用 题型三 有理数的分类 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 根据点在数轴的位置判断式子正负题型六 数轴上的动点问题 题型七 相反数 题型八 化简绝对值 题型九 绝对值非负性 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数混合运算 题型十二 有理数的简便运算 题型十三 有理数混合运算的实际应用 题型十四 科学记数法 题型十五 程序流程图 题型十六 算“24”点 题型十七 有理数中的新定义运算 题型十八 有理数的规律计算题 题型十九 数轴上的动点问题压轴 题型二十 绝对值的化简求值压轴 题型二十一 绝对值几何意义求最值 题型二十二 有理数的规律计算压轴 题型二十三 有理数实际运算压轴 题型二十四 有理数新定义运算压轴 一．正负数的意义 1．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，其中在“方程章”中提出了“正负术”．如果支出80元记作元，那么收入100元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题的关键． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：如果支出80元记作元，那么收入100元记作元． 故选：B． 2．负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数的实际应用等知识点，熟练掌握相反意义的量的概念是解题的关键：用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量；按照指定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，则向指定方向相反的方向变化用负数表示，正与负是相对的． 根据相反意义的量的概念即可直接得出答案． 【详解】解：若零上记作，则零下应记作， 故答案为：． 3．（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是正负数，具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负．根据此逐项求解即可． 【详解】解：具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉应记为， 故答案为：； ∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：； ∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 二．正负数的实际应用 1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（   ） A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．收支总和为元滴滴出行 【答案】C 【分析】本题考查了正数，负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．根据表示收入元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出答案． 【详解】解：∵表示收入元，“收入”用正数表示， ∴“支出”就用负数表示， ∴表示支出元， 故选：C． 2．如图是一个转盘型密码锁，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了正负数的应用，根据开锁密码为“，，”，分别得出标记线对准的数即可得出答案． 【详解】解：∵开锁密码为“，，”， ∴需要先顺时针方向旋转10个小格，此时标记线对准的数是30，再逆时针方向旋转15个小格，此时标记线对准的数是5，然后顺时针方向旋转20个小格，此时标记线对准的数是25， 即锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是25． 故答案为：25． 3．如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 【答案】(1)4；3； (2) 【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键． （1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天； （2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可． 【详解】（1）∵， ∴从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4；3； （2）（步）， 答：小李这四天走的步数一共是步． 三．有理数的分类 1．下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故B不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 2．把下列各数填入相应的集合里：0.236，，，，18，，0． 正整数集合：{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合：{ …}． 【答案】 18 ， 0.236，，，18，，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正整数集合：{18，…}； 负分数集合：{，，…}； 有理数集合：{ 0.236，，，18，，0，…}． 故答案为：18；，；0.236，，，18，，0． 3．把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0），． 分数集合：{____________________________________…}； 负有理数集合：{____________________________________…}； 非负整数集合：{____________________________________…}． 【答案】，，，，，；，，；， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类填写即可求解． 【详解】解：分数集合：{，，，，，，…}； 负有理数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}； 四．数轴上两点之间的距离 1．若数轴上点表示的数是2，点和点之间的距离为5，则点表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上两点距离的计算是解题的关键． 根据数轴的特点，分类讨论：点在点右边时；点在点左边时；根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：点表示的数是2， 当点在点右边时，点和点之间的距离为5， ∴点表示的数是7； 点在点左边时，点和点之间的距离为5， ∴点表示的数是； 综上所述，点表示的数是或7， 故选：C ． 2．如图，点位于数轴上原点两侧，且点距离点为9个单位长度．若点表示的数是6，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离．根据点距离点为9个单位长度．若点表示的数是6，即可得到点表示的数． 【详解】解：由题意得，点表示的数为． 故答案为：． 3．用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，掌握相关结论即可． （1）由数轴可知：点B所表示的数是；根据，可得点C所表示的数是； （2）由题意得点A所表示的数是，则点B所表示的数是，可求出点C所表示的数是；即可求解； （3）由题意得点C所表示的数是或，分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵点A所表示的数是， 由数轴可知：点B所表示的数是； ∵， ∴点C所表示的数是； 故答案为：，； （2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数， ∴点A所表示的数是，则点B所表示的数是，点C所表示的数是； ， 故答案为：，； （3）解：∵数轴上点C到原点的距离为4， ∴点C所表示的数是或； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 综上所述，p的值为或． 五．根据点在数轴的位置判断式子正负 1．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，比较有理数的大小， 根据数轴可知，再逐项判断即可． 【详解】根据题意，得， 则，，， 所以正确的结论是C． 故选：C． 2．如图所示，根据有理数a，b在数轴上的对应点的位置，用“、、”填空： （1） ； （2） 0； （3） 0； （4） 0． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数大小，解题的关键是知道数轴上表示的两个数右边的总比左边的大； 先根据数轴的特点判断出a、b的符号，再根据两点到原点的距离判断出各个式子的符号即可． 【详解】解：∵a在原点的左侧，b在原点的右侧， ∴，， ∵a到原点的距离小于b到原点的距离， ∴， （1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）； 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：    (1)先把“”表示在数轴上，再用“>”或“<”填空． ___________0，___________0，___________0． (2)用“<”将a、b、c、、、连接起来：___________． 【答案】(1)见解析，>，<，> (2) 【分析】（1）现根据数轴上a、b、c的位置得到，，然后再逐一比较大小即可； （2）根据，进行比较大小解题即可． 【详解】（1）解：把“”表示在数轴上为：    因为，， ∴，，， 故答案为：>，<，>； （2）因为，， 所以， 故答案为：． 【点睛】首先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“<”连接即可． 六．数轴上的动点问题 1．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆上表示哪个数的点重合？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 圆周上的点与重合，滚动到，圆滚动了个单位长度，用除以，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上的点与重合， ∵， ∴， ∴圆周上的与数轴上的重合， 故选：B． 2．已知P是数轴上原点左侧的一个点，把P向左移动3个单位后，这时它到原点的距离是4个单位，则P点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，先求出现在表示的数是，结合数轴上两点间的距离即可得解，正确求出现在表示的数是解此题的关键． 【详解】解：∵P是数轴上原点左侧的一个点，向左移动后到原点的距离是4个单位， ∴现在表示的数是， ∴P点表示的数是， 故答案为：． 3．在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ； (2)B点表示的数距离原点有 个单位长度． (3)将点C向左平移3个单位得到数m，再向右平移2个单位得到数n，则m，n分别是多少？ 【答案】(1) (2)2 (3)0，2 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点是解题的关键． （1）根据在数轴上表示数进行作答即可； （2）根据数轴上两点之间的距离求解作答即可； （3）由数轴可知，点C表示的数为3，然后求解平移后点所对的数即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，A点表示的数是， 故答案为：； （2）解：由数轴可知，B点表示的数距离原点有2个单位长度， 故答案为：2； （3）解：由数轴可知，点C表示的数为3， ∴将点C向左平移3个单位得到数m为，再向右平移2个单位得到数n为2， ∴m，n分别是0，2． 七．相反数 1．如图，数轴上有三个点、、，且、表示的数互为相反数，若每个单位长度表示1，则点表示的数为（   ） A．不能确定 B． C．4 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，首先确定原点位置，进而可得、点对应的数． 【详解】解：点、表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 如图所示， 点对应的数是．则点表示的数为 故选：B． 2．若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】由、为相反数得出，再根据即可求出的值．本题考查了相反数，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：、为相反数， 则， ， ∴ 解得， 故答案为：3． 3．已知小于它的相反数，且数轴上表示的点到原点的距离为6，求将该点向右移动5个单位长度后得到的数的相反数． 【答案】1 【分析】本题考查了学生对数轴和相反数的知识的运用．先求得，得到，再利用平移的性质结合相反数的定义即可求解． 【详解】解：∵数轴上表示的点到原点的距离为6， ∴， ∵小于它的相反数， ∴， ∴， ∴将其向右移动5个单位后表示的数为，的相反数为1． 八．化简绝对值 1．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②③；④；⑤若x为数轴上任意一点，的最小值为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负以及化简绝对值, 由数轴可知：，，推出即可判断①；根据，，可得即可判断②；即可判断③；根据即可判断④；表示数轴上表示的点到表示数a，b的两点的距离之和，据此即可判断⑤； 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ∴，故②错误； ，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 当时，的最小值为．故⑤正确； 故正确结论有3个． 故选：B 2．若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简绝对值，根据，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 解得， 故答案为：． 3．1）如图，点A、点B在数轴上． ①点A表示的数是______，点B表示的数是 ． ②请在数轴上画出表示的点C、点D、点E； （2）有理数、表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简 _______；_______； _______； _______；_______． 【答案】（1）①②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值性质是解本题的关键． （1）根据数轴可得点的值，再将点在数轴上画出来即可； （2）根据数轴先判断的大小关系，再判断、、的符号，进而去绝对值化简即可． 【详解】（1）①由数轴可知，点表示的数为， 点表示的数为， ②数轴如图所示， ． （2）由数轴可知，， ， ，， ， ， ． 九．绝对值非负性 1．若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，根据绝对值的非负性质得出，进而可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的最小值是5， 故选：B． 2．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性运用等知识，先由是最大的负整数求出，再根据绝对值非负性得到、，从而由数轴上两点之间距离公式代值求解即可得到、，熟记数轴定义与性质、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性是解决问题的关键． 【详解】解：（1）是最大的负整数， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数， ；； 故答案为：． 3．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 一十．有理数的大小比较 1．把，，，0用“”号连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力． 先化简各个式子，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∵ ∴． 故选：C． 2．比较大小： ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握方法是解题的关键．利用有理数比较大小的法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，，． 3．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，负数的大小比较，熟练掌握两个负数相比较，绝对值大的反而小是解题的关键． （1）先化简，再利用负数大小比较的原则解答即可； （2）利用负数大小比较的原则解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 一十一．有理数混合运算 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．根据有理数的运算法则，逐一计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项A计算错误，不符合题意； B、，选项B计算错误，不符合题意； C、，选项C计算错误，不符合题意； D、，选项D计算正确，符合题意． 故选：D． 2．小杨对算式“”进行计算时的过程如下： 解：原式　① 　②   ③ ．　④ 根据小杨的计算过程，回答下列问题： （1）小杨在进行第①步时，运用了乘法的 律； （2）他在计算中出现了错误，你认为在第 步出错了．（请填写序号） 【答案】 分配 ② 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律的运用，根据算式特点，运用运算律简化分运算是解题的关键； （1）计算第①步时，用到了乘法分配律，故可完成解答； （2）逐步检查各步运算过程，考虑运算顺序、运算结果及符号，即可找到出错的地方． 【详解】解：（1）观察运算过程知，进行第①步时，运用了乘法的分配律； 故答案为：分配； （2）观察第②步运算知，计算时出现错误，应计算减法后得； 故答案为：②． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序和法则，运算律，是解题的关键． （1）化简符号后相加减； （2）化简符号后相加减； （3）化除法为乘法，除数化为它的倒数，用分配律展开作乘法，最后作加减； （4）先作括号内的加法，再把除法化为乘法，相乘，最后相减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 一十二．有理数的简便运算 1．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律； 原式变形后，利用乘法分配律判断即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．用简便方法计算： （1） ； （2） ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律， 对于（1），根据乘法分配律计算； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 3．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ∴． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， 则原式； （2）解：原式 ． ． 【点睛】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． 一十三．有理数混合运算的实际应用 1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴ ， 故选：A． 2．了鼓励节约用电，国家电网实施分段计算电费的方法：每月用电不超过100于瓦时，按0.52元/千时收费；每月用电超过100千瓦时，超过部分按0.6元/千瓦时收费．小明家五月份付电费64.6元，他家五月份用电 千瓦时． 【答案】121 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，根据题意列出算式计算即可． 【详解】解： ， 故答案是：121． 3．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (2)该厂实行计件工资制，一周结算一次，每辆车60元，超额完成任务（超产部分）每辆再奖10元，少生产一辆倒扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)26 (2)84700元 【分析】本题考查了正数与负数的应用，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据表格及题意求出七天的生产情况，即可求出产量最多的一天比产量最少的一天多生产的； （2）求出七天共生产的辆数，然后根据工资总额的计算方法即可得到结果． 【详解】（1）解：（辆）， 故答案为：26． （2）解：（辆）； （元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是84700元． 一十四．科学记数法 1．2024年10月30日12时51分，神舟十九号载人飞船成功进入中国空间站，并且实现了我国航天史上第5次“太空会师”．神舟十九号载人飞船与长征二号遥十九号运载火箭组合体，总重量多千克，总高度米．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解： 故选：C． 2．年月日，首部国产游戏《黑神话 悟空》发行，一经上线，就创下了多项国产游戏的记录，据统计，截止到月日，全球销量就已经达到了万套以上，在全世界范围内引发了国外玩家读《西游记》“补课”、游戏取景地客流量增长、联名产品卖到断货等破圈效应．万套用科学记数法可以表示为 套 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 3．某城市有100万个家庭，平均每个家庭每天丢弃1个塑料袋． (1)这100万个家庭一年（365天）将丢弃_______个塑料袋；（用科学记数法表示） (2)若每1 000个塑料袋污染1平方米土地，则该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地有多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了有理数乘除法的应用，科学记数法，理解题意正确列式计算是解题关键． （1）用100万个家庭每个家庭每天丢弃1个塑料袋365天，再用科学记数法表示即可； （2）用（1）所得垃圾袋数量，即可得到答案． 【详解】（1）解：万， 即100万个家庭一年（365天）将丢弃个塑料袋， 故答案为： （2）解：， 即该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地有平方米． 一十五．程序流程图 1．一台计算机按如图所示的程序工作，如果输入的数是2，那么输出的数是（   ） A．558 B． C． D．238 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算与流程图，理解流程图的计算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．根据流程图的计算方法列式求解即可． 【详解】解：第一次：，， 第二次：，， ∴输出的是， 故选：B ． 2．如图是一个流程图，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与程序流程图有关的含乘方的有理数的混合运算．理解流程图的运算规则是解题的关键． 根据流程图中的运算为，输入值计算，然后判断作答即可． 【详解】解：输入x的值为，则， ∵， ∴输入x的值为，则， ∵， ∴输出y的值为， 故答案为：． 3．数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 一十六．算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则如下：将四个有理数（每个数都必须用到且只能用一次）进行加减乘除四则运算（可以添加括号），使其结果等于24．现有四个数2，，6，，运用上述规则写出一道算式，使其结果等于24，则算式是 （答案不唯一，只填一个）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘，除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算．由“24点”游戏规则，根据2，，6，，列出算式 ，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意． 【详解】解：， 按上述规则写出的算式为：． 故答案为：． 3．小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，24点的计算方法，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可； （2）根据有理数的混合运算，24点的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：或或．（答案不唯一，合理即可） （2）解：． 一十七．有理数中的新定义运算 1．定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算；根据新运算规定进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 2．定义一种运算：，例如．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义可得，解方程得到，再根据进行计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）根据新定义的计算方法代入计算即可． （2）根据新定义的计算方法先计算括号里面的，再根据新定义的计算方法外面的即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解： ． 一十八．有理数的规律计算题 1．下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 2．观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】此题考查有理数的乘方，找到个位数字的规律解决问题． 根据已知的式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解答即可． 【详解】解：，，，，，…， 由此发现，式子末尾数字以3、9、7、1这4个数作循环， ∵， ∴所以的个位数字是1． 故答案为：1． 3．规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一十九．数轴上的动点问题压轴 1．已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)5或15 (3)存在，，定值为 【分析】对于（1），设点B表示的数为x，则点A表示的数为，再两点之间的距离可得，求出解即可，然后根据，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； 对于（2），分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，分别表示，再根据P、B两点之间相距10个单位长度，列出方程，求出解即可； 对于（3），分别表示出，再根据等于，结合题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得， ∴点A表示的有理数是；点B表示的有理数是10． ∵， ∴点C表示的有理数是． ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是． 故答案为：； （2）当点P在点B左边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得； 当点P在点B右边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得， ∴当或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度. 故答案为：5或15； （3）存在常数m，使得为一个定值． 理由如下： 由题意可知，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴， ∴ ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，弄清并表示线段的长是解题的关键． 2．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （）；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 3．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 二十．绝对值的化简求值压轴 1．数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)  或  整数有，，，，，， 【分析】本题考查了化简求绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）结合题意，列式并化简绝对值即可； （2）结合（1）中的表格，即可获得答案； （3）结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案；． 【详解】（1）解：见下表： 4 ，两点之间的距离 （2）解：观察上表：猜想、两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）解：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 故答案为：； 等式表示数轴上有理数到的距离是， 即或， 解得：或； 根据题意，表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和为， 满足条件的有理数的取值范围为， 所有符合条件的整数值有，，，，，，． 2．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示， (1)用，，填空： ， ． (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的减法运算，化简绝对值等． （1）根据数轴可知，由此即可得出答案； （2）根据（1）的结果，以及绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据图示，可得：， ，； 故答案为：； （2）解：， ； 3．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值．熟练掌握数轴，化简绝对值是解题的关键． （1）由数轴可知，，，然后求解作答即可； （2）根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 二十一．绝对值几何意义求最值 1．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 【答案】(1)2，6 (2)10 (3)，2 (4)12，10 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值及两点间的距离等知识点， （1）直接根据绝对值的意义求解即可； （2）直接化简绝对值即可； （3）分x在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可； （4）分当时，当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可； 熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：2；6； （2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间， ∴， 故答案为：10； （3）∵表示x到1和到的距离之和为5， ∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在1右边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为， ∴符合题意的整数x为，2， 故答案为：，2； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴综上，当时，的值最小，最小为12， ∴满足最小值时整数x的和是， 故答案为：12；10； 2．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 3．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 二十二．有理数的规律计算压轴 1．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 2．观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)256 (2)， (3)不存在m的值，使这三个数的和等于514 【分析】本题考查规律型−数字变化类问题，有理数的运算等知识点， （1）根据第一组对应的数为的序数次幂的规律即可得解； （2）根据第二组的数比第一组对应的数大3，第三组的数的规律为即可得解； （3）根据规律构建方程即可解决问题； 熟练掌握探究的规律是解决此题的关键． 【详解】（1）观察知，第一组第一个数为， 第一组第二个数为， 第一组第三个数为， 第一组第四个数为， ∴第一组第n个数为， ∴第一组的第8个数分别是， 故答案为：256； （2）观察知，第二组第一个数为， 第二组第二个数为， 第二组第三个数为， 第二组第四个数为， ∴第二组第n个数为， 观察知，第三组第一个数为， 第三组第二个数为， 第三组第三个数为， 第三组第四个数为， ∴第三组的第n个数， 故答案为：，； （3）由题意知， ∴， ∵， ∴不存在m的值，使这三个数的和等于514． 3．观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； (2)当时，_________；当时，_________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． (4)合理的方法计算：． 【答案】(1)①；② (2)； (3)C (4) 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0，然后根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． （1）先比较有理数的大小，然后结合绝对值的性质即可化简； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）由数轴可知，，然后根据绝对值的性质即可求解； （4）根据绝对值的性质和有理数运算，化简绝对值并进行加减运算，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题目中的规律，可得 ①∵，∴； ②∵，∴． 故答案为：①；②； （2）当时，；当时，． 故答案为：；； （3）由数轴可知，， ∴． 故选：C； （4） ． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、有理数运算等知识，解题的关键是根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 二十三．有理数实际运算压轴 1．某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费.一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； (2)若王师傅的车平均每千米消耗天然气0.3元，则送完第4批客人后，王师傅共消耗了多少元天然气？ (3)在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)西，6 (2)送完第4批客人后，王师傅共消耗了4.8元天然气 (3)在整个过程中，王师傅共收到车费38元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用．熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以单价即可解答； （3）根据表格中的数据是超过3千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第4批客人后，王师傅共收到的车费． 【详解】（1）， 即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米； 故答案为：西，6； （2）解： （元）， 答：送完第4批客人后，王师傅消耗了4.8元的天然气； （3）解： (元)， 故在整个过程中，王师傅共收到车费38元． 2．出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同） 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第________次里程后，他距离地最远； (2)刘师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (3)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (4)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)2 (2)在地的西方，离地有4千米 (3)可以不加油 (4)141元 【分析】（1）结合表中数据，分别计算每次里程后的位置，即可获得答案； （2）把表格中表示里程的数据相加即可得到答案； （3）先计算刘师傅这天上午行驶的总路程，再计算此时的耗油量，求解剩余的油量，与2升比较后可得结论； （4）由表格可知，第1次与第4次出租车为空载，根据收费规则列式求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：第1次里程后，距离地：千米， 第2次里程后，距离地：千米， 第3次里程后，距离地：千米， 第4次里程后，距离地：千米， 第5次里程后，距离地：千米， 第6次里程后，距离地：千米， 第7次里程后，距离地：千米， 第8次里程后，距离地：千米， 综上所述，刘师傅走完第2次里程后，他距离地最远． 故答案为：2； （2）， 由题意可知， 刘师傅走完第8次里程后，他在地的西方，离地有4千米； （3）千米， 升， 因为， 所以，刘师傅这天上午中途可以不加油； （4）由题意可知，上午第1和第4次里程空载， 所以元， 答：刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为141元． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用、有理数的加法的实际应用、绝对值的应用、分段收费的计算问题以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则并准确计算是解题的关键． 3．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 （1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_____个，本周实际生产玩具______个． （2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）元；（3）每日计件工资更多，理由见解析． 【分析】（1）用表中周三数据加上计划平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天增减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量． （２）把表中每天增减产量正的之和乘以3，负的之和乘以2，把它们相加的和再加上周实际生产量乘以5，即得小明妈妈这一周的工资总额． （3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计件工资制下小明妈妈的周工资相比较可得——每日计件工资更多． 【详解】（1） 小明妈妈星期三生产玩具个， （个）， 故本周实际生产玩具个， 故答案为：，． （2）（元） 答：小明妈妈这一周的工资总额是元 （3）元， 每周计件一周得元， 因为，所以每日计件工资更多． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用．其关键是审清题意，弄准确其中正负数及0的含义，才能列出正确算式． 二十四．有理数新定义运算压轴 1．用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据新定义运算计算即可求解； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算列出方程，求出与的关系，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，绝对值的意义，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ， ， ∴ ， ． 2．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 3．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）ABD；（3）；（4） 【分析】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A．因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B．因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； C．圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，； D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 故答案为：ABD； （3）， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． $$ 专题01 有理数（易错压轴题必刷72题24种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的意义 题型二 正负数的实际应用 题型三 有理数的分类 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 根据点在数轴的位置判断式子正负题型六 数轴上的动点问题 题型七 相反数 题型八 化简绝对值 题型九 绝对值非负性 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数混合运算 题型十二 有理数的简便运算 题型十三 有理数混合运算的实际应用 题型十四 科学记数法 题型十五 程序流程图 题型十六 算“24”点 题型十七 有理数中的新定义运算 题型十八 有理数的规律计算题 题型十九 数轴上的动点问题压轴 题型二十 绝对值的化简求值压轴 题型二十一 绝对值几何意义求最值 题型二十二 有理数的规律计算压轴 题型二十三 有理数实际运算压轴 题型二十四 有理数新定义运算压轴 一．正负数的意义 1．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，其中在“方程章”中提出了“正负术”．如果支出80元记作元，那么收入100元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作 ． 3．（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 二．正负数的实际应用 1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（   ） A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．收支总和为元滴滴出行 2．如图是一个转盘型密码锁，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 3．如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 三．有理数的分类 1．下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 2．把下列各数填入相应的集合里：0.236，，，，18，，0． 正整数集合：{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合：{ …}． 3．把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0），． 分数集合：{____________________________________…}； 负有理数集合：{____________________________________…}； 非负整数集合：{____________________________________…}． 四．数轴上两点之间的距离 1．若数轴上点表示的数是2，点和点之间的距离为5，则点表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或3 2．如图，点位于数轴上原点两侧，且点距离点为9个单位长度．若点表示的数是6，则点表示的数是 ． 3．用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 五．根据点在数轴的位置判断式子正负 1．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，根据有理数a，b在数轴上的对应点的位置，用“、、”填空： （1） ； （2） 0； （3） 0； （4） 0． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：    (1)先把“”表示在数轴上，再用“>”或“<”填空． ___________0，___________0，___________0． (2)用“<”将a、b、c、、、连接起来：___________． 六．数轴上的动点问题 1．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆上表示哪个数的点重合？（   ） A． B． C． D． 2．已知P是数轴上原点左侧的一个点，把P向左移动3个单位后，这时它到原点的距离是4个单位，则P点表示的数是 ． 3．在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ； (2)B点表示的数距离原点有 个单位长度． (3)将点C向左平移3个单位得到数m，再向右平移2个单位得到数n，则m，n分别是多少？ 七．相反数 1．如图，数轴上有三个点、、，且、表示的数互为相反数，若每个单位长度表示1，则点表示的数为（   ） A．不能确定 B． C．4 D．0 2．若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 3．已知小于它的相反数，且数轴上表示的点到原点的距离为6，求将该点向右移动5个单位长度后得到的数的相反数． 八．化简绝对值 1．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②③；④；⑤若x为数轴上任意一点，的最小值为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若，则的取值范围是 ． 3．1）如图，点A、点B在数轴上． ①点A表示的数是______，点B表示的数是 ． ②请在数轴上画出表示的点C、点D、点E； （2）有理数、表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简 _______；_______； _______； _______；_______． 九．绝对值非负性 1．若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 2．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数；是最大的负整数，，，满足． （1）填空： ， ， ． （2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ． 3．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 一十．有理数的大小比较 1．把，，，0用“”号连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小： ； ； ． 3．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 一十一．有理数混合运算 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．小杨对算式“”进行计算时的过程如下： 解：原式　① 　②   ③ ．　④ 根据小杨的计算过程，回答下列问题： （1）小杨在进行第①步时，运用了乘法的 律； （2）他在计算中出现了错误，你认为在第 步出错了．（请填写序号） 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 一十二．有理数的简便运算 1．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（   ） A． B． C． D． 2．用简便方法计算： （1） ； （2） ． 3．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ∴． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 一十三．有理数混合运算的实际应用 1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 2．了鼓励节约用电，国家电网实施分段计算电费的方法：每月用电不超过100于瓦时，按0.52元/千时收费；每月用电超过100千瓦时，超过部分按0.6元/千瓦时收费．小明家五月份付电费64.6元，他家五月份用电 千瓦时． 3．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (2)该厂实行计件工资制，一周结算一次，每辆车60元，超额完成任务（超产部分）每辆再奖10元，少生产一辆倒扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 一十四．科学记数法 1．2024年10月30日12时51分，神舟十九号载人飞船成功进入中国空间站，并且实现了我国航天史上第5次“太空会师”．神舟十九号载人飞船与长征二号遥十九号运载火箭组合体，总重量多千克，总高度米．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 2．年月日，首部国产游戏《黑神话 悟空》发行，一经上线，就创下了多项国产游戏的记录，据统计，截止到月日，全球销量就已经达到了万套以上，在全世界范围内引发了国外玩家读《西游记》“补课”、游戏取景地客流量增长、联名产品卖到断货等破圈效应．万套用科学记数法可以表示为 套 3．某城市有100万个家庭，平均每个家庭每天丢弃1个塑料袋． (1)这100万个家庭一年（365天）将丢弃_______个塑料袋；（用科学记数法表示） (2)若每1 000个塑料袋污染1平方米土地，则该城市一年（365天）被塑料袋污染的土地有多少平方米？ 一十五．程序流程图 1．一台计算机按如图所示的程序工作，如果输入的数是2，那么输出的数是（   ） A．558 B． C． D．238 2．如图是一个流程图，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 3．数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 一十六．算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则如下：将四个有理数（每个数都必须用到且只能用一次）进行加减乘除四则运算（可以添加括号），使其结果等于24．现有四个数2，，6，，运用上述规则写出一道算式，使其结果等于24，则算式是 （答案不唯一，只填一个）． 3．小明和小刚玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用一次），使运算结果等于24．其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13． (1)小明抽取的四张牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)小刚抽取的四张牌分别是方块3，梅花3，黑桃7，梅花7，请帮小刚列出一个结果等于24的算式． 一十七．有理数中的新定义运算 1．定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 2．定义一种运算：，例如．若，则的值为 ． 3．在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求的值； (2)求的值； 一十八．有理数的规律计算题 1．下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 2．观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 3．规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 一十九．数轴上的动点问题压轴 1．已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 2．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 3．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 二十．绝对值的化简求值压轴 1．数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 2．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示， (1)用，，填空： ， ． (2)化简： 3．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________． (2)化简：． 二十一．绝对值几何意义求最值 1．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 2．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 3．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 二十二．有理数的规律计算压轴 1．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 2．观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 3．观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； (2)当时，_________；当时，_________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． (4)合理的方法计算：． 二十三．有理数实际运算压轴 1．某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费.一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米） 第1批 第2批 第3批 第4批 (1)送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； (2)若王师傅的车平均每千米消耗天然气0.3元，则送完第4批客人后，王师傅共消耗了多少元天然气？ (3)在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 2．出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同） 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第________次里程后，他距离地最远； (2)刘师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (3)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (4)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 3．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 （1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_____个，本周实际生产玩具______个． （2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 二十四．有理数新定义运算压轴 1．用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 2．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 3．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$