清单04 走进几何世界（考点清单，4个考点清单+17种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单04 走进几何世界（考点清单，4个考点清单+17种题型解读） 【清单01 丰富的图形世界】 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 【清单02 图形的运动】 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 【清单03 图形的展开与折叠】 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【清单04 三视图】 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【考点题型一 常见的几何体】 【例1】如图所示几何体中，圆锥是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面一定是四边形；④棱柱的侧面展开图是一个长方形；⑤若棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下面六个几何体中，属于棱柱的有 个． 【变式1-3】图中的棱锥由 个三角形和 个四边形围成． 【变式1-4】（1）如图是一些基本立体图形，在括号里写出它们的名称． （2）将这些几何体分类，并写出分类的理由． 【考点题型二 组合几何体的构成】 【例2】如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【变式2-3】下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 【变式2-4】如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【考点题型三 立体图形的分类】 【例3】如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【变式3-1】下列几何体中，属于柱体的有（   ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-2】将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【变式3-3】下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    【变式3-4】将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 【考点题型四 几何体中的点、棱、面】 【例4】如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-1】一个画家有个棱长为的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的几何体，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】一个棱柱共有16个顶点，所有的侧棱长的和是，则这个棱柱有 个面，每条侧棱长为 ． 【变式4-3】观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是 ； （2）这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； （3）侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【变式4-4】综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【考点题型五 从不同方向看几何体】 【例5】如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体从三个方向看到的形状图，则组成这个几何体的小立方块的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式5-1】下面四个几何体中，同一几何体从上往下看和从左往右看，看到的图形形状相同的几何体共有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同方位看到的形状如图．这堆纸箱至少有 个． 【变式5-3】如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多需要m个小正方体，最少需要n个小正方体，则 ． 【变式5-4】如图是几小正方体组成的几何体，从上面看到该几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置上小正方体的个数．请你在图中画出该几何体从正面和左面看到的这个几何体的形状； 【考点题型六 点、线、面、体四者之间的关系】 【例6】汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确 【变式6-1】“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【变式6-2】折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 【变式6-3】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【变式6-4】飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 【考点题型七 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例7】学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【变式7-1】下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） 【变式7-3】将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是 立方厘米．（结果保留） 【变式7-4】如图，有一个长，宽的长方形纸板，现将长方形一条边所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一条边所在直线为轴旋转． 方案二：以较短的一条边所在直线为轴旋转． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是________． (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 【考点题型八 平面图形形状的识别】 【例8】用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分成5个三角形的多边形是（   ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【变式8-1】用一条直线把一个正方形分成完全一样的两部分，有（    ）种分法． A．2 B．4 C．无数 D．以上答案都不对 【变式8-2】给图中的多边形写出一个合适的名称： （1） ；（2） ；（3） ． 【变式8-3】如图是小明同学在美术课上画的小动物简笔画，请你仔细观察，图中圆有 个，三角形有 个，四边形有 个． 【变式8-4】生活中因为有了美丽的图案，才显得丰富多彩，如图①②③，是来自生活中的三个图案 ．请在图④⑤中画出具有前面三个图案共同特征的新图案 ． 【考点题型九 用七巧板拼图形】 【例9】如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【变式9-1】如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 【变式9-3】 如图，把图①中的七巧板，拼成图②的长方形，如果图①中阴影部分是边长为1的正方形，则图②中长方形的周长为 ． 【变式9-4】七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 【考点题型十 几何体展开图的认识】 【例10】如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（   ） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【变式10-1】图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【变式10-2】下列各硬纸片分别沿虚线折叠，得不到长方体纸盒的是 ．（请填写序号） 【变式10-3】一个直六棱柱，侧棱长为，底面各边长均为，则它的侧面展开图形面积是 【变式10-4】（1）如图（1）所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某几条棱剪开，展成一个平面图形，则①～④中，可能是该长方体展开图的有 ；（请填写序号） （2）图（2）、图（3）分别是（1）中长方体的两种展开图，求得图（2）的外围周长为52，请你求出图（3）的外围周长． 【考点题型十一 由展开图计算几何体的表面积】 【例11】有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【变式11-1】如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 【变式11-3】如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是，底面圆的直径是，则这个笔筒的侧面积为 （结果保留）． 【变式11-4】如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【考点题型十二 由展开图计算几何体的体积】 【例12】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【变式12-1】如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【变式12-2】如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为 ． 【变式12-3】如图，是一个几何体的表面展开图，请用字母表示该几何体的体积为 ．    【变式12-4】综合实践，某小组利用长为acm，宽为bcm长方形纸板制作长方体盒子或正方体盒子．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：如图1，若，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ccm的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 动手操作二：如图2，若，先在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，再沿虚线折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． (1)图1中无盖长方体纸盒的底面积是______；（用含有a、c的代数式表示） (2)当时，求该无盖长方体纸盒的体积； (3)请在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（阴影表示），标出正方形与长方形的长和宽，并用虚线表示折痕； (4)由图2，你发现当a与b之间满足怎样的数量关系时，在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒？请直接写出答案． 【考点题型十三 正方体几种展开图的识别】 【例13】如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．11 【变式13-1】如图所示的正方体的展开图为（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中，能拼成正方体的位置有 个． 【变式13-3】如图，正方体中每个面印有不同数字，在展开图中的值可以等于3的是 ． 【变式13-4】（1）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）在图中增加1个小正方形使得所得图形经过折叠后能够围成一个正方体，请任意补全一种符合要求的展开图． 【考点题型十四 正方体相对两面上的字】 【例14】今年的10月1号是第75个国庆节，为了庆祝“国庆”，小轩制作了一个正方体灯笼，六个面上写有“祝福祖国万岁”，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“福”字相对的字是（   ） 祝 福 万 国 岁 祖 A．祖 B．国 C．万 D．岁 【变式14-1】巴黎奥运会于北京时间月日盛大开幕．如图，小明将“庆祝奥运会！”分别写在一个正方体的展开图上，把展开图折叠成正方体后，与“奥”字相对的汉字是（   ）          A．庆 B．祝 C．运 D．会 【变式14-2】如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“我”字所在面相对的面上的汉字是 ．    【变式14-3】正方体的六个面分别标有1、2、3、4、5、6六个数，如图是从不同角度观察到的图形，请你判断与1相对的面上的数字是 ． 【变式14-4】【问题情境】某综合实践小组计划进行废物再利用的环保小卫士活动．他们准备用废弃的宣传单制作成装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图(1)，图形 经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒．(填A，B，C，或D) (2)如图(2)是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后与“保”字所在面相对的面上的文字是 ． (3)如图(3)，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华将其四个角各剪去一个边长为4cm小正方形后，折成无盖长方体纸盒．求这个无盖长方体纸盒的底面积和容积． 【考点题型十五 含图案的正方体的展开图】 【例15】如图所示的正方体的展开图为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图所示的正方体的展开图是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是 ． 【变式15-3】如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是 ．      ① 　②　③　④   【变式15-4】如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 【考点题型十六 求展开图上两点折叠后的距离】 【例16】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式16-1】如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【变式16-2】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【变式16-3】如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    【变4式16-】某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【考点题型十七 补一个面使图形围成正方体】 【例17】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式17-1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式17-2】小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 【变式17-3】如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 【变式17-4】图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 走进几何世界（考点清单，4个考点清单+17种题型解读） 【清单01 丰富的图形世界】 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 【清单02 图形的运动】 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 【清单03 图形的展开与折叠】 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【清单04 三视图】 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【考点题型一 常见的几何体】 【例1】如图所示几何体中，圆锥是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体，根据圆锥的特点判断即可求解，熟悉常见的几何体是解题的关键． 【详解】解：如图所示几何体中，是圆柱，是球体，是三棱柱，是圆锥， 故选：． 【变式1-1】下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面一定是四边形；④棱柱的侧面展开图是一个长方形；⑤若棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形是解题的关键．根据柱体，锥体的定义及组成，即可求解． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱，柱体的两个底面一样大，故该说法正确； ②圆柱、圆锥的底面都是圆，故该说法正确； ③棱柱的底面可以是任意多边形，故原说法错误； ④棱柱的侧面展开图可能是一个长方形，也可能是平行四边形，故原说法错误； ⑤棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱，故该说法正确， 综上所述，正确的为：①②⑤，共有3个． 故选：B 【变式1-2】下面六个几何体中，属于棱柱的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了认识立体图形，根据棱柱的定义即可得解，熟练掌握棱柱的定义是解此题的关键． 【详解】解：从左到右依次是三棱柱、球、圆锥、正方体、圆柱、六棱柱， 故属于棱柱的有三棱柱、正方体、六棱柱，共个， 故答案为：． 【变式1-3】图中的棱锥由 个三角形和 个四边形围成． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了棱锥的定义．熟练掌握棱锥的定义是解题的关键． 根据棱锥的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，图中的棱锥是由4个三角形，1个四边形围成， 故答案为：4，1． 【变式1-4】（1）如图是一些基本立体图形，在括号里写出它们的名称． （2）将这些几何体分类，并写出分类的理由． 【答案】（1）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；（2）见解析 【分析】本题考查的是几何体的分类； （1）根据各个几何体的特征即可得到结果； （2）可按面分，也可按柱体分，方法不一． 【详解】解：（1）（从左至右）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱； （2）按面分：曲面：球、圆柱、圆锥；平面：长方体、三棱柱． 【考点题型二 组合几何体的构成】 【例2】如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 【变式2-1】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 【变式2-2】如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 【变式2-3】下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 【答案】 【分析】本题考查了涂色问题的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形的排列特点，找到露出在外面的面既是涂色面，依次即可得出答案． 【详解】解：观察图形可得：三个面涂上红色的正方体有个，四面涂上红色的正方体有个， 故答案为：，． 【变式2-4】如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 【考点题型三 立体图形的分类】 【例3】如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 【变式3-1】下列几何体中，属于柱体的有（   ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类，柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：①⑤是四棱柱，②是圆柱，③是三棱柱，④是圆锥，⑥是球， ∴属于柱体的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【变式3-2】将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③ 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【变式3-3】下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    【答案】③④⑤⑥ 【分析】根据几何体的分类即可求得答案． 【详解】①为圆柱体，不属于棱柱； ②为圆锥体，不属于棱柱； ③为长方体，属于棱柱； ④为正方体，属于棱柱； ⑤为长方体，属于棱柱； ⑥为六棱柱，属于棱柱； ⑦为球体，不属于棱柱． 故答案为：③④⑤⑥． 【点睛】本题主要考查几何体的分类，牢记几何体的分类是解题的关键． 【变式3-4】将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 【答案】（1）（2）（3），（5），（4） 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键．根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（2）（3）； 锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5） 球体属于单独的一类，球有（4）． 故答案为：（1）（2）（3），（5），（4）． 【考点题型四 几何体中的点、棱、面】 【例4】如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可． 【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 【变式4-1】一个画家有个棱长为的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的几何体，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，涂上颜色的总面积为：从上面看到的面积+四个侧面看到的面积． 【详解】解：根据分析其表面积，即涂上颜色的面有33个． 每个小正方形的面积为， ． 故先C． 【变式4-2】一个棱柱共有16个顶点，所有的侧棱长的和是，则这个棱柱有 个面，每条侧棱长为 ． 【答案】 10 15 【分析】根据棱柱共有16个顶点，得到底面是八边形，根据八棱柱的性质解答即可． 本题考查了棱柱的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵棱柱共有16个顶点， ∴该棱柱是八棱柱， ∴这个棱柱有10个面， ∵所有的侧棱长的和是， ∴每条侧棱长为． 故答案为：10；15． 【变式4-3】观察如图所示的棱柱： （1）这个棱柱的底面是 ； （2）这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； （3）侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” （4）这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； （5）若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】 三角形 3 长方形 相等 6 3 9 45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】解：（1）这个棱柱的底面是三角形； （2）这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； （3）侧面的个数与底面的边数相等； （4）这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； （5）， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为：（1）三角形；（2）3，长方形；（3）相等；（4）6；3，9；（5）45． 【变式4-4】综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 【考点题型五 从不同方向看几何体】 【例5】如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体从三个方向看到的形状图，则组成这个几何体的小立方块的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查由不同方向看到的图形判断几何体，利用从上面看到的图形写出小正方体的个数可得结论． 【详解】解：这个几何体的小正方体的个数如下图所示： ∴组成这个几何体的小立方块的个数是（个）， 故选：B． 【变式5-1】下面四个几何体中，同一几何体从上往下看和从左往右看，看到的图形形状相同的几何体共有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据正方体从上往下看和从左往右看都是正方形，球从上往下看和从左往右看都是圆形，圆锥从上往下看是圆形加中心一个点，从左往右看是三角形，圆柱从上往下看是圆形，从左往右看是长方形，即可得解． 【详解】解：①正方体从上往下看和从左往右看都是正方形，故符合题意； ②球从上往下看和从左往右看都是圆形，故符合题意； ③圆锥从上往下看是圆形加中心一个点，从左往右看是三角形，故不符合题意； ④圆柱从上往下看是圆形，从左往右看是长方形，故不符合题意； 综上所述，共有2个， 故选：B． 【变式5-2】仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同方位看到的形状如图．这堆纸箱至少有 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；由从上面看可进行求解． 【详解】解：如图， ∴（个）， 所以这堆纸箱至少有9个； 故答案为9． 【变式5-3】如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多需要m个小正方体，最少需要n个小正方体，则 ． 【答案】26 【分析】本题考查了由从不同方向看到的形状图来判断最多或最少得正方体的个数，由从上面看到的形状图可以判断底面小正方体的个数，由正面看到的形状图可以判断第二层和第三层小正方体的个数，进而计算作答即可． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，组成这个几何体的底面小正方体有7个， 由从正面看到的形状图可知，第二层最少有2个，最多有6个；第三层最少有1个，最多有3个， ∴组成这个几何体最多要个小立方块，最少要个小立方块， 故答案为：26． 【变式5-4】如图是几小正方体组成的几何体，从上面看到该几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置上小正方体的个数．请你在图中画出该几何体从正面和左面看到的这个几何体的形状； 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面看该图形有3列，从左往右小正方形个数为2，2，3；从左面看该图形有3列，从左往右小正方形个数为1，2，3，画出图形即可． 【详解】解：从正面看该图形有3列，从左往右小正方形个数为2，2，3；从左面看该图形有3列，从左往右小正方形个数为1，2，3，如图所示： 【考点题型六 点、线、面、体四者之间的关系】 【例6】汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确 【答案】B 【分析】此题考查了点、线、面、体，正确理解点、线、面、体的概念是解题的关键．汽车的雨刷实际上是一条线，挡风玻璃看作一个面，雨刷把玻璃上的雨水刷干净，属于线动成面． 【详解】解：汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净，应是线动成面． 故选：B． 【变式6-1】“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【分析】此题考查了点、线、面、体，根据点动成线分析即可，正确理解点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 【详解】解：雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线， 故选：． 【变式6-2】折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面 【变式6-3】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【答案】 面与面相交得到线 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】题目考查了点、线、面之间的动态关系，理解生活中的点、线、面关系是解题的关键． 【详解】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为面与面相交得到线； 故答案为：面与面相交得到线 （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为点动成线； 故答案为：点动成线 （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为线动成面； 故答案为：线动成面 （4）长方形绕它的一边所在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为面动成体． 故答案为：面动成体 【变式6-4】飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 【答案】(1)点动成线； (2)线动成面； (3)点动成线； (4)线动成面； (5)面动成体． 【分析】根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可． 【详解】（1）解：流行是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线； （2）解：自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面； （3）解：蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线； （4）解：折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面； （5）解：一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体. 【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系． 【考点题型七 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例7】学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了面与体的关系，正确理解面与体的关系是解题的关键．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意； B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，本选项正确，不符合题意； C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故本选项不正确，符合题意； D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式7-1】下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键．根据面动成体判断出各选项中旋转得到立体图形即可得出答案． 【详解】A、旋转一周为圆锥，不符合题意； B、旋转一周为倒立的圆锥且底面凹进去一个圆锥，不符合题意； C、旋转一周能够得到的几何体与原题图形位置反过来了，不符合题意； D、旋转一周能够得到原题图形，符合题意； 故选：D． 【变式7-2】如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面图形旋转后的立体图形，求体积；正方形绕所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体是圆柱，底面半径与高均为，根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由题意知，旋转后的几何体是圆柱，底面半径与高均为， 则圆柱的体积为：； 故答案为：． 【变式7-3】将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是 立方厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， 以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， ， 最大的立体图形的体积是立方厘米， 故答案为：． 【变式7-4】如图，有一个长，宽的长方形纸板，现将长方形一条边所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一条边所在直线为轴旋转． 方案二：以较短的一条边所在直线为轴旋转． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是________． (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；面动成体； (2)方案二得到的几何体的体积大． 【分析】本题考查了面动成体，利用长方形旋转得圆柱，熟记圆柱体积公式是解题关键． （1）根据长方形旋转是圆柱，可得答案； （2）根据圆柱的体积公式计算，可得答案． 【详解】（1）解：长方形旋转可以得到圆柱，说明的事实是面动成体； 故答案为：圆柱；面动成体； （2）解：方案一：（）， 方案二：（）， ∵， ∴方案二得到的几何体的体积大； 【考点题型八 平面图形形状的识别】 【例8】用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分成5个三角形的多边形是（   ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】本题考查了认识平面图形的知识，分别根据五边形、六边形、七边形、八边形最少能够分成多少个三角形，逐项分析即可得解． 【详解】解：A、五边形最少分成3个三角形，故不符合题意； B、六边形最少分成4个三角形，故不符合题意； C、七边形最少分成5个三角形，故符合题意； D、八边形最少分成6个三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】用一条直线把一个正方形分成完全一样的两部分，有（    ）种分法． A．2 B．4 C．无数 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】过正方形的两边中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线，即过正方形的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分．此题考查了图形的拆拼，正方形是一个中心对称图形，过中心点的任意一条直线都可以把正方形分成完全一样的两部分． 【详解】解：如图所示，在图形中下一行的直线有无数条，只要过中心点就可以． 过正方形的两个对边的中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线即过正方形的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分，故有无数种分法． 故选：C． 【变式8-2】给图中的多边形写出一个合适的名称： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 五边形 三角形 四边形 【分析】本题考查了多边形，由多边形是根据其边数来命名的即可得解． 【详解】解：由图可得：（1）五边形；（2）三角形；（3）四边形； 故答案为：五边形，三角形，四边形． 【变式8-3】如图是小明同学在美术课上画的小动物简笔画，请你仔细观察，图中圆有 个，三角形有 个，四边形有 个． 【答案】 10 5 1 【分析】本题考查了多边形，根据圆、三角形、四边形的定义判断即可，熟练掌握圆、三角形、四边形的定义是解此题的关键． 【详解】解：观察图形可得，图中圆有10个，三角形有5个，四边形有1个， 故答案为：10，5，1． 【变式8-4】生活中因为有了美丽的图案，才显得丰富多彩，如图①②③，是来自生活中的三个图案 ．请在图④⑤中画出具有前面三个图案共同特征的新图案 ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面图形的认识．前面三个图案共同特征是沿着一条直线对折后两部分完全重合．据此作出相同特征的图形，即可作答． 【详解】解：前面三个图案共同特征是沿着一条直线对折后两部分完全重合， 依题意，图④⑤如图所示： 【考点题型九 用七巧板拼图形】 【例9】如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第①块的倍，选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，选项不符合题意； 第③块的面积是整个面积的，选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，选项不符合题意， 故选∶． 【变式9-1】如图，小星在学了七巧板内容后，用边长为1的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，如图②，图③所示，图中阴影部分面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查七巧板的知识点，根据七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，最小的等腰直角三角形的面积等于正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的．阴影的面积总面积空白的面积，从而求出阴影部分面积． 【详解】解：根据七巧板的结构可知，分成的最小等腰直角三角形面积=正方形面积的，小正方形的面积正方形面积的； ∴阴影部分的面积之和 ． 故选：A． 【变式9-2】七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴， 故答案为：3． 【变式9-3】 如图，把图①中的七巧板，拼成图②的长方形，如果图①中阴影部分是边长为1的正方形，则图②中长方形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键；根据阴影部分的边长得出大长方形的长和宽即可． 【详解】∵阴影部分是边长为1的正方形， ∴拼成的大长方形的长为4，宽为2 ∴长方形的周长为 故答案为：12． 【变式9-4】七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】本题主要考查了七巧板的问题： （1）根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的，从而得到，即可求解； （2）根据①与②的面积之和为8，①与③与⑤与⑦的面积之和为8，③与④与⑤与⑥与⑦的面积之和为8，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴； （2）解：如图， 【考点题型十 几何体展开图的认识】 【例10】如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（   ） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】A 【分析】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱柱，圆柱． 故选：A． 【变式10-1】图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的展开图，掌握棱柱的特点及展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：①②③能围成棱柱，④围成棱柱时，有两个面重合，不能围成棱柱， 故选：C． 【变式10-2】下列各硬纸片分别沿虚线折叠，得不到长方体纸盒的是 ．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】此题考查了展开图折叠成长方体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 由平面图形的折叠及展开图解题． 【详解】解∶①和②可以折叠成，③和④有重叠的面不可以折成， 故答案为：③④． 【变式10-3】一个直六棱柱，侧棱长为，底面各边长均为，则它的侧面展开图形面积是 【答案】120 【分析】本题考查了几何体的侧面积，解题的关键是确定几何体侧面是什么图形．根据题意可知该正六棱柱的侧面是6个长为，宽为的长方形，然后根据长方形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：， 即侧面展开图形面积是． 故答案为：120． 【变式10-4】（1）如图（1）所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某几条棱剪开，展成一个平面图形，则①～④中，可能是该长方体展开图的有 ；（请填写序号） （2）图（2）、图（3）分别是（1）中长方体的两种展开图，求得图（2）的外围周长为52，请你求出图（3）的外围周长． 【答案】（1）①，②；（2）58 【分析】本题考查了长方体展开图，熟练掌握长方体展开图的特征是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，即可解答； （2）观察图形可知，图（3）有4条高，4个宽，6条长，即可解答． 【详解】解：（1）由图可知，可能是该长方体展开图的有①②， ③只有5个面，不能围成长方体，④有7个面，且折叠后有面重叠，不是长方体展开图， 故答案为：①②； （2）由图可知：图（3）的外围周长． 【考点题型十一 由展开图计算几何体的表面积】 【例11】有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【答案】C 【分析】本题考查的是几何体的表面积，掌握正方体的特征是解题的关键．一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面． 【详解】解：一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面，因此表面积不变． 故选：C． 【变式11-1】如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【详解】解：塑料膜的面积． 故选：C． 【变式11-2】一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 【答案】 【分析】本题考查棱柱侧面积计算，熟练掌握几何体表面积计算是解题关键．五棱柱有个面为侧面，然后按照棱柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵该棱柱是直五棱柱， ∴这个棱柱的所有侧面面积之和为：， 所有棱长和为 故答案为：，． 【变式11-3】如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是，底面圆的直径是，则这个笔筒的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积为，其中为底面圆直径，为圆柱的高是解题的关键． 根据笔筒的侧面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，笔筒的侧面积为 ， 故答案为：． 【变式11-4】如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 【考点题型十二 由展开图计算几何体的体积】 【例12】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 【变式12-1】如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 【变式12-2】如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为 ． 【答案】8 【分析】根据展开图，得长方体的高是1，宽是，长是，根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得长方体的高是1，宽是，长是， 长方体的容积是， 故答案为：8． 【变式12-3】如图，是一个几何体的表面展开图，请用字母表示该几何体的体积为 ．    【答案】 【分析】本题考查立体图形的平面展开图还原为立体图形，并求体积，根据平面展开图可知立体图形为长方体，由长方体的体积公式代值求解即可得到答案，发挥空间想象能力，将平面展开图还原为立体图形是解决问题的关键． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知，该立体图形为长方体， 该长方体的底面长为，宽为，高为，即用字母表示该几何体的体积为， 故答案为：． 【变式12-4】综合实践，某小组利用长为acm，宽为bcm长方形纸板制作长方体盒子或正方体盒子．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：如图1，若，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ccm的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 动手操作二：如图2，若，先在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，再沿虚线折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． (1)图1中无盖长方体纸盒的底面积是______；（用含有a、c的代数式表示） (2)当时，求该无盖长方体纸盒的体积； (3)请在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（阴影表示），标出正方形与长方形的长和宽，并用虚线表示折痕； (4)由图2，你发现当a与b之间满足怎样的数量关系时，在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 (4)当在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． 【分析】本题考查了列代数式及求值，基本几何图形的性质与正方体的展开图． （1）根据图形可知无盖长方体纸盒的底边长为，据此即可求解； （2）根据长方体的体积公式求解即可； （3）实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开图中选择合适的剪出形状即可； （4）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得，，化简得到，即可可解答． 【详解】（1）解：由题意，无盖长方体纸盒的底面积是； 故答案为：； （2）解：当时， 该无盖长方体纸盒的体积为； （3）解：根据题意，所画图形如图所示：   ； （4）解：由图形可得：，， ∴， ∴． ∴当时，在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． 【考点题型十三 正方体几种展开图的识别】 【例13】如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，由正方体展开图的特征得出结论，熟练掌握正方体的展开图是解此题的关键． 【详解】解：由正方体展开图的特征得出，当折成纸盒时，与数2重合的数是6， 故选：A． 【变式13-1】如图所示的正方体的展开图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图．解决问题的关键是观察图形发现画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上． 从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上．据此选出符合这一特征的展开图就可以了． 【详解】解：从立体图形看，画有三角形、圆、平行线的三个面是相邻的，彼此都不在相对的位置上． 选项A中的展开图，画有三角形、圆、平行线的三个面相邻，彼此都不在相对的位置上，但平行线位置不符合，故不符合上述特征； 选项B中的展开图，画有三角形、圆、平行线的三个面相邻，彼此都不在相对的位置上，且符合视图，符合上述特征； 选项C中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征； 选项D中的展开图，画有三角形和平行线的两个面在相对的位置上，不符合上述特征； 故选：B． 【变式13-2】如图，四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中，能拼成正方体的位置有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正方体展开图的识别，熟知正方体11种展开图是解题的关键． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体； 正方形B与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体； 正方形C与实线部分的五个正方形符合“132”型，能围成正方体； 正方形D与实线部分的五个正方形符合“33”型，能围成正方体； ∴能拼成正方体的位置有3个， 故答案为：3． 【变式13-3】如图，正方体中每个面印有不同数字，在展开图中的值可以等于3的是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，根据正方体的表面展开图，同时与1，2相连的两个面是展开b或c，即可解答． 【详解】解：同时与相连的两个面是展开或，则图中的值可以等于3的是或 故答案为：或． 【变式13-4】（1）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）在图中增加1个小正方形使得所得图形经过折叠后能够围成一个正方体，请任意补全一种符合要求的展开图． 【答案】（1）见解析；（2）见解析（画出一种即可） 【分析】本题考查了从不同方向看几何体以及正方体的平面展开图，熟知正方形的几种平面展开图是解本题的关键． （1）根据正面看，左面看的图形，根据各行、各列对应的立方体的个数进行画图． （2）结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【考点题型十四 正方体相对两面上的字】 【例14】今年的10月1号是第75个国庆节，为了庆祝“国庆”，小轩制作了一个正方体灯笼，六个面上写有“祝福祖国万岁”，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“福”字相对的字是（   ） 祝 福 万 国 岁 祖 A．祖 B．国 C．万 D．岁 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “福”与“国”是对面； 故选：B． 【变式14-1】巴黎奥运会于北京时间月日盛大开幕．如图，小明将“庆祝奥运会！”分别写在一个正方体的展开图上，把展开图折叠成正方体后，与“奥”字相对的汉字是（   ）          A．庆 B．祝 C．运 D．会 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图相对面上的字，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征，从图中可以看出折叠后的正方体中“祝”与“会”相对，“运”与“！”相对，“奥”与“庆”相对． 【详解】解：从图上可以看出，折叠后“祝”、“运”、“会”、“！”都与“奥”相邻， 只有“庆”与奥相对． 故选：A． 【变式14-2】如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“我”字所在面相对的面上的汉字是 ．    【答案】数 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字的知识，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“我”与“数”是相对面， 故答案为：数． 【变式14-3】正方体的六个面分别标有1、2、3、4、5、6六个数，如图是从不同角度观察到的图形，请你判断与1相对的面上的数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正方体相对面上的字，根据6与2、3、4、5相邻，可得6的对面是1． 【详解】解：由第一个正方体可得，数字6和4，5相邻； 由第三个正方体可得，数字6和2，3相邻； ∴数字6相对面上的数字是1，即与1相对的面上的数字是6． 故答案为：6． 【变式14-4】【问题情境】某综合实践小组计划进行废物再利用的环保小卫士活动．他们准备用废弃的宣传单制作成装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图(1)，图形 经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒．(填A，B，C，或D) (2)如图(2)是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后与“保”字所在面相对的面上的文字是 ． (3)如图(3)，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华将其四个角各剪去一个边长为4cm小正方形后，折成无盖长方体纸盒．求这个无盖长方体纸盒的底面积和容积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)这个无盖长方体纸盒的底面积为144 cm2，容积为576 cm3 【分析】本题主要考查了正方体的展开和折叠， 对于（1），根据正方体的折叠逐项判断； 对于（2），将正方体折叠可得各面相对的字，进而得出答案； 对于（3），画出示意图，再根据面积和体积计算公式计算即可． 【详解】（1）要围成一个无盖正方体纸盒，说明展开图有5个面，选项A不能制作成无盖正方体纸盒；选项B有4个面，不符合题意；选项D有6个面，不符合题意，只有选项C中的图形符合题意． 故选：C． （2）将正方体折叠可知“小”字对“环”字，“保”字与“卫”字． 故答案为：卫； （3）正方形四个角各剪去一个小正方形后，如图所示． 因为剪去的小正方形的边长为4cm， 所以无盖长方体纸盒的底面积为，容积为． 答：这个无盖长方体纸盒的底面积为144 cm2，容积为576 cm3． 【考点题型十五 含图案的正方体的展开图】 【例15】如图所示的正方体的展开图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式15-1】如图所示的正方体的展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的展开图，通过观察和动手操作即可做出选择． 【详解】A.无图案，不符合题意； B、C折成正方形后，两个有斜线的面相对，不符合题意；. D. 折成正方形后，两个有斜线的面相邻，符合题意， 故选：D． 【变式15-2】如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，熟练掌握其展开图的特点是解决此题的关键． 【详解】将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒， 则和重合，和重合，和重合， 故答案为：． 【变式15-3】如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是 ．      ① 　②　③　④   【答案】④ 【分析】根据正方体的表面展开图进行分析解答即可． 【详解】根据正方体的表面展开图， ①选项两条黑线在一列，折叠后成对面了，故①错误； ②选项两条相邻成直角，故②错误； ③选项正视图的斜线方向相反，故③错误； ④选项符合条件； 故答案为：④． 【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 【变式15-4】如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 【答案】（1）D；（2）C 【分析】根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图． 【详解】（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项； （2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项 【点睛】本题考查了含图案的正方体的表面展开图，找到图案的特征与位置对应关系是解题的关键． 【考点题型十六 求展开图上两点折叠后的距离】 【例16】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【变式16-1】如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【变式16-2】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【变式16-3】如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形的顶点A、B在图2围成的小正方体上的距离是 ．    【答案】1 【分析】本题考查了展开图折成几何体，判断出A、B两点在正方体上的位置是解题关键．由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点，据此即可得到答案． 【详解】解：由展开图折叠成几何体可知，正方体上的顶点A、B是同一棱上的两个端点， 即A、B的距离是正方体的棱长1， 故答案为：1． 【变4式16-】某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 【考点题型十七 补一个面使图形围成正方体】 【例17】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 【变式17-1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【变式17-2】小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 【答案】③ 【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知． 【变式17-3】如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 【变式17-4】图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 【答案】画图见解析 【分析】正方体的展开图一共有种，其中型有种，型有种，型有种，型有种，根据以上展开图的形态结合已知图形可得答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$