专题02 代数式（考题猜想，易错压轴必刷66题22种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题02 代数式（易错压轴题必刷66题22种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式表示 题型二 单项式的相关概念 题型三 单项式规律题 题型四 多项式的相关概念 题型五 多项式的升（降）幂排列 题型六 整式的判断 题型七 数字类规律探索 题型八 图形类规律探索 题型九 代数式的值 题型十 合并同类项 题型十一 去括号 题型十二 整式的加减运算 题型十三 整式加减的应用 题型十四 整式加减中的化简求值 题型十五 整式加减中的无关型问题 题型十六 整式中的新定义计算 题型十七 数字类规律压轴题 题型十八 图形类规律压轴题 题型十九 整式的加减运算压轴题 题型二十 整式加减的应用压轴题 题型二十一 无关型整式加减运算 题型二十二 整式加减的新定义运算 一．代数式表示 1．已知两个完全相同的大长方形，长为，宽为，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图（1）、图（2），那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 2．一个三位数,个位上的数字是a，十位上的数字是个位上数字的平方,百位上的数字是个位上数字的立方，则这个三位数是 3．用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 二．单项式的相关概念 1．下列各式中，是单项式的有（   ） ①；②15；③；④；⑤；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有 ．（填序号） 3．判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 三．单项式规律题 1．有一组按一定规律排列的单项式：，…．第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．有一列单项式按规律排成，，，， （1）请写出第10个单项式： ． （2）请写出第个单项式（为正整数）： ． 3．有一列单项式：，，，，，，， (1)你能说出这一列单项式的排列规律吗？ (2)写出第个单项式； (3)写出第个单项式． 四．多项式的相关概念 1．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 3．对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 五．多项式的升（降）幂排列 1．关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．次数为 B．按的降幂排列为 C．常数项为 D．按的升幂排列为 2．把多项式按字母升幂排列后，第三项是 ． 3．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 六．整式的判断 1．在代数式，，，，，，中（    ） A．有3个单项式，2个多项式 B．有4个单项式，3个多项式 C．有6个整式 D．有7个整式 2．在式子2024，，，，中，整式的个数是 个． 3．在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 七．数字类规律探索 1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（    ） A． B． C． D． 2．一列数，，，…，，其中则，，，…，，则 ． 3．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 八．图形类规律探索 1．如图是一组有规律的图案，第个图案中有个基本图形，第个图案中有个基本图形，第个图案中有个基本图形……，按这样的规律排列下去，第个图案中基本图形的个数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为 ． 3．实践探究： 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1)当有7张桌子时，第一种方式能坐________人，第二种方式能坐_____人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你通过计算，选择以上一种合适的方式来摆放餐桌． 九．代数式的值 1．已知时，代数式的值是2，当时，代数式的值等于（） A． B．4 C．2 D． 2．已知，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是16，则 ． 3．【教材呈现】下题是某版本七年级上册数学教材的部分内容． C组：代数式：的值为9．则代数式的值为． 【阅读理解】 小伟在做作业时采用的方法如下： 由题意得， 则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，求代数式的值． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． (3)若，求代数式的值． 一十．合并同类项 1．若代数式与是同类项，则常数n的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．若单项式与的和仍然是一个单项式，则 ． 3．合并同类项： (1)； (2)． 一十一．去括号 1．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 2．去括号： ． 3．化简： (1) (2) 一十二．整式的加减运算 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如；则所捂住的多项式是 ． 3．计算： (1) (2) 一十三．整式加减的应用 1．如图1，把一个长为、宽为的长方形（），沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．图1所示的长方形周长 B．图2所示的大正方形方形周长 C．图2阴影部分所表示的小正方形边长 D．图2空白部分的周长 2．将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内、使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则的值为 ． 3．小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）． (1)用含a、b、c的代数式分别表示，，； (2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由． 一十四．整式加减中的化简求值 1．已知，则代数式的值是（    ） A．9 B．11 C． D． 2．若，则的值为 ． 3．先化简，再求值：，其中 一十五．整式加减中的无关型问题1．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，求的值（  ） A． B．1 C．3 D． 2．若的值与字母的值无关，则的值是 ． 3．已知，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 一十六．整式中的新定义计算 1．定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则（ ） A． B． C． D． 2．定义：若，则称与是关于2的平衡数． （1）3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式） （2）若，a与b关于2的平衡数，则 ．（填一个含x的代数式） 3．定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 一十七．数字类规律压轴题 1．材料一：杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列是意大利数学家菜昂纳多—斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数）．结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：________； (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，10，…记，，，，…则________；________（用表示）：________． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用表示）． 2．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 3．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 一十八．图形类规律压轴题 1．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 2．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 3．将正方形（如图）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形． (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有________个正方形； (2)继续划分下去，第次划分后图中共有________个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果________．（直接写出答案即可） 一十九．整式的加减运算压轴题 1．【阅读理解】 若代数式的值为7，则代数式的值为________． 小明在做这道题时采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以． 所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为6，则代数式的值________． （2）当时，代数式的值为5，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，则代数式的值为________． 2．阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并_； (2)已知，求的值； (3)已知，求代数式的值． 3．【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； 【拓展探索】（3）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 二十．整式加减的应用压轴题 1．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 2．问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 3．数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 二十一．无关型整式加减运算 1．一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 2．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且满足． (1) ， ． (2)若使两点的距离是两点的距离的2倍，则需将点向左移动 个单位长度． (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒； ①点表示的数分别是 、 、. （用含的代数式表示）； ②若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求出此时的值． 3．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 二十二．整式加减的新定义运算 1．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 2．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值． 3．同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算： ；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号______，异号______，并把绝对值______特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得______； ②计算：______； ③若，则______，______； (2)化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题02 代数式（易错压轴题必刷66题22种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式表示 题型二 单项式的相关概念 题型三 单项式规律题 题型四 多项式的相关概念 题型五 多项式的升（降）幂排列 题型六 整式的判断 题型七 数字类规律探索 题型八 图形类规律探索 题型九 代数式的值 题型十 合并同类项 题型十一 去括号 题型十二 整式的加减运算 题型十三 整式加减的应用 题型十四 整式加减中的化简求值 题型十五 整式加减中的无关型问题 题型十六 整式中的新定义计算 题型十七 数字类规律压轴题 题型十八 图形类规律压轴题 题型十九 整式的加减运算压轴题 题型二十 整式加减的应用压轴题 题型二十一 无关型整式加减运算 题型二十二 整式加减的新定义运算 一．代数式表示 1．已知两个完全相同的大长方形，长为，宽为，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图（1）、图（2），那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，表示出、、、之间的关系，然后得出a=4y，b=3y．即可得出a、b之间的关系. 【详解】解：设图中小长方形的长为，宽为，大长方形的宽为， 由图（1）得； 由图（2）得，， 则， ∴=， ∴. 故选． 【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，正确得出图形中边长之间的和倍关系是解题关键． 2．一个三位数,个位上的数字是a，十位上的数字是个位上数字的平方,百位上的数字是个位上数字的立方，则这个三位数是 【答案】 【分析】根据题意写出该三位数的十位数字和百位数字，再写出这个三位数即可. 【详解】个位上的数字是a，十位上的数字是个位上数字的平方， 所以十位上的数字为； 百位上的数字是个位上数字的立方，所以百位上的数字为； 所以该三位数为 故答案为 【点睛】本题考查列代数表示三位数，熟练掌握数字表示方式是解题关键. 3．用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) (6) 【分析】（）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （）用长方形的长除以计算出长方形的宽，再根据长方形的周长和面积公式即可解答； （）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （）先求出平行四边形的高，然后利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：加法结合律：， 故答案为：； （2）解：乘法结合律：， 故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：， 故答案为：； （4）解：长方形的宽是：， 周长是：， 面积是：， 故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：， 故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示运算定律，长方形周长和面积公式，列代数式，平行四边形的面积公式，解题的关键是熟练掌握相关内容． 二．单项式的相关概念 1．下列各式中，是单项式的有（   ） ①；②15；③；④；⑤；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的定义是解题关键．根据数与字母的积组成的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，进行一一判断即可求解． 【详解】解：①是单项式； ②15是单项式； ③是等式； ④是单项式； ⑤是不等式； ⑥是单项式， 即是单项式的有4个， 故选：B． 2．有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题题主要考查了单项式 ，解题关键是明确单项式的概念；根据数与字母的乘积的形式表示的代数式叫作单项式，逐个进行判断即可． 【详解】①，是单项式； ②，是单项式； ③，不是单项式； ④，是单项式； ⑤1，是单项式； ⑥，不是单项式； ⑦，分母含有未知数不是整式，故不是单项式； ⑧，分母含有未知数不是整式，故不是单项式． 故答案为：①②④⑤． 3．判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1)是单项式，系数是，次数是4． (2)是单项式，系数是，次数是6． (3)是单项式，系数是，次数是4． (4)是单项式，系数是，次数是5． (5)是单项式，系数是，次数是1． (6)不是单项式． (7)不是单项式． 【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键． （1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π是表示圆周率，是数字不是字母； （6）是多项式，不是单项式； （7）不是单项式． 【详解】（1）是单项式，系数是，次数是4． （2）是单项式，系数是，次数是6． （3）是单项式，系数是，次数是4． （4）是单项式，系数是，次数是5． （5）是单项式，系数是，次数是1． （6）不是单项式． （7）不是单项式． 三．单项式规律题 1．有一组按一定规律排列的单项式：，…．第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式规律，解题的关键是分别找到系数和次数的规律． 【详解】解：根据题意可得： 单项式的系数依次为：，则第个单项式系数为， 单项式字母a的指数为连续自然数，且第一个单项式的次数为2，则第个单项式次数为， 第个单项式为：， 故选：B． 2．有一列单项式按规律排成，，，， （1）请写出第10个单项式： ． （2）请写出第个单项式（为正整数）： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律探究；根据单项式可知它们的系数的分母是从3开始的连续奇数，系数的分子是从2开始的连续偶数，的指数是系数的分子、分母的和，得出第10个单项式以及第个单项式，即可求解． 【详解】解：（1）根据单项式可知它们的系数的分母是从3开始的连续奇数，系数的分子是从2开始的连续偶数，的指数是系数的分子、分母的和， 故第10个单项式为， 故答案为：． （2）由（1）可得第个单项式为． 故答案为：． 3．有一列单项式：，，，，，，， (1)你能说出这一列单项式的排列规律吗？ (2)写出第个单项式； (3)写出第个单项式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查单项式规律探究； （1）观察发现，奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，系数的绝对值以及的指数均与式子的次序相同； （2）根据规律写出第2024个单项式； （3）根据规律写出第n个单项式． 【详解】（1）解：观察这一列单项式： ，，，，，，， 发现它们的排列规律：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，系数的绝对值以及的指数均与式子的次序相同． （2）由（1）知第个单项式为：． （3）由（1）知，第(是正整数)个单项式为． 四．多项式的相关概念 1．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①； ②0是单项式； ③是单项式； ④不是多项式； ⑤是多项式； ⑥不是多项式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①④ ①③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式．根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：（1）属于单项式的有③；⑤0；⑥n； 故答案为：③⑤⑥； （2）属于多项式的有①；④； 故答案为：①④； （3）属于整式的有①；③；④；⑤0；⑥n． 故答案为：①③④⑤⑥． 3．对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 五．多项式的升（降）幂排列 1．关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．次数为 B．按的降幂排列为 C．常数项为 D．按的升幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的意义． 若干个单项式的和组成的式子叫做多项式；每个单项式叫做多项式的项；这些单项式中的最高次数就是这个多项式的次数；把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列；由此逐一判断即可． 【详解】解：A、多项式的次数是次，此选项不符合题意； B、按的降幂排列是，此选项符合题意； C、常数项为，此选项不符合题意； D、按的升幂排列是，此选项不符合题意； 故选：B ． 2．把多项式按字母升幂排列后，第三项是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了多项式的项．把多项式按字母升幂排列后即可得到答案． 【详解】解：多项式按字母升幕排列为，则第三项是， 故答案为： 3．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【答案】(1)升幂 (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义． （1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解； （2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列； （3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列． 【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的， 故答案为：升幂； （2）解：多项式按照y的降幂重新排列为； （3）解：多项式按照y的升幂重新排列为． 六．整式的判断 1．在代数式，，，，，，中（    ） A．有3个单项式，2个多项式 B．有4个单项式，3个多项式 C．有6个整式 D．有7个整式 【答案】A 【分析】本题考查多项式、单项式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 数与字母的乘积形式是单项式，单独一个数或一个字母是单项式，几个单项式的和是多项式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，，，，中， 单项式有，，，共3个； 多项式有，，共2个； 整式有，，，，，共5个． 故选：A． 2．在式子2024，，，，中，整式的个数是 个． 【答案】4/四 【分析】此题考查了整式的概念，掌握整式的概念是解题的关键，单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念，对每个式子逐个进行判断，即可求解． 【详解】解：2024是单项式，为整式； 是单项式，为整式； 是多项式，为整式； 分母含有未知数，不是整式； 是多项式，为整式； 所以整式个数为4， 故答案为：4． 3．在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0， 【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式． 【详解】解：分母中含有字母，不属于整式， 单项式：，，0； 多项式：，； 整式：，，，0，． 【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键． 七．数字类规律探索 1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：，两个三角形数分别表示为和，所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值． 【详解】解：根据规律：正方形数可以用代数式表示为：， 两个三角形数分别表示为和，只有D符合． 故选：D． 2．一列数，，，…，，其中则，，，…，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到的值． 本题考查数式规律问题，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， 由上可得，这列数依次以，，循环出现， ， ， 故答案为：． 3．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)55 (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的乘方运算，解题的关键是得出数字的一般规律及有理数的乘方运算； （1）根据题干所给算式可进行求解； （2）由（1）及题意可得规律，然后代入进行求解即可； （3）根据规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：第⑧条算式为； 故答案为； （2）解：根据（1）中规律得： 原式 ； （3）解：由题意得： 八．图形类规律探索 1．如图是一组有规律的图案，第个图案中有个基本图形，第个图案中有个基本图形，第个图案中有个基本图形……，按这样的规律排列下去，第个图案中基本图形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式——图形的变化规律，找到变换规律是解题的关键．根据前三个图形中基础图形的个数得出第个图案中基础图形的个数即可解答． 【详解】解：第个图案由个基础图形组成， 第个图案由个基础图形组成， 第个图案由个基础图形组成， …， 第个图案由个基础图形组成， 第个图案中基本图形有：个， 故选：C． 2．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题， 根据题意得出变化规律，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得； ； ， ∴． ∴． 故答案为：120． 3．实践探究： 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1)当有7张桌子时，第一种方式能坐________人，第二种方式能坐_____人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你通过计算，选择以上一种合适的方式来摆放餐桌． 【答案】(1)30；18 (2)； (3)选择第一种方式 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有7张桌子时，第一种摆放方式能坐(人)， 第二种摆放方式能坐(人)． 故答案为：30；18； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是人； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即人． 故答案为：；； （3）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：60张桌子一共可以坐(人)； 第二种方式：60张桌子一共可以坐(人)； ∵， ∴选择第一种方式． 九．代数式的值 1．已知时，代数式的值是2，当时，代数式的值等于（） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是代数式求值，掌握题干关系是解题关键．直接将代入得出，进而将代入得出答案即可． 【详解】解：时，代数式的值是2， ， 当时， 代数式 ． 故选：C． 2．已知，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是16，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，倒数，相反数，绝对值．先根据“，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是16”得到，，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是16， ∴，，， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 3．【教材呈现】下题是某版本七年级上册数学教材的部分内容． C组：代数式：的值为9．则代数式的值为． 【阅读理解】 小伟在做作业时采用的方法如下： 由题意得， 则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，求代数式的值． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． (3)若，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由原等式可得出，整体代入中求值即可； （2）由原等式可得出，将所求式子变形为，再整体代入求值即可； （3）将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由得：， 则； （2）解：由得：， 则； （3）解：因为， 所以 ． 一十．合并同类项 1．若代数式与是同类项，则常数n的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．直接利用同类项的定义解答即可． 【详解】解：代数式与是同类项，则， 解得：． 故选：B． 2．若单项式与的和仍然是一个单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义和代数式求值，根据题意可得单项式与是同类项，再由同类项的定义求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与的和仍然是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 3．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同类项以及合并同类项． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； 一十一．去括号 1．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．根据去括号法则、添括号法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，变形正确，故此选项不符合题意； B、，变形正确，故此选项不符合题意； C、，变形错误，故此选项符合题意； D、，变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．去括号： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号的法则，掌握去括号法则是解题的关键． 去括号时，括号前面是负号，去掉括号后，括号内各项符号改变；括号前面是正号时，去掉括号后，括号内各项符号不变，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用去括号法则合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键． （1）先去括号，然后找出同类型合并即可； （2）按照先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一十二．整式的加减运算 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如；则所捂住的多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意列出算式，进而根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，所捂住的多项式是 ， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，进行解答，即可． （1）根据整式的加减运算，先去小括号，然后合并同类项，进行解答，即可； （2）根据整式的加减运算，先去小括号，然后合并同类项，进行解答，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 一十三．整式加减的应用 1．如图1，把一个长为、宽为的长方形（），沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．图1所示的长方形周长 B．图2所示的大正方形方形周长 C．图2阴影部分所表示的小正方形边长 D．图2空白部分的周长 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，正方形的判定和性质，拼图的几何意义，熟练掌握拼图的意义是解题的关键． 设小正方形的边长为x，则剪下的小长方形的长为n，宽为x，较大长方形的另一边为，结合图2，大长方形的长为，阴影部分的宽为，上端来自剪下的大长方形宽为，根据矩形的性质，正方形的判定和性质，计算判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x，则剪下的小长方形的长为n，宽为x，较大正方形的边长为，结合图2，大正方形的长为或， ∴， ∴， 图1所示的长方形周长，故A选项正确，不符合题意； ， 图2所示的大正方形方形周长，故B选项正确，不符合题意； 图2阴影部分所表示的小正方形边长，故C选项错误，符合题意； 图2空白部分的周长，故D选项正确，不符合题意； 故选C． 2．将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内、使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用．根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）． (1)用含a、b、c的代数式分别表示，，； (2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)最节省丝带的打包方式为③． 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减． （1）观察分析可得，可把该题看作与长，宽，高平行的丝带分别有几条，再求和即可； （2）通过比较（1）中计算出来的三种方式所用的丝带总长来判断． 【详解】（1）解：丝带的长度为：； 丝带的长度为：； 丝带的长度为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴； ， ∴； ∴最节省丝带的打包方式为③． 一十四．整式加减中的化简求值 1．已知，则代数式的值是（    ） A．9 B．11 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，通过整式的加减计算法则求出，再把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选D． 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减混合运算法则．先根据整式的加减混合运算法则将原式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式， 故答案为：64． 3．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及求值， 先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： 把代入，得． 一十五．整式加减中的无关型问题 1．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，求的值（  ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项是关键．先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项，二次项系数为0求解即可． 【分析】解： ， 关于，的多项式与差不含二次项， ，， ，， ． 故选：A． 2．若的值与字母的值无关，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项以及代数式求值，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．先把多项式进行合并同类项得，由于的值与无关，即不含的项，所以，然后解出计算它们的积即可． 【详解】解： ， 的值与的值无关， 解得， 故答案为：． 3．已知，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的非负性； （1）根据去括号，合并同类项，化简成最简形式，再根据非负数的和为，每一个非负数都是，求出的值，最后可得答案； （2）根据多项式的值与无关，可得的系数等于零，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：∵的值与的值无关， ∴与的值无关， ∴，解得． 一十六．整式中的新定义计算 1．定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据余数的情况确定出即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， … ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴． 故选：A． 2．定义：若，则称与是关于2的平衡数． （1）3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式） （2）若，a与b关于2的平衡数，则 ．（填一个含x的代数式） 【答案】 【分析】（1）根据定义即可求出答案． （2）根据定义，则，即可作答． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 【详解】解：（1）设3与是关于2的平衡数， ， ， 设与是关于2的平衡数， ， ． 故答案为：，； （2）依题意， ∵，a与b关于2的平衡数， ∴ ∴ 故答案为： 3．定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 一十七．数字类规律压轴题 1．材料一：杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列是意大利数学家菜昂纳多—斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数）．结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：________； (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，10，…记，，，，…则________；________（用表示）：________． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用表示）． 【答案】(1)6，32，； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了规律型一数字的变化类，数学常识，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为，令中， ，，由展开式得，从而即可得解； （2）总结规律得，，代入求解即可； （3）总结规律得，再由，，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为， 多项式展开式共有项，各项系数和为， 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为， 令中， ， 由展开式得； 故答案为：6，32，； （2）解：， ， ， ，， ， ； 故答案为： ． （3）解：， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即． 2．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【答案】(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 3．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出两个连续奇数乘积的倒数与两个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出规律． 【详解】（1）解：由规律可得，第④个等式为；第个等式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 一十八．图形类规律压轴题 1．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 2．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 【答案】(1)表格补充完整见解析； (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有个． 【分析】（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，由（）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数； 本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 （2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个， ∴当圆环串由个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）解：当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个， ∴空心圆圈有个． 3．将正方形（如图）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形． (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有________个正方形； (2)继续划分下去，第次划分后图中共有________个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)； (2)； (3)不能，理由见解析； (4)． 【分析】（）探究规律，利用规律即可解决问题； （）探究规律，利用规律即可解决问题； （）构建方程即可解决问题； （）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可求解； 本题考查了图形的规律，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，找到图形的变化规律． 【详解】（1）解：∵第一次可得个正方形，第二次可得个正方形，第三次可得个正方形， ∴第次可得个正方形， ∴第次可得， 故答案为：； （2）解：由()得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）解：不能． 理由：由， 解得 ， ∵不是整数， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形； （4）解：由题意得，， 故答案为：． 一十九．整式的加减运算压轴题 1．【阅读理解】 若代数式的值为7，则代数式的值为________． 小明在做这道题时采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以． 所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为6，则代数式的值________． （2）当时，代数式的值为5，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，则代数式的值为________． 【答案】[阅读理解]5；（1）14；（2）；（3）26 【分析】[阅读理解]直接读取题干信息，作答即可． （1）由题意，得到，整体代入代数式中，得到结果； （2）由题意，化简得到，代入所求代数式中，得到结果； （3）把两式相减，即可得到结果． 本题考查了整式的加减运算，以及化简求值，熟练整式加减运算法则，读懂题目中整体代入的方法应用是解题的关键． 【详解】解：[阅读理解]依题意得， 则有， ∴． ∴代数式的值为5． 故答案为：5； （1） 故答案为：14； （2）∵当时，代数式的值为5， ∴， ∴， ∵当时， ∴ ； （3）∵，， ∴， 故答案为：26． 2．阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并_； (2)已知，求的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2024 (3)5 【分析】本题主要考查了代数式求值，理解并掌握“整体思想”是解题关键． （1）把看成一个整体，然后合并运算即可； （2）将整理为，然后将代入求值即可； （3）将整理为，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴． 3．【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； 【拓展探索】（3）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】（1）（2）2019（3）128 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，整体思想的运用是解答本题的关键． （1）把看成一个整体合并同类项即可； （2）由题意得，把，代入整理可得答案； （3）先求出大小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， 把，代入，得； （3）观察图形可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵， ∴． 二十．整式加减的应用压轴题 1．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是解答本题的关键． （1）方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数5，进而最大的数9，和最小的数1加上5，就组成一列，然后是8，5，2，接着是7，5，3，最后是6，5，4，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等． （2）设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填写表格后即可证． （3）根据题意填写即可． 【详解】（1）解：如下图：（答案不唯一） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）解：正确，理由如下： 设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为， 正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍， 设正中间的数为x， 填表如下， 则，即； （3）解：如下图：（答案不唯一） 2．问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 【答案】（1）18450，填图见详解 （2） （3）2852 （4） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键． （1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据有理数的乘法可得，，由此即可求解； （3）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可； （4）根据题意，，令，可得，，根据表格计算有理数乘法运算即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示，填图如下， ∴； （2）根据图示， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）根据（2）可得，如图所示， ∴计算结果为； （4）根据题意，， ∴令， ∴，， 如图所示， ∴， 故答案为：． 3．数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【答案】(1)0，0； (2)，，0； (3)选A时，，理由见解析；选B时，，理由见解析； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，如图3中，结论：．设，则，，，代入计算即可；选B时，如图4中，结论：．设，则，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：． 将图2中的方框移动到图1中的其他位置， 通过计算可以发现的值均为0， 故答案为：0，0； （2）解：设，则，，． ． 的值均为0． 故答案为：，，0； （3）解：选择：A； 如图3中，结论：． 理由：设，则，，， ； 选择：B； 如图4中，结论：． 理由：设，则，，， ． 二十一．无关型整式加减运算 1．一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 【答案】（1）六，四；（2）；（3）． 【分析】（1）根据一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，即可解答； （2）计算出，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出，的值，即可解答； （3）先将关于的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出、的值，进而求出当时，该多项式的值． 【详解】解：（1）为六次四项式； 故答案为：六，四； （2）， 中不含二次项， ，， ，， ； （3）． 是关于的二次多项式 ，即． 又当时，原代数式的值是 解得：． 关于的二次多项式 当时，原式． 【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念． 2．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且满足． (1) ， ． (2)若使两点的距离是两点的距离的2倍，则需将点向左移动 个单位长度． (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒； ①点表示的数分别是 、 、. （用含的代数式表示）； ②若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求出此时的值． 【答案】(1)， (2)1或9 (3)①；；；②当时，的值不会随着时间的变化而改变，此时的值为8 【分析】（1）由，根据平方及绝对值的非负性可得，，据此可求得的值； （2）先求出和的长度，结合数轴即可得出点向左移动的距离，有两解； （3）①结合“路程时间速度”写出答案；②根据①先表示出、，从而表示出，然后根据的值不会随着时间的变化而改变得出的系数为0，即可求出的值，继而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：，； （2）由数轴可知，， ∵两点的距离是两点的距离的2倍， ∴， 当点在点右侧时，可有， 当点在点左侧时，可有， ∴点向左移动后的数是3或， ∴需将点向左移动1或9个单位； 故答案是：1或9； （3）①点表示的数是，点表示的数是，点所表示的数是． 故答案是：；；； ②∵点表示的数是，点表示的数是，点所表示的数是， ∴，， ∴， ∵的值不会随着时间的变化而改变， ∴，解得， 故当时，的值不会随着时间的变化而改变，此时的值为8． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离及动点问题、一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点之间距离公式，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 3．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是； (2)0或； (3)2；2； (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数a、b（）的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点C的位置，得出满足条件的值； （3）设运动t秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含t的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“n是正整数”求出n、t即可； （4）设点Q表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用m、n、表示的代数式，再由“点Q运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数m、n满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为6，， ，， ， 原点是“关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为6，， ， 若点是“关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，设运动秒， 则A表示的数，B表示的数， 原点O恰好是“关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为4的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“关联点”，此时的值为2， 故答案为：2；2； （4）点在A、之间运动，且不与A、两点重合，作“整2关联点”，记为，作“整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 二十二．整式加减的新定义运算 1．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2）是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3）是“和谐有理数对”，理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 故答案为：是． 2．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值． 【答案】(1)是 (2)或 (3)的最大值为，的最小值 【分析】本题主要考查了数字的变形的规律，数轴，绝对值， （1）利用收纳系数的定义解答即可； （2）利用收纳系数的定义，分别用分数乘以数组各个数字，求出最大乘积与最小乘积的差，与比较判断即可； （3）利用收纳系数的定义求出的最大值，再依据值和收纳系数的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴取为示数的点，为表示数1的点．那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示， ∴是数组P：，，的收纳系数， 故答案为：是； （2）解：∵，，，， ∴不可能为1； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴不可能为； 故答案为：或； （3）解：这100个数是连续整数， 数组中的最大的数与最小数之差为99， 的最大值． 的最大值为； 当中间的数字为0时，的值最小， ， 第50个或第51个数字为0时，的值最小． 当50个数字为0时，，， ； 当51个数字为0时，，， ． 综上，的最大值为，相应的的最小值． 3．同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算： ；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号______，异号______，并把绝对值______特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得______； ②计算：______； ③若，则______，______； (2)化简：． 【答案】(1)①取正，取负，相加，绝对值；②；③， (2)当或时，原式 ；当时，原式 ；当或时，原式 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的加减； （1）①根据已知算式得出法则：两数进行（加乘）运算，同号得正、异号得负，并把绝对值相加； ②依据所得法则计算可得； ③根据求出，，再代入计算即可求解． （2）分情况讨论的符号，再根据新定义进行计算即可求解． 【详解】（1）①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号取正，异号取负，并把绝对值相加；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得绝对值． 故答案为：取正，取负，相加，绝对值； ②． 故答案为：； ③∵， ∴， 解得， 故答案为：，． （2）当时，，当时， 当时， 当时，， 当时，， ∴当或时， 当时， 当时，； 当时， 综上所述，当或时，原式；当时，原式 ；当或时，原式 $$