精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校四校期中联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

亿利东方学校2024-2025学年第一学期学科素养期中综合评价九年级数学试卷 分值：100分　时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 与轴没有交点 D. 与轴交于点 3. 下列说法正确的是( ). A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 过圆心的线段是直径 4. 已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（　　） A. （﹣6，﹣5） B. （6，5） C. （6，﹣5） D. （5，﹣6） 5. 将抛物线的顶点平移到，则平移的方式为（ ） A. 向左平移7个单位长度 B. 向右平移7个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 6. 若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. . C. D. 7. 2016年国内某地产公司投资破8亿元,连续两年增长后,2018年国内地产投资破9．5亿元,设这两年平均地产投资年平均增长率为x,根据题意,所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图，点A、B的坐标分别为和,一条抛物线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），它的顶点可在线段上运动，在运动过程中点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ( ) A. B. 1 C. 5 D. 11 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知二次函数，顶点坐标为________． 12. 将抛物线化成顶点式为______． 13. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连结．若，则的度数为______． 14. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则弦________． 15. 已知点，是二次函数上的两点，若，则__． 16. 二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④； ⑤．其中，正确的是 ___________． 三、解答题（共52分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出向左平移个单位长度后得到的； （2）请画出点关于原点的对称点，并写出点的坐标； （3）若直线经过点和点，求直线的解析式． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 19. 如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙． （1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ （2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 20. 某商品每件进价为元，当销售单价为元时，每天可以销售件．市场调查发现：销售单价每提高元，日销售量将会减少件，物价部门规定该商品销售单价不能高于元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件），与存在一次函数关系； （1）与的函数关系式为_______； （2）要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）要使得日销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 21. 如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若，，求正方形的边长． 22. 如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23. 如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接，，设的面积为，求的值； （3）如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； （4）如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亿利东方学校2024-2025学年第一学期学科素养期中综合评价九年级数学试卷 分值：100分　时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据中心对称图形的概念可得：图形B不是中心对称图形． 故选：B． 2. 关于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 与轴没有交点 D. 与轴交于点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：对称轴为直线x=-1，故A错误； B：当时，随的增大而减小，故B正确； C：顶点坐标为(-1,-2)，开口向上，所以与x轴有交点，故C错误； D：当x=0时，y=-1，故D错误； 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 3. 下列说法正确的是( ). A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 过圆心的线段是直径 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的有关概念，熟练掌握圆的概念是解题的关键．根据元的概念一一判断即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，所以A，D选项错误； 圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确； 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，故C错误； 故选B． 4. 已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（　　） A. （﹣6，﹣5） B. （6，5） C. （6，﹣5） D. （5，﹣6） 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】解：∵点P的坐标是（﹣6，5）， ∴P点关于原点的对称点的坐标是（6，﹣5）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特点是解题的关键． 5. 将抛物线的顶点平移到，则平移的方式为（ ） A. 向左平移7个单位长度 B. 向右平移7个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴平移的方式为向右平移1个单位长度， 故选：D． 6. 若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. . C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的性质进行分析即可. 【详解】∵b＜0， ∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交， 故排除A、C选项， B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限， ∴a＞0， 二次函数开口向上， 故D选项不符合题意， ∵a＞0，b＜0时， 对称轴x=-＞0，B选项符合题意． 故选B． 【点睛】考核知识点：二次函数的图象. 7. 2016年国内某地产公司投资破8亿元,连续两年增长后,2018年国内地产投资破9．5亿元,设这两年平均地产投资年平均增长率为x,根据题意,所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这两年地产投资年平均增长率为x，根据2016年及2018年用于地产投资的金额，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设这两年地产投资年平均增长率为x， 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的两个交点坐标可得抛物线的对称轴为直线，再根据顶点坐标设解析式为，把代入求出a，即可得到解析式． 【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线与x轴的交点坐标为和， ∴对称轴为， ∵桥墩的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入上式得，， ∴， ∴该抛物线的表达式为， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据函数图象反映的信息求出解析式是解题的关键． 9. 已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题意得出代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A 10. 如图，点A、B的坐标分别为和,一条抛物线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），它的顶点可在线段上运动，在运动过程中点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ( ) A. B. 1 C. 5 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性是关键； 点C取横坐标为，抛物线顶点为A时，抛物线顶点为B时，分别求出点D的横坐标，进而即可求解 【详解】当点C取横坐标为时，抛物线顶点为A，对称轴为，此时D点横坐标为5；当点C取横坐标为时，抛物线顶点为B时，抛物线对称轴为，此时D点横坐标为11，故点D的横坐标最大值为11； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知二次函数，顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 12. 将抛物线化成顶点式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】解：由抛物线可化为顶点式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 13. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连结．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转得到，，，即可得到，结合即可得到答案； 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内外角关系，解题的关键是得到等腰直角三角形． 14. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则弦________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长． 【详解】解：∵CE=2，DE=8， ∴OB=5， ∴OE=3， ∵AB⊥CD， ∴在△OBE中，得 ∴AB=2BE=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 15. 已知点，是二次函数上的两点，若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的图象和性质，直接利用二次函数的性质求解可得． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④； ⑤．其中，正确的是 ___________． 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图像与坐标轴的交点逐项判断即可． 【详解】解：由图像可知，当时，， ， ， 则 ①不正确； 当时，与轴有两个交点，则； ②正确； 时，，即； ③正确； 对称轴， ∴， ④正确； 时，． 故⑤正确； 故答案为：②③④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（共52分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出向左平移个单位长度后得到的； （2）请画出点关于原点的对称点，并写出点的坐标； （3）若直线经过点和点，求直线的解析式． 【答案】（1） 如图所示，为所求； （2） 如上图所示，点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换和旋转变换作图以及运用待定系数法求一次函数解析式． （1）利用平移的性质得出对应点的位置进而作图即可； （2）利用原点对称点的性质得出对应点位置并作图即可； （3）设直线的解析式为，把点和点代入直线，解方程组即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的解析式为，代入，； 则， 所以，，， 所以，直线的解析式为． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 19. 如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙． （1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ （2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为15米，宽为10米 （2）不能 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为． 【小问2详解】 解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米． 20. 某商品每件进价为元，当销售单价为元时，每天可以销售件．市场调查发现：销售单价每提高元，日销售量将会减少件，物价部门规定该商品销售单价不能高于元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件），与存在一次函数关系； （1）与的函数关系式为_______； （2）要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）要使得日销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应定为元 （3）要使得日销售利润最大，销售单价应定为元，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）由题意与存在一次函数关系，得到，即可解得； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设日销售利润为，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意， 故答案为： ． 【小问2详解】 解：由题意 解得：（舍去） 答：销售单价应定为元． 【小问3详解】 解：设日销售利润为，根据题意得 ∵，且 ∴当时，取得最大值，最大为 答：要使得日销售利润最大，销售单价应定为元，最大利润为元． 21. 如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得： 四边形是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设正方形的边长为，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 22. 如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）利用弧中点的定义可得，由垂径定理可得，由此可证明结论； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵C为弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 设圆的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 23. 如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接，，设的面积为，求的值； （3）如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； （4）如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4）存在，和 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点作轴于，交于点，根据，则，进而根据三角形面积公式，进行计算即可求解； （3）根据点，，，得出，，，在中，根据勾股定理，在中，，，根据勾股定理逆定理得出即可； （4）根据题意分点在下方、在的延长线上取一点，使 ，作出，连接，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于，点在上方，延长到，使，连接并延长交轴于，作出，两种情况求出点，和点的坐标，进而利用待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵交坐标轴于，两点， 当时，，则点， 当时，， 解得，点， ∵， ∴ ，解得， ∴二次函数解析式为：； 【小问2详解】 过点作轴于，交于， ∵，在直线：上， ∴ ∴ ∵， ∴ 【小问3详解】 证明：点，点，， ，，， ， 在中，根据勾股定理＝， 在中，， （）， ，即， ， 是直角三角形； 【小问4详解】 存在点，使． 当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使 ，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于 ，，， ， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ∴， 设的解析式为：， ， 解得：，， 的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 当点在轴上方的抛物线上时： 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点，设交抛物线于点， 轴，， ，， 同理可得，的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 综上所述：存在抛物线上点，使，直线的解析式为： 和． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和性质，一次函数解析式，三角形面积的最值，直线的位置关系，一元二次方程，三角形全等判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用辅助线作出准确图形，熟练掌握所需知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $