第30课 角和角的度量-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第30课 角和角的度量 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识角的有关概念. 2.会用符号、字母表示角. 3.掌握度、分、秒单位及其换算. ( 知识精讲 ) 知识点01 角的相关概念 1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边. 2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个） 知识点02 角的度量 角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′ ( 能力拓展 )考点01 角的相关概念 【典例1】如图，下列表示角的方法，错误的是（　　） A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC也可用∠O来表示 C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 【思路点拨】A：根据角的表示方法判断即可． B：只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以∠AOC不能∠O来表示，据此判断即可． C：根据角的概念，判断出图中一共有多少个角即可． D：根据角的表示方法判断即可． 【解析】解：∵∠1与∠AOB表示同一个角， ∴选项A正确． ∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角， ∴∠AOC不能∠O来表示， ∴选项B错误． ∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC， ∴选项C正确． ∵∠β表示的是∠BOC， ∴选项D正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了角的表示方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． 【即学即练1】图中，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来．以D为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来． 【思路点拨】先找到图中角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，不要漏数也不要多数． 【解析】解：以B为顶点的角有3个，分别是：∠ABD、∠ABC、∠DBC， 以D为顶点的角有4个，分别是∠ADE、∠EDC、∠ADB、∠BDC． 【点睛】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，除用三个大写字母表示外，也可用数字或希腊字母来表示，但需在靠近顶点处加上弧线． 考点02 角的度量 【典例2】计算：25.205°＝25° 　12　′　18　″． 【思路点拨】根据度、分、秒的换算方法，利用角度制的进率为60进行求解即可． 【解析】解：∵0.205°＝0.205×60′＝12.3′，0.3′＝0.3×60″＝18″ ∴25.205°＝25°12′18″， 故答案为：12；18． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的换算，掌握角度制的进率为60以及核算方法是正确解答的关键． 【即学即练2】计算： （1）47°53′43″+53°47′42″； （2）92°56′3″﹣46°57′54″． 【思路点拨】（1）先度分秒分别相加，再根据满60进1的原则求出即可； （2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可． 【解析】解：（1）47°53′43″+53°47′42″ ＝100°100′85″ ＝101°41′25″； （2）92°56′3″﹣46°57′54″ ＝91°+115′+63″﹣46°﹣57′﹣54″ ＝45°+58′+9″ ＝45°58′9″． 【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角且角表示正确的图形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【解析】解：A．该图可用∠1、∠AOB表示，不能用∠O表示，故此选项错误，不符合题意； B．该图可用∠1、∠AOB、∠O表示，故此选项正确，符合题意； C．该图可用∠1、∠AOB表示，不能用∠O表示，故此选项错误，不符合题意； D．该图可用∠1、∠AOB表示，不能用∠O表示，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表示． 2．如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 【思路点拨】根据射线和角的表示方法即可判断求解． 【解析】解：A．∠AOC不可以用∠O表示，原说法错误，不符合题意； B．这条射线记作射线OB，原说法错误，不符合题意； C．∠2与∠COB是同一个角，说法正确，符合题意； D．∠AOC＝∠AOB+∠2，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了射线和角的表示方法，掌握射线和角的表示方法是解题的关键． 3．下列图形中所标识的角，能同时用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据角的表示方法对各选项的图形中所表示的角逐一进行判断即可得出答案． 【解析】解：对于选项A，图形中所标识的角，能同时用∠AOB，∠1两种方法表示， 故选项A不符合题意； 对于选项B，图形中所标识的角，能同时用∠AOB，∠1两种方法表示， 故选项B不符合题意； 对于选项C，图形中所标识的角，能同时用∠AOB，∠1两种方法表示， 故选项C不符合题意； 对于选项D，图形中所标识的角，能同时用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角的表示方法，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解决问题的关键． 4．如图所示，∠1还可以表示为（　　） A．∠A B．∠CAD C．∠BAC D．∠BAD 【思路点拨】根据角的表示方法解答即可． 【解析】解：∠1还可以表示为∠CAD， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的概念，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． 5．用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据量角器的使用方法解答． 【解析】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的概念，用量角器度量角的度数，量角器的正确、熟练使用是关键． 6．若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（　　） A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′ 【思路点拨】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解． 【解析】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是关键． 7．如图，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【思路点拨】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可． 【解析】解：根据题意可知，钟表上的时间下午3：30时， 时针位于3与4中间，分针指到6上，中间夹2.5份， ∴时针与分针的夹角是：30°×2.5＝75°． 故选：D． 【点睛】本题考查了钟面角，掌握钟面角的计算方法是关键． 8．如图，则图中共有 　6　个角． 【思路点拨】图中找角时要不重不漏，以OA为一边分别和OB，OC，OD组成3个角，再以OB为一边和OC，OD组成两个角，最后OC，OD两边组成一个角．共6个角． 【解析】解：图中角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，共6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角的概念，复杂图形中识别角，关键是不重不漏． 9．在图中，分别用α、β、γ标注∠AOC、∠DOE、∠COD． 【思路点拨】根据角的表示方法即可得到结论． 【解析】解：如图所示： 【点睛】本题考查了角的概念，正确地表示出各角是解题的关键． 10．计算26°45′＝　26.75　°． 【思路点拨】根据度分秒的进制计算，即可解答． 【解析】解：∵1°＝60′， ∴45′＝0.75°， ∴26°45′＝26.75°， 故答案为：26.75． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 11．80°37′12″+26°45′36″＝　107°22′48″　． 【思路点拨】根据1°＝60′，1′＝60″，即可解答． 【解析】解：80°37′12″+26°45′36″＝106°82′48″＝107°22′48″， 故答案为：107°22′48″． 【点睛】本题考查了角度的运算，掌握度分秒的换算是解题关键． 12．计算：77°42′+32°48′＝　110.5　°． 【思路点拨】根据度分秒的进制进行计算即可解答． 【解析】解：77°42′+32°48′ ＝109°90′ ＝110°30′ ＝110.5°． 故答案为：110.5． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 13．计算： （1）131°28′﹣32′15″； （2）58°38′27″+47°42′40″． 【思路点拨】（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【解析】解：（1）原式＝130°55′45″ （2）58°38′27′+47°42′40″＝106°21′7″ 【点睛】此题考查了度分秒的计算，度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 题组B 能力提升练 14．下列四条射线中，表示北偏西30°方向的是（　　） A． B．C． D． 【思路点拨】根据方向角的定义，即可解答． 【解析】解：根据方向角的定义，表示北偏西30°方向的是C选项． 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义． 15．已知：∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠B＝∠C C．∠A＝∠C D．三个角互不相等 【思路点拨】根据小单位华大单位除以进率，可得答案． 【解析】解：∠A＝35°12′＝25.2°＝∠C＞∠B， 故选：C． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，小单位华大单位除以进率是解题关键． 16．将一个20°的角放在10倍的放大镜下看，其度数是（　　） A．20° B．2° C．200° D．无法判断 【思路点拨】因为角是从同一点引出的两条射线组成的图形，它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系． 【解析】解：由分析可知：一个角度数为20度，在10倍的放大镜下观察，这个角的度数为20度， 故选：A． 【点睛】本题考查了角的概念，掌握从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角是解题的关键． 17．钟表在12时15分时的时针和分针所成的角是（　　） A．90° B．85° C．82.5° D．85.5° 【思路点拨】根据时钟12时15分时，时针在12与1之间，分针在3上，可以得出分针与时针相隔2个大格，每一大格之间的夹角为30°，可得出结果． 【解析】解：∵钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°， ∴时钟12时（15分）时，时针在12与1之间，分针在3上， ∴分针与时针的夹角是230°＝82.5°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°，是解决问题的关键． 18．将23°6'36″化为度是 　23.11°　． 【思路点拨】根据“1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行换算即可． 【解析】解：23°6'36″ ＝23°+（）°+（）° ＝23°+0.1°+0.01° ＝23.11°． 故答案为：23.11°． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 19．计算： （1）48°39'+67°31'； （2）23°53'×2﹣17°43'． 【思路点拨】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解析】解：（1）48°39'+67°31' ＝115°70′ ＝116°10′； （2）23°53'×2﹣17°43' ＝46°106′﹣17°43′ ＝29°63′ ＝30°3′． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 20．下列运算正确的是（　　） A．34.5°＝34°30' B．98°45'+2°35'＝100°80' C．108°18'﹣52°28'＝55°80' D．24°24'＝24.04° 【思路点拨】利用度分秒之间的进率计算各式即可． 【解析】解：34.5°＝34°30'，则A符合题意； 98°45'+2°35'＝101°20'，则B不符合题意； 108°18'﹣52°28'＝55°50'，则C不符合题意； 24°24'＝24.4°，则D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键． 21．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东60°方向行走，乙沿南偏东30°方向行走，行驶中乙始终在甲的（　　） A．北偏东15°方向上 B．南偏西15°方向上 C．北偏东30°方向上 D．南偏西20°方向上 【思路点拨】根据方向角的定义和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：如图， 由题意得，∠AOD＝60°，∠BOE＝30°，OA＝OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵∠OAC＝∠AOD＝60°， ∴∠BAC＝15°， ∴乙始终在甲的南偏西15°方向上． 故选：B． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 22．如图，解答下列题目： （1）写出能用一个字母表示的角； （2）写出以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？请全部列出． 【思路点拨】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【解析】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C； （2）以B为顶点的角有3个：∠ABE，∠ABC，∠EBC； （3）图中小于平角的角有7个：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC． 【点睛】本题考查了角的概念，从一点引出两条射线组成的图形就叫做角，角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字． 23．看图回答． （1）小红家在超市 　南　偏 　西30　°方向 　280　米处． （2）小明家在超市 　北　偏 　东65　°方向 　350　米处． （3）描述从小明家经过超市到小红家的行走路线． 【思路点拨】（1）根据方向角的定义及小红家距离超市280米即可得出答案； （2）根据方向角的定义及小明家距离超市350米即可得出答案； （3）根据方向角的定义及小明家距离超市350米，红家距离超市280米即可得出答案． 【解析】解：（1）小红家在超市南偏西30°方向280米处， 故答案为：南；西30°；280． （2）小明家在超市北偏东65°°方向350米处， 故答案为：北；东65°；350． （3）从小明家出发，沿南偏西65°方向走350米到达超市，从超市出发沿南偏西30°方向走280米到达小红家． 【点睛】此题主要考查了方向角，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第30课 角和角的度量 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识角的有关概念. 2.会用符号、字母表示角. 3.掌握度、分、秒单位及其换算. ( 知识精讲 ) 知识点01 角的相关概念 1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边. 2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个） 知识点02 角的度量 角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′ ( 能力拓展 )考点01 角的相关概念 【典例1】如图，下列表示角的方法，错误的是（　　） A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC也可用∠O来表示 C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 【即学即练1】图中，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来．以D为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来． 考点02 角的度量 【典例2】计算：25.205°＝25° 　　′　　″． 【即学即练2】计算： （1）47°53′43″+53°47′42″； （2）92°56′3″﹣46°57′54″． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列图形中能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角且角表示正确的图形是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 3．下列图形中所标识的角，能同时用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，∠1还可以表示为（　　） A．∠A B．∠CAD C．∠BAC D．∠BAD 5．用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（　　） A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′ 7．如图，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 8．如图，则图中共有 　　个角． 9．在图中，分别用α、β、γ标注∠AOC、∠DOE、∠COD． 10．计算26°45′＝　　°． 11．80°37′12″+26°45′36″＝　 　． 12．计算：77°42′+32°48′＝　 　°． 13．计算： （1）131°28′﹣32′15″； （2）58°38′27″+47°42′40″． 题组B 能力提升练 14．下列四条射线中，表示北偏西30°方向的是（　　） A． B．C． D． 15．已知：∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠B＝∠C C．∠A＝∠C D．三个角互不相等 16．将一个20°的角放在10倍的放大镜下看，其度数是（　　） A．20° B．2° C．200° D．无法判断 17．钟表在12时15分时的时针和分针所成的角是（　　） A．90° B．85° C．82.5° D．85.5° 18．将23°6'36″化为度是 　 　． 19．计算： （1）48°39'+67°31'； （2）23°53'×2﹣17°43'． 题组C 培优拔尖练 20．下列运算正确的是（　　） A．34.5°＝34°30' B．98°45'+2°35'＝100°80' C．108°18'﹣52°28'＝55°80' D．24°24'＝24.04° 21．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东60°方向行走，乙沿南偏东30°方向行走，行驶中乙始终在甲的（　　） A．北偏东15°方向上 B．南偏西15°方向上 C．北偏东30°方向上 D．南偏西20°方向上 22．如图，解答下列题目： （1）写出能用一个字母表示的角； （2）写出以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？请全部列出． 23．看图回答． （1）小红家在超市 　 　偏 　 　°方向 　 　米处． （2）小明家在超市 　 　偏 　 　°方向 　 　米处． （3）描述从小明家经过超市到小红家的行走路线． 学科网（北京）股份有限公司 $$