精品解析：河南省南阳市邓州市2024-2025学年上学期期中质量评估九年级数学试题

邓州市2024∽2025学年第一学期期中质量评估九年级 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大答题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 若是最简二次根式，则可以是（ ） A. B. 10 C. 12 D. 18 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ） A. 商的算术平方根性质 B. 分数的基本性质 C. D. 5. 用配方法解方程时，配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，在内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最上面两层最多能摆放（ ）个小正方形纸片 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________． 13. 如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则___． 14. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 15. 如图，在矩形中，，，，将沿着折叠，若点B的对应点F恰好落在矩形的对角线上，则a的值为_______________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解决下面问题： （1）计算：4； （2）解方程：． 17. 如图，在中，点D是边上一点．以C为圆心适当长度为半径画弧，与、交于P、Q，以点D为圆心长度为半径画弧与交于点M，再以M为圆心长度为半径画弧交前一条弧于点N，经过点N画射线交边于点E． （1）根据以上尺规作图可得 ；（填“”或“”或“”） （2）在（1）的基础上，若，．，求的长． 18. 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） （2）观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； （3）请证明你的猜想； （4）应用运算规律计算：． 19. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：． 20. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，邓州市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金600万元，2023年比2021年投入资金多264万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个50万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加20%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小芳在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为米；然后，小明在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得为米，为3米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上． （1）直接写出 ； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 22. 在数学实践课上，同学们用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽18cm的长方形硬纸片，裁去四个角上同样大小的小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）如图2，若纸盒的底面积为288cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为472cm2，请计算剪去的正方形的边长． 23. 教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本67页有这样一道练习题： 如图，在中，，，垂足为D．找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ① ∵ ∴（依据 ② ） ∴ ③ ∴ 请完成填空：① ；②依据是 ；③ ； （2）结论运用：如教材上图，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，点D为坐标原点，当，时，则点B坐标为 ； （3）拓展提升：如图，在中，，，垂足为D，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．若，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2024∽2025学年第一学期期中质量评估九年级 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大答题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 若是最简二次根式，则可以是（ ） A. B. 10 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、若，则，没有意义，故不可以是； B、若，则，它是最简二次根式，故可以是10； C、若，则，不是最简二次根式，故不可以是12； D、若，则，不是最简二次根式，故不可以是18． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 3. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：， ，，； ∴选项A、C、D正确， 故选：B． 4. 小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ） A. 商的算术平方根性质 B. 分数的基本性质 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，还涉及算术平方根和分数的基本性质．从解答过程中分析，找出对应的知识点即可． 【详解】解：A、，这里用到商的算术平方根性质，故不符合题意； B、，这里用到分数的基本性质，故不符合题意； C、没有用到，故符合题意； D、，这里用到，故不符合题意， 故选：C． 5. 用配方法解方程时，配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：D． 6. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．关于的方程中， ， ∴方程有实数根，故该选项不符合题意； B．关于的方程中， ∴方程有实数根，故该选项不符合题意； C．关于的方程中， ， ∴方程有两个实数根，故该选项不符合题意； D．关于的方程中， ， ∴原方程没有实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 7. 为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得， ，即 故选：D． 9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 运用网格图中隐藏的条件证明四边形为平行四边形，接着证明，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出． 【详解】解：如图： 由题意可知，，， ，而， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ． 故答案为：C． 10. 如图，在中，，，在内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最上面两层最多能摆放（ ）个小正方形纸片 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，首先求得斜边上的高线的长度，即可确定小正方形的层数，然后确定每排层的个数即可． 【详解】解：如图，过点C作于点F，最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与的边交于D、E，连接． 在中，，， ∴， ∵过点C作于点F， ∴， ∴小正方形可以排3排， 由题意可知和是等腰直角三角形，每一排两边的小三角形是直角边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴最下边一层是4个正方形， 第二层是个正方形； 第三层是：个； ∴实际只能放两层，最上面两层最多能摆放：． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、等角对等边等知识，利用三角形中位线性质得到，，利用中点定义得到，再利用平行线的性质和角平分线得到，则，即可得到的长度． 【详解】解：∵点D、E分别为的中点，， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵平分交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，，，将沿着折叠，若点B的对应点F恰好落在矩形的对角线上，则a的值为_______________． 【答案】12或 【解析】 【分析】如图：当在对角线上，根据矩形的性质及折叠的性质得：、、，进而可在中由勾股定理求出，由，则，据此可在中利用勾股定理构造关于的方程求解即可．如图：当在对角线上，证明，然后根据相似三角形的性质列式即可解答． 【详解】解：①如图：当在对角线上，连接， ∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质得：、、， ∵对应点落在矩形的对角线上， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． ②如图：当在对角线上，连接， ∵将沿着折叠，若点的对应点落在矩形的对角线上， ， ∴是的垂直平分线，即， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，即，解得：， 综上，的值为12或． 故答案为：12或． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握图形的折叠变换以及运用勾股定理构造方程是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解决下面问题： （1）计算：4； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）x1＝，x2＝2． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及解一元二次方程，熟练掌握运算法则及一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）先算乘除，再算加减，最后结果化简成最简二次根式； （2）用因式分解法把方程化成即可求解． 【小问1详解】 解：原式＝ 2 ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 所以，． 17. 如图，在中，点D是边上一点．以C为圆心适当长度为半径画弧，与、交于P、Q，以点D为圆心长度为半径画弧与交于点M，再以M为圆心长度为半径画弧交前一条弧于点N，经过点N画射线交边于点E． （1）根据以上尺规作图可得 ；（填“”或“”或“”） （2）在（1）的基础上，若，．，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及基本的尺规作图—作一个角等于已知角，熟知相关知识点是正确解决本题的关键． （1）由作法可知，即可得答案； （2）证明，得对应成比例的线段即可求解． 【小问1详解】 解：由作法可知， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，． ． 由作图可知， 又， ∴ ∴， 即． 解得． . 18. 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） （2）观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； （3）请证明你的猜想； （4）应用运算规律计算：． 【答案】（1）； （2）； （3） 解：， 等式左边 等式右边； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【小问1详解】 解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解： ． 19. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】（1）换元，降次，转化； （2） 【解析】 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． （1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； （2）令，得，用因式分解法解方程求出y的值，再求出的值． 【小问1详解】 解：将设为，利用的是换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案是：换元，降次，转化； 【小问2详解】 解：令，则， ， 或． 解得：， 当时，，即，解得：， 当时，，即， ， ∴此方程实数根； 综上：方程的解是． 20. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，邓州市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金600万元，2023年比2021年投入资金多264万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个50万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加20%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 【答案】（1）该市改造小区投入资金的年平均增长率为； （2）该市在2024年最多可以改造17个小区． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据数量关系列式求解即可； （2）设该市在2024年可以改造y个小区，根据数量关系列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得： ，即：， 解得：，=﹣2.2（舍去）， 答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该市在2024年可以改造y个小区， 依题意得：， 解得：， 又∵y为整数， ∴y的最大值为17． 答：该市在2024年最多可以改造17个小区． 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小芳在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为米；然后，小明在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得为米，为3米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上． （1）直接写出 ； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2）24米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意利用三角形相似即可求值； （2）根据题意可证，得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 答：学校旗杆的高度为24米． 22. 在数学实践课上，同学们用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽18cm的长方形硬纸片，裁去四个角上同样大小的小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）如图2，若纸盒的底面积为288cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为472cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）3cm （2）2cm 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设剪去的正方形的边长为，根据数量关系列式求解即可； （2）设剪去的正方形的边长为，根据数量关系列式求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，依题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：剪去的正方形的边长为； 【小问2详解】 解：设剪去的正方形的边长为，依题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的正方形的边长为． 23. 教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本67页有这样一道练习题： 如图，在中，，，垂足为D．找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ① ∵ ∴（依据 ② ） ∴ ③ ∴ 请完成填空：① ；②依据是 ；③ ； （2）结论运用：如教材上图，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，点D为坐标原点，当，时，则点B坐标为 ； （3）拓展提升：如图，在中，，，垂足为D，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．若，若，，求的长． 【答案】（1）①；②有两角相等的两个三角形相似；③ （2） （3） 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、平面直角坐标系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意解答即可； （2）根据勾股定理求出，根据（1）中，求出，从而得出，即可解答． （3）证明，从而得出，由（1）知，从而得出，证出，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：根据题中解答步骤可得：①；②有两角相等的两个三角形相似；③． 【小问2详解】 解：若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，点D为坐标原点，当，时， 则， ∴， 根据（1）可得， ∴， ∴， 则点B坐标为． 【小问3详解】 解：， ， ∴， ， 由（1）知， ， ∴， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $