专题01 实数及其运算（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 6.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 7.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 8.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 9.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 10.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。 11.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 有理数 考向一 数轴、绝对值与相反数 考向二 有理数的四则运算 考向三 有理数的乘方与科学计数法 实数 考向一 实数的表示与大小比较 ★考向二 二次根式与实数的运算 考点一 有理数 ►考向一 数轴、绝对值与相反数 易错易混提醒 1.相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 2.绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。 3.倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 1.（2022陕西）的相反数是（    ） A． B．37 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-37的相反数是37． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数，掌握定义是解题的关键．即只有符号不同的两个数，称其中一个是另一个的相反数． 2.（2020陕西）﹣18的相反数是（　　） A．18 B．﹣18 C． D．﹣ 【答案】A 【分析】在数轴上，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数，根据相反数的定义可以判断答案． 【详解】解：﹣18的相反数是18． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，题目比较简单，掌握相反数的定义是解决本题的关键． ►考向三 有理数的四则运算 易错易混 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加 3.（2023陕西）计算：（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】 先根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】 解：． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了有理数的减法法则，熟知：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 4.（2021陕西）计算：（   ） A．1 B．-1 C．6 D．-6 【答案】D 【分析】根据有理数的运算法则可直接进行求解． 【详解】解：； 故选D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． ►★考向三 有理数的乘方运算与科学计数法 解题技巧/易错易混 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 ★用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。 5.（2020陕西）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　） A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：990870＝9.9087×105， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 考点二 实数 ►考向一 实数的表示与大小比较 解题技巧/易错易混 1.无理数常见的形式主要有四种： ①一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数． 注意：看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…是无理数． ②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． ③开方开不尽的数(等). ※④特殊三角函数值(sin60°，cos45°等) 2.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则； （5）平方法：设a、b是两负实数，则. 3.平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：①包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. ②只有非负数才有平方根和算术平方根. ③0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别：①个数不同:一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. ②表示法不同:平方根表示为±，而算术平方根表示为 6.（2022陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a ．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【详解】解：如图所示：-4＜b＜-3，1＜a＜2， ∴， ∴ ． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． ►★考向二 二次根式与实数的运算 解题技巧/易错易混 1.最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式 2.二次根式的化简：（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0） 3.二次根式的乘除：（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0） 4.二次根式的加减：合并同类项 5.实数的混合运算解题步骤： ①先计算乘方、去绝对值、化简二次根式 ②去括号 ③合并同类项 7.（2022陕西）计算： ． 【答案】 【分析】先计算，再计算3-5即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简是解答本题的关键． 8.（2024陕西）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 9.（2023陕西）计算：． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式＝﹣57+|﹣8| ＝﹣51． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 10.（2022陕西）计算：． 【答案】 【分析】先算绝对值、算术平方根，零指数幂，再算乘法和加减法，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和运算法则是解题的关键． 11.（2024陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 12.（2021陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ． -1 -6 1 0 a -4 -5 2 -3 【答案】-2 【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a的值． 【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功． 1.（2024西安·一模）目前正值冬春交替季节，昼夜温差较大．青青所在的城市某天上午气温上升记作，那么该城市这天傍晚气温下降应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：气温上升记作， 气温下降记作； 故选：D． 2.（2024西安·模拟）小戴同学的支付宝账单中，收入3元表示为元，那么支出2元可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用．根据题意可知，收入为“”，支出为“”，据此即可得到答案． 【详解】解：如果收入3元，记作“元”，那么支出2元，记作：元， 故选：D． 3.（2024咸阳·模拟）已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义 【分析】点与原点之间的距离即到原点的距离．本题考查了数轴，关键是掌握用绝对值求两点间距离． 【详解】解：依题意，， ∴则点A与原点之间的距离为2 故选：D． 4.（2024•绥化）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：D． 5.（2024•大庆）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意； B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意； C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意； D、和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 6.（2024宝鸡·二模）计算：（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：A． 7. 我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、特殊三角形的三角函数、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：，是负数，共2个， 故选：B． 8. 已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的应用，理解题意是解题的关键．根据高于中位数1分记作分，即可得到答案． 【详解】解：高于中位数1分记作分， 故于中位数1分应记作分， 故选B． 9．大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，由题意知，每行、每列及每条对角线上的3个数之和为，则由第三行可得“梦”表示的数，由第一行可得“中”“国”两字表示的数之和，最后求得结果． 【详解】解：由于一条对角线的数分别为，则其和为，第三行“梦”表示的数为，第一行“中”“国”两字表示的数之和为，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是； 故选：B． 10．《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：A． 11．幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字，，，0，1，2，3，那么“♥”所在的格中应填的数字是 ． 1 3 0 ♥ 【答案】4 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据所给数的特征，可知第一行和第二列的3个数字之和都相等，进而得出答案． 本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】如表所示： 1 x 3 0 ♥ 由题意得， 解得， 故答案为：4． 12．“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为，则，即可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则． 13．（2024安康·二模）如图，数轴上的两个点分别表示和m，若这两个点之间的距离为5，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，数轴数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：由数轴得，表示m的点在表示的点的右边， 所以， 故答案为：2． 14．（2024咸阳·模拟）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数运算．先计算算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2024咸阳·模拟）据陕西省国资委报道，2023年，省属企业充分发挥“顶梁柱”“压舱石”作用，实现营业收入同比增长，利润总额超出年度目标任务元，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵ 故答案为： 16．（2024榆林·三模）5月18日，2024年国际博物馆日中国主会场活动开幕式在陕西历史博物馆秦汉馆举行，在某网站搜索“2024国际博物馆日中国主会场”，显示找到相关结果约15700000个，将数据15700000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握形式是解题的关键．即科学记数法表示数的一般形式为，其中，n为正整数．确定a，n的值，即可得出答案． 【详解】15700000大于1，用科学记数法表示为其中， ∴．15700000用科学记数法表示为， 故答案为：． 17．（2024渭南·三模）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则直接计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 18．“植”此青绿，共建美丽中国向“新”而行．今年，“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”被写进了2024年政府工作报告．今年全国计划完成国土绿化任务1亿亩，其中，造林5400万亩．数据5400万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：5400万， 故答案为： 19． ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂和算术平方根的意义，先根据零指数幂和算术平方根的意义化简，再算加减． 【详解】解：． 故答案为：． 20．计算： ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、化简绝对值 【分析】本题考查的是负整数指数幂，先根据绝对值的性质及负整数指数幂计算出各数，再进行计算即可．熟知非零数的负整数指数幂等于该数正整数指数幂的倒数是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 21．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为 . 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题主要考查了古代数字的表示，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 先表示这个数，然后根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：图②中的数为：， ∴． 故答案为：． 22．计算； 【答案】； 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算；根据特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解； 【详解】解：原式 23．计算：； 【答案】4； 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算．先化简算术平方根、绝对值、负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： 24．计算： 【答案】1 【知识点】实数的混合运算、化简绝对值、零指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解：原式， ． 故答案为：1 25．（2024广西）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 26．（2024广东）计算：． 【答案】2 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 27．计算： 【答案】7 【知识点】化简绝对值、求一个数的立方根、负整数指数幂 【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减． 【详解】 ． 28．计算：． 【答案】1 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、零指数幂 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根．熟练掌握绝对值，零指数幂，算术平方根是解题的关键． 先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 29．计算： 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 30．计算：． 【答案】0 【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 31．计算：． 【答案】2 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 6.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 7.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 8.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 9.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 10.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。 11.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 有理数 考向一 数轴、绝对值与相反数 考向二 有理数的四则运算 考向三 有理数的乘方与科学计数法 实数 考向一 实数的表示与大小比较 ★考向二 二次根式与实数的运算 考点一 有理数 ►考向一 数轴、绝对值与相反数 易错易混提醒 1.相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 2.绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。 3.倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 1.（2022陕西）的相反数是（    ） A． B．37 C． D． 2.（2020陕西）﹣18的相反数是（　　） A．18 B．﹣18 C． D．﹣ ►考向三 有理数的四则运算 易错易混 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加 3.（2023陕西）计算：（   ） A．2 B． C．8 D． 4.（2021陕西）计算：（   ） A．1 B．-1 C．6 D．-6 ►★考向三 有理数的乘方运算与科学计数法 解题技巧/易错易混 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 ★用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。 5.（2020陕西）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　） A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103 考点二 实数 ►考向一 实数的表示与大小比较 解题技巧/易错易混 1.无理数常见的形式主要有四种： ①一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数． 注意：看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…是无理数． ②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． ③开方开不尽的数(等). ※④特殊三角函数值(sin60°，cos45°等) 2.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则； （5）平方法：设a、b是两负实数，则. 3.平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：①包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. ②只有非负数才有平方根和算术平方根. ③0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别：①个数不同:一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. ②表示法不同:平方根表示为±，而算术平方根表示为 6.（2022陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a ．（填“>”“=”或“<”） ►★考向二 二次根式与实数的运算 解题技巧/易错易混 1.最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式 2.二次根式的化简：（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0） 3.二次根式的乘除：（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0） 4.二次根式的加减：合并同类项 5.实数的混合运算解题步骤： ①先计算乘方、去绝对值、化简二次根式 ②去括号 ③合并同类项 7.（2022陕西）计算： ． 8.（2024陕西）计算：． 9.（2023陕西）计算：． 10.（2022陕西）计算：． 11.（2024陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 12.（2021陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ． -1 -6 1 0 a -4 -5 2 -3 1.（2024西安·一模）目前正值冬春交替季节，昼夜温差较大．青青所在的城市某天上午气温上升记作，那么该城市这天傍晚气温下降应记作（    ） A． B． C． D． 2.（2024西安·模拟）小戴同学的支付宝账单中，收入3元表示为元，那么支出2元可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3.（2024咸阳·模拟）已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 4.（2024•绥化）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 5.（2024•大庆）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 6.（2024宝鸡·二模）计算：（    ） A． B．6 C．4 D． 7. 我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8. 已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 9．大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 10．《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 11．幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字，，，0，1，2，3，那么“♥”所在的格中应填的数字是 ． 1 3 0 ♥ 12．“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ． 13．（2024安康·二模）如图，数轴上的两个点分别表示和m，若这两个点之间的距离为5，则m的值为 ． 14．（2024咸阳·模拟）计算： ． 15．（2024咸阳·模拟）据陕西省国资委报道，2023年，省属企业充分发挥“顶梁柱”“压舱石”作用，实现营业收入同比增长，利润总额超出年度目标任务元，数据用科学记数法表示为 ． 16．（2024榆林·三模）5月18日，2024年国际博物馆日中国主会场活动开幕式在陕西历史博物馆秦汉馆举行，在某网站搜索“2024国际博物馆日中国主会场”，显示找到相关结果约15700000个，将数据15700000用科学记数法表示为 ． 17．（2024渭南·三模）计算： ． 18．“植”此青绿，共建美丽中国向“新”而行．今年，“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”被写进了2024年政府工作报告．今年全国计划完成国土绿化任务1亿亩，其中，造林5400万亩．数据5400万用科学记数法表示为 ． 19． ． 20．计算： ． 21．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为 . 22．计算； 23．计算：； 24．计算： 25．（2024广西）计算： 26．（2024广东）计算：． 27．计算： 28．计算：． 29．计算： 30．计算：． 31．计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$