第18讲 直线、射线、线段（5大考点+题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第17讲 直线、射线、线段 课程标准 学习目标 1 理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的表示方法及区别与联系。 2 能运用直尺等工具进行直线、射线、线段的基本作图，如作线段的和差等。 3 培养学生运用直线、射线、线段知识解决几何图形度量与构造问题的能力。 1. 牢记直线、射线、线段的定义、端点情况、表示法等基础知识。 2. 会准确画出直线、射线、线段，能进行简单的线段长度计算与比较，解决相关几何问题。 3. 感受几何图形的基本构成元素的魅力，培养对几何学习的兴趣与严谨态度。 知识点一、直线 1.直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. 直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述； 直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量. 2.直线的表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)； （2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a. 3.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线. 4.点与直线的位置关系 （1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A； （2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B. 知识点二、射线 1.射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 2.射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸. 3.射线的表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图1所示，可记为射线AB； （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a. 在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表示的射线也不同. 若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来. 知识点三、线段 1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点. 2.线段的特征：有两个端点，有长度，无方向. 3.线段的表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA； （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a. 4.线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短. 5.线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）. 6.线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点. （1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上； （2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点C可能在线段AB外）. 7.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段BA或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA或直线a 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线 知识点四、线段的基本事实及两点之间的距离 1. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）. 2. 两点之间的距离：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离. 知识点五、线段的画法及长短比较 1.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2.画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 3.线段长短的比较 （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短； （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短. 知识点六、线段的中点 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 如图所示，如果点C是线段AB的中点，那么或. 题型01 根据条件作出几何图形 1．尺规作图． 如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按下列要求作图： （1）作直线AB； （2）作射线AC； （3）在射线AC上作线段AD，使AD＝2AB． 【分析】（1）连接AB，双向延长，得出直线AB； （2）连接AC，单向延长，得出射线AC； （3）以A为圆心，AB长为半径作圆，交AC于点E，再以E为圆心重复刚才操作，即可得到线段AD． 【解答】解：（1）连接AB，并延长AB、BA，得到直线AB； （2）连接AC，延长AC，得到射线AC； （3）以A点为圆心，线段AB长为半径作圆，交射线AC于点E，再以E点为圆心，线段AB长为半径作圆，交射线AC于点D，线段AD即是所求． 图形如下： 【点评】本题考查了画直线、射线和线段，解题的关键是：明白直线没有端点，射线只有一个端点，并能熟练的利用尺规作图画出已知线段的2倍． 2．如图，在平面内有A，B，C三点． （1）画直线AC，射线AB； （2）在线段BC上任取一点D（不同于点B，C），连接AD； （3）数数看，此时图中线段共有 　　条． 【分析】（1）根据直线、射线的定义画出直线AC，射线AB即可； （2）在线段BC上任取一点D（不同于点B，C），连接AD即可； （3）根据线段的定义即可求解． 【解答】解：（2）直线AC，射线AB如图； （2）AD如图； （3）图中的线段有：线段AC，线段AD，线段AB，线段BC，线段BD，线段CD，共6条． 故答案为：6． 【点评】本题考查了线段、射线以及线段的作图，是一个基础题，在作图的过程中要注意延伸性． 3．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB、AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 　 　，理由是 　 　． 【分析】（1）根据射线的定义作出即可； （2）根据射线和直线的定义作出即可； （3）根据线段的定义作出即可； （4）根据线段的性质，两点之间线段最短解答 【解答】解：（1）（2）（3）如图所示： （4）AB+AD＞BD，理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：AB+AD＞BD，两点之间线段最短． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念与线段的性质是解题的关键． 题型02 线段基本事实的应用 1．如图，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小，并简要说明理由．（保留作图痕迹） 【分析】根据线段的性质，可得答案． 【解答】解：如图． 理由：两点之间，线段最短． 【点评】本题考查了线段的性质，利用线段的性质是解题关键． 2．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路． （1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是 　 　． （2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是 　 　． 【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题． （2）根据垂线段最短解决问题． 【解答】解：如图所示： （1）沿AB走，两点之间线段最短； （2）沿BD走，垂线段最短； 【点评】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段的性质和垂线段的性质． 3．画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？　　（填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 【分析】（1）根据线段的性质可判断； （2）水泵应在线段AB上，连接AB，与l的交点，即为水泵的位置； 【解答】解：（1）否； （2）连接AB，交l于点Q， 则水泵站应该建在点Q处； 依据为：两点之间，线段最短． 【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短；体现了数学知识在实际中的应用． 题型03 两点间的距离 1．如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定 【分析】由题意可知，点C分两种情况，画出线段图，结合已知数据即可求出结论． 【解答】解：由题意可知，C点分两种情况， ①C点在线段AB延长线上，如图1， AC＝AB+BC＝3+2＝5（cm）； ②C点在线段AB上，如图2， AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1（cm）． 综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm． 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据题意画出线段图，找准线段间的关系． 2．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】先设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，AB＝3x，MB＝MC+BC＝2+x，然后根据线段中点的定义得AM＝MCAB，据此可得2+x3x，由此解出x即可得线段AB的长． 【解答】解：设BC＝x，则AC＝2BC＝2x， ∴AB＝AC+BC＝2x+x＝3x，MB＝MC+BC＝2+x， ∵点M为AB的中点， ∴AM＝MCAB， ∴2+x3x， 解得：x＝4， ∴AB＝3x＝12． 故选：C． 【点评】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，熟练掌握线段的计算，理解线段中点的定义是解决问题的关键． 3．已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D都可以确定点C是线段AB中点 【解答】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点； B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点； C、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点； D、BCAB，则点C是线段AB中点． 故选：C． 【点评】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可． 题型04 规律类问题探究 1．点O在直线AB上，点A1、A2、A3、…在射线OA上，点B1、B2、B3、…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度，一个动点M从O点出发按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A54点处所需时间为 　 　． 【分析】观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度，然后可得到动点M到达A54点处运动的单位长度＝54+（π•1+π•2+…+π•54），然后除以速度即可得到动点M到达A54点处所需时间． 【解答】解：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度， ∴动点M到达A54点处运动的单位长度＝54+（π•1+π•2+…+π•54）＝54+1485π； ∴动点M到达A54点处运动所需时间＝（54+1485π）÷1＝（54+1485π）秒． 故答案为：1485π+54 【点评】此题主要考查了图形的变化类：通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．也考查了圆的周长公式． 2．数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为　　（n≥3，n是整数）． 【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度． 【解答】解：由于OA＝4， 所以第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1OA4＝2， 同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处， 同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4， 故线段AnA的长度为4（n≥3，n是整数）． 故答案为：4． 【点评】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律． 3．表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3＝1+2 6＝1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 　　个交点；n条直线相交，最多有 　　个交点．（n为正整数） 【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+…+（n﹣1），可得答案． 【解答】解：6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5＝15； n条直线相交，最多有个交点， 故答案为：15，． 【点评】本题考查了直线，每两条直线有一个交点得出n条直线最多的交点是1+2+3+…+（n﹣1）是解题关键 题型05 线段上的动点问题 1．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　　cm．②求线段CD的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长． （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论； ②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长； （2）分类讨论； （3）直接根据中点公式即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动， ∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm． 故答案为：4； ②∵AD＝10cm，AB＝4cm， ∴BD＝10﹣4＝6cm， ∵C是线段BD的中点， ∴CDBD6＝3cm； （2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动， ∴当0≤t≤5时，AB＝2t； 当5＜t≤10时，AB＝10﹣（2t﹣10）＝20﹣2t； （3）不变． ∵AB中点为E，C是线段BD的中点， ∴EC（AB+BD） AD 10 ＝5cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 2．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12． （1）直接写出结果，OA＝　　，AB＝　　． （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝　　． ②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　　． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用绝对值计算数轴上两点之间的距离即可； （2）①根据AP＝BP列方程求解即可； ②|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|，表示线段AB的长度，据此作答即可； （3）写出点M表示的数，分别写出当0≤t和t≤11时点N表示的数，根据OM＝ON列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：（1）OA＝|﹣10﹣0|＝10，AB＝|﹣10﹣12|＝22， 故答案为：10，22． （2）①∵点P为线段AB的中点， ∴AP＝BP， ∴x﹣（﹣10）＝12﹣x，解得x＝1． 故答案为：1． ②∵点P为线段AB上的一个动点， ∴|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|＝AB＝22， 故答案为：22． （3）点M表示的数为2t﹣10（0≤t≤11），OM＝|2t﹣10|； 当0≤t时，点N表示的数为﹣4t+12，ON＝|﹣4t+12|； 当t≤11时，点N表示的数为4（t）﹣10＝4t﹣32，ON＝|4t﹣32|． 当0≤t时，|2t﹣10|＝|﹣4t+12|，解得t＝1或； 当t≤11时，|2t﹣10|＝|4t﹣32|，解得t＝7或11． ∴存在t值，使得OM＝ON，t＝1，，7或11． 【点评】本题考查数轴和绝对值，利用绝对值计算数轴上两点之间的距离是解题的关键． 3．阅读下面材料，回答下列问题： 已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是 　 　． （2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是 　 　． （3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度． （4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？ 【分析】（1）AB＝4，那么|x+2|＝4，所以x+2＝4或﹣4，解方程即可求得x的值； （2）根据数轴上两点间距离理解|x+5|+|x﹣6|所表示的含义，从而列方程求解； （3）分两种情况：①当0≤t≤5.5时，②当5.5＜t≤11时，根据时间×速度可得点P的路程，从而可得PD的长； （4）分两种情况：①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，分别列方程可解答． 【解答】解：（1）∵点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4， ∴|x+2|＝4， ∴x＝﹣2+4＝2或﹣2﹣4＝﹣6， 即x＝2或﹣6； 故答案为：2或﹣6； （2）|x+5|+|x﹣6|＝14， 设A表示数﹣5，B表示数6，P表示数x， ①当点P位于线段AB上时， |x+5|+|x﹣6|＝x+5+6﹣x＝11（不合题意，舍去）； ②当点P位于A点左侧时， |x+5|+|x﹣6|＝﹣x﹣5﹣x+6＝﹣2x+1＝14， 解得：x＝﹣6.5； ③当点P位于B点右侧时， |x+5|+|x﹣6|＝x+5+x﹣6＝2x﹣1＝14， 解得：x＝7.5； 综上，x＝﹣6.5或x＝7.5； 故答案为：﹣6.5或7.5； （3）∵点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10， ∴点D表示的数为﹣1，点E表示的数为10， 分两种情况： ①当0≤t≤5.5时，PD＝2t； ②当5.5＜t≤11时，PD＝22﹣2t； （4）由（3）知：OD＝1，OE＝10， 分两种情况： ①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上， 当点P在OD上时， ∵PD＝2PO， ∴2t， ∴t； 当点P在OE上时， ∵PD＝2PO， ∴OD＝OP， ∴2t＝2， ∴t＝1； ②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上， 当点P在OE上时， ∵PD＝2PO， ∴OD＝OP＝1， ∴22﹣2t＝2， ∴t＝10； 当点P在OD上时， ∵PD＝2PO， ∴22﹣2t， ∴t； 综上，运动时间t的值是或1或10或． 【点评】本题考查绝对值的应用．理解两点间的距离的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两个点的数的差的绝对值． 1．如图，点D是线段AC上一点，点C是线段AB的中点，则下列等式不成立的是（　　） A．AD+BD＝AB B．BD﹣CD＝CB C．AB＝2AC D． 【分析】根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，本题得以解决． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴AB＝2AC，故选项C符合题意； ∵D是不是线段AC的中点， ∴AD＝CDAC， ∴BD﹣AD＝BD﹣CD＝CB，故选项B符合题意； 由图形知AD+BD＝AB，故选项A符合题意； ∵D是不是线段AC的中点， ∴ADAC，故选项D不合题意． 故选：D． 【点评】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工20人、40人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100米，BC＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　） A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间 【分析】设停靠点的位置在x处，可得所有的人步行到停靠点的路程之和＝20|x﹣A|+40|x﹣B|+10|x﹣C|，用奇中偶段法，可得停靠点的位置． 【解答】解：设停靠点的位置在x处， 所有的人步行到停靠点的路程之和＝20|x﹣A|+40|x﹣B|+10|x﹣C|， ∴当x在B点处，所有的人步行到停靠点的路程之和最小， 故选：B． 【点评】本题考查了求路程之和最小，关键是掌握奇中偶段法． 3．在一条沿直线l铺设的电缆一侧有P，Q两个小区，要求在直线l上的某处选取一点M，向P，Q两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每个选项中的图形，及利用轴对称求最短路线可得出答案． 【解答】解：观察四个选项中的图形发现：选项D中，点Q与点P关于直线l对称点的连线交l于M， 根据轴对称的性质可知：PM+QM为最短， 因此所需电缆材料最短，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线，准确识图，熟练掌握利用轴对称求最短路线的方法与技巧是解决问题的关键． 4．如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝a，且AD+BCAB，则CD等于（　　） A．2a B．a C．a D．a 【分析】根据线段的和差定义计算即可． 【解答】解：∵AD+BCAB， ∴2（AD+BC）＝3AB， ∴2（AC+CD+CD+BD）＝3（AC+CD+BD）， ∴CD＝AC+BD＝a， 故选：B． 【点评】本题考查线段的和差定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，则下列说法：①MN＝HC；②MH（AH﹣HB）；③MN（AC+HB）；④HN（HC+HB），其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据线段中点的性质、结合图形计算即可判断． 【解答】解：∵H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点， ∴AH＝CHAC，AM＝BMAB，BN＝CNBC， ∴MN＝MB+BN（AB+BC）AC， ∴MN＝HC，①正确； （AH﹣HB）（AB﹣BH﹣BH）＝MB﹣HB＝MH，②正确； MNAC，③错误； （HC+HB）（BC+HB+HB）＝BN+HB＝HN，④正确， 故选：B． 【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 6．如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 　两点之间线段最短　． 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可． 【解答】解：由线段的性质可知： 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点评】本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短． 7．如图，有两条线段，AB＝2，CD＝1，在数轴上，点A表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为 　　． 【分析】找出运动时间为t秒时，点A、B、C、D在数轴上表示的数，进而即可找出点M、N在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段MN的长． 【解答】解：当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为﹣t﹣12，点B在数轴上表示的数为﹣t﹣10，点C在数轴上表示的数为14﹣2t，点D在数轴上表示的数为15﹣2t， ∵0＜t＜24， ∴点C一直在点B的右侧． ∵M为AC中点，N为 BD中点， ∴点M在数轴上表示的数为，点N在数轴上表示的数为，∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了两点间的距离，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．D是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝　2　cm． 【分析】由AB＝10cm，BC＝4cm．于是得到AC＝AB+BC＝14cm，根据线段中点的定义由D是AC的中点，得到AD，根据线段的和差得到MD＝AD﹣AM，于是得到结论． 【解答】解：∵AB＝10cm，BC＝4cm． ∴AC＝AB+BC＝14cm， ∵D是AC的中点， ∴ADAC＝7cm； ∵M是AB的中点， ∴AMAB＝5cm， ∴DM＝AD﹣AM＝2cm． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了两点之间的距离，线段的和差、线段的中点的定义，利用线段差及中点性质是解题的关键． 9．如图，AB＝19cm，点C是线段AB延长线上一点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则　9.5　cm． 【分析】首先设CN＝x cm，根据BN＝2CN＝2x（cm），进而表示出AC＝（19+3x）cm，根据点M为线段AC的中点，得MC＝（9.5+1.5x）cm，再根据线段的和差关系求出MNBN的结果． 【解答】解：设CN＝x cm， ∴BN＝2CN＝2x cm， ∴AC＝AB+BN+NC＝（19+3x）cm， ∵点M为线段AC的中点， ∴MCAC＝（9.5+1.5x）cm， ∴MN＝MC﹣NC＝（9.5+0.5x）cm， BN＝0.5x（cm）， ∴MNBN＝9.5+0.5x﹣0.5x＝9.5（cm）， 故答案为：9.5 cm． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键． 10．周末，小丽和小红相约爬山（山脚处的点A、B在同一水平线上）．她们从南坡山脚A处出发上行，在南坡的E处休息片刻后，继续登山到达坡顶C处观光游玩，之后沿北坡下山，至北坡山脚B处．已知南北两坡长度不相等，可以分别看作线段AC、BC，点E为AC的中点，且EC＝200m，点D平分南北两坡总长，且CD＝20m，则北坡BC的长度是 　360或440　m． 【分析】分点D在线段AC上、点D在线段BC上两种情况讨论． 【解答】解：当点D在线段AC上时， ， ∵点E为AC的中点，且EC＝200m， ∴AC＝400m， ∵CD＝20m， ∴AD＝380m， ∵点D平分南北两坡总长， ∴BD＝AD＝380m， ∴BC＝360m， 当点D在线段BC上时， ， ∵点E为AC的中点，且EC＝200m， ∴AC＝400m， ∵CD＝20m， ∴AC+CD＝420m， ∵点D平分南北两坡总长， ∴BD＝AC+CD＝420m， ∴BC＝440m， 故答案为：360或440． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是注意分类讨论． 11．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AB＝18cm，AM＝5cm，求CN的长； （2）若MN＝6cm，求AB的长． 【分析】（1）因为点M、N分别是AC、BC的中点，所以AMAC，NCBC，已知AM＝5cm，AB＝18cm，可得BC的长，NCBC，可得CN的长； （2）因为点M、N分别是AC、BC的中点，所以CMAC，NCBC，已知MN＝6cm，可得AB的长． 【解答】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴AMAC，NCBC， ∵AM＝5cm， ∴AC＝10cm， ∵AB＝18cm， ∴BC＝8cm， ∴CN＝4cm； （2）∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴CMAC，NCBC， ∵MN＝6cm， ∴AB＝AC+BC＝12（cm）． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． 12．如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为 　20　个单位长度； （2）若直尺AB在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A点对应的数； （3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以1个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值； ②当t＝10时，B、P、C三个点互不重合，且恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 【分析】（1）根据题意列代数式求解； （2）根据“B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍”列方程求解； （3）①根据“B、P、C三点恰好在同一时刻重合”列方程组求解； ②根据“恰好有一个点到另外两个点的距离相等”列方程求解． 【解答】解：（1）由题意得：AB＝OA＝BC60＝20， 故答案为：20； （2）设A点对应的数为x， 则：60﹣（x+20）＝4x， 解得：x＝8， 答：此时A点对应的数为8； （2）点B表示的数为28+t，点P表示的数为8+mt，点C表示的数为60， ①由题意得：28+t＝60且8+mt＝60， 解得：t＝32，m； ②当t＝10时，点B表示的数为38，点P表示的数为8+10m，点C表示的数为60， 由题意得：2（8+10m）＝38+60或2×38＝8+10m+60或2×60＝38+8+10m， 解得：m＝4.1或m＝0.8或m＝7.4． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系和两点之间的距离公式是解题的关键． 13．如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案； （2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长； （3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）由线段中点的性质，ADAC＝6（cm）； （2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm）， 由线段中点的性质，得AE10（cm）， 由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）； （3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm）， 当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm）， ∴AM的长度为26cm或14cm． 【点评】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． 14．【定义新知】 在数轴上，点M和点N分别表示数m和n，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d（M，N），即d（M，N）＝|m﹣n|． 【初步应用】 （1）在数轴上，点A、B、C分别表示数﹣1、2、x，解答下列问题： ①d（A，B）＝ 　3　； ②若d（A，C）＝2，则x的值为 　1或﹣3　； ③若d（A，C）+d（B，C）＝d（A，B），且x为整数，则x的取值有 　4　个． 【综合应用】 （2）在数轴上，点A、B分别表示数6，﹣8．M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位；点N从B点出发，速度为每秒6个单位；点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时向右运动，若d（M，P）＝d（N，P），求动点M运动的时间． 【分析】（1）①根据两点间的距离公式计算即可； ②根据两点间的距离公式列绝对值方程并求解即可； ③根据两点间的距离公式列绝对值方程并由绝对值的几何意义解答即可； （2）设它们运动的时间是t，分别将点M、N、P表示的数表示出来，根据两点间的距离公式列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：（1）①d（A，B）＝|﹣1﹣2|＝3． 故答案为：3． ②∵d（A，C）＝|﹣1﹣x|＝2， ∴x＝1或﹣3． 故答案为：1或﹣3． ③根据题意，得|﹣1﹣x|+|2﹣x|＝3，即|x+1|+|x﹣2|＝3， ∵|x+1|+|x﹣2|＝3表示的几何意义是x对应的点到﹣1对应的点的距离与到2对应的点的距离之和， ∴﹣1≤x≤2， ∵x为整数， ∴x＝﹣1，0，1，2， ∴x的取值有4个． 故答案为：4． （2）设它们运动的时间是t，则点M表示的数是2t+6，点N表示的数是6t﹣8，点P表示的数是t， 根据题意，得|2t+6﹣t|＝|6t﹣8﹣t|，即|t+6|＝|5t﹣8|， 解得t或， ∴点M运动的时间是秒或秒． 【点评】本题考查两点间的距离、绝对值、一元一次方程的应用，掌握数轴上点对应的数的表示方法、两点间的距离、绝对值的几何意义及一元一次方程的解法是解题的关键． 15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： （1）已知点A，B，C表示的数分别为1，，﹣3观察数轴，B，C两点之间的距离为 　0.5　；与点A的距离为3的点表示的数是 　0.5　； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 　0.5　；若此数轴上M，N两点之间的距离为2015（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，求出M，N两点表示的数分别是多少？ 【分析】（1）利用数轴上两点之间距离进行解答即可； （2）运用数轴的概念进行解答即可． 【解答】解：（1）B，C两点之间的距离为﹣2.5﹣（﹣3）＝0.5， 与点A的距离为3的点表示的数是1+3＝4或1﹣3＝﹣2； 故答案为：0.5；4或﹣2； （2）∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕处表示的数为， ∴与B点重合的点表示的数是：﹣1+[﹣1﹣（﹣2.5）]＝0.5， 点M表示的数为：， 点N表示的数为：， 故答案为：0.5；﹣1011；1009． 【点评】本题主要考查了数轴，两点间的距离，解答的关键是掌握数轴上两点之间距离公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 直线、射线、线段 课程标准 学习目标 1 理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的表示方法及区别与联系。 2 能运用直尺等工具进行直线、射线、线段的基本作图，如作线段的和差等。 3 培养学生运用直线、射线、线段知识解决几何图形度量与构造问题的能力。 1. 牢记直线、射线、线段的定义、端点情况、表示法等基础知识。 2. 会准确画出直线、射线、线段，能进行简单的线段长度计算与比较，解决相关几何问题。 3. 感受几何图形的基本构成元素的魅力，培养对几何学习的兴趣与严谨态度。 知识点一、直线 1.直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. 直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述； 直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量. 2.直线的表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)； （2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a. 3.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线. 4.点与直线的位置关系 （1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A； （2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B. 知识点二、射线 1.射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 2.射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸. 3.射线的表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图1所示，可记为射线AB； （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a. 在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表示的射线也不同. 若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来. 知识点三、线段 1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点. 2.线段的特征：有两个端点，有长度，无方向. 3.线段的表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA； （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a. 4.线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短. 5.线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）. 6.线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点. （1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上； （2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点C可能在线段AB外）. 7.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段BA或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA或直线a 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线 知识点四、线段的基本事实及两点之间的距离 1. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）. 2. 两点之间的距离：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离. 知识点五、线段的画法及长短比较 1.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2.画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 3.线段长短的比较 （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短； （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短. 知识点六、线段的中点 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 如图所示，如果点C是线段AB的中点，那么或. 题型01 根据条件作出几何图形 1．尺规作图． 如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按下列要求作图： （1）作直线AB； （2）作射线AC； （3）在射线AC上作线段AD，使AD＝2AB． 2．如图，在平面内有A，B，C三点． （1）画直线AC，射线AB； （2）在线段BC上任取一点D（不同于点B，C），连接AD； （3）数数看，此时图中线段共有 　　条． 3．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB、AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 　 　，理由是 　 　． 题型02 线段基本事实的应用 1．如图，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小，并简要说明理由．（保留作图痕迹） 2．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路． （1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是 　 　． （2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是 　 　． 3．画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？　　（填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 题型03 两点间的距离 1．如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定 2．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 3．已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 题型04 规律类问题探究 1．点O在直线AB上，点A1、A2、A3、…在射线OA上，点B1、B2、B3、…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度，一个动点M从O点出发按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A54点处所需时间为 　 　． 2．数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为　　（n≥3，n是整数）． 3．表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 3＝1+2 6＝1+2+3 … 按此规律，6条直线相交，最多有 　　个交点；n条直线相交，最多有 　　个交点．（n为正整数） 题型05 线段上的动点问题 1．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　　cm．②求线段CD的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长． （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 2．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12． （1）直接写出结果，OA＝　　，AB＝　　． （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝　　． ②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　　． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 3．阅读下面材料，回答下列问题： 已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是 　 　． （2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是 　 　． （3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度． （4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？ 1．如图，点D是线段AC上一点，点C是线段AB的中点，则下列等式不成立的是（　　） A．AD+BD＝AB B．BD﹣CD＝CB C．AB＝2AC D． 2．A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工20人、40人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100米，BC＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　） A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间 3．在一条沿直线l铺设的电缆一侧有P，Q两个小区，要求在直线l上的某处选取一点M，向P，Q两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝a，且AD+BCAB，则CD等于（　　） A．2a B．a C．a D．a 5．如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，则下列说法：①MN＝HC；②MH（AH﹣HB）；③MN（AC+HB）；④HN（HC+HB），其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 　 　． 7．如图，有两条线段，AB＝2，CD＝1，在数轴上，点A表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为 　 　． 8．如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．D是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝　 　cm． 9．如图，AB＝19cm，点C是线段AB延长线上一点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则　 　cm． 10．周末，小丽和小红相约爬山（山脚处的点A、B在同一水平线上）．她们从南坡山脚A处出发上行，在南坡的E处休息片刻后，继续登山到达坡顶C处观光游玩，之后沿北坡下山，至北坡山脚B处．已知南北两坡长度不相等，可以分别看作线段AC、BC，点E为AC的中点，且EC＝200m，点D平分南北两坡总长，且CD＝20m，则北坡BC的长度是 　 　m． 11．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AB＝18cm，AM＝5cm，求CN的长； （2）若MN＝6cm，求AB的长． 12．如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为 　 　个单位长度； （2）若直尺AB在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A点对应的数； （3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以1个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值； ②当t＝10时，B、P、C三个点互不重合，且恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 13．如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 14．【定义新知】 在数轴上，点M和点N分别表示数m和n，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d（M，N），即d（M，N）＝|m﹣n|． 【初步应用】 （1）在数轴上，点A、B、C分别表示数﹣1、2、x，解答下列问题： ①d（A，B）＝ 　 　； ②若d（A，C）＝2，则x的值为 　 　； ③若d（A，C）+d（B，C）＝d（A，B），且x为整数，则x的取值有 　 　个． 【综合应用】 （2）在数轴上，点A、B分别表示数6，﹣8．M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位；点N从B点出发，速度为每秒6个单位；点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时向右运动，若d（M，P）＝d（N，P），求动点M运动的时间． 15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： （1）已知点A，B，C表示的数分别为1，，﹣3观察数轴，B，C两点之间的距离为 　 　；与点A的距离为3的点表示的数是 　 　； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 　 　；若此数轴上M，N两点之间的距离为2015（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，求出M，N两点表示的数分别是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$