6.5 一次函数与二元一次方程 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第6章 一次函数 6.5 一次函数与二元一次方程 2024/12/10 1.一次函数y=2x-5的图像是 , 通常过( ,0 )、(0, )两点画直线即可. 2.在下列各组一次函数中的图像相互平行的是( ) A. y=4x-4和y=-4x+4 B. y=2x-3和y=2x+7 C. y=3x-1和y=-2x-4 D. y=4x-1和y=x+5 那么,其它各组的两条直线的位置关系是 . 复习回顾 复习回顾 2.在平面直角坐标系中画出y=2x-3的图像. y = 2x - 3 自学自练展素养 1.方程2x-y-3=0的解有多少个？ 自主预习1 3.若把1中x，y的值分别作为点的横纵坐标，那这些点在一次函数y=2x-3的图像上吗？ 4.在一次函数y=2x-3的图像上任取一点，它的坐标是方程 的解吗？ 5.方程 的解与一次函数y=2x-3的图像有什么关系？ 2x-y-3=0 2x-y-3=0 1.方程2x-y-3=0可以化为一次函数y=2x-3. 2.二元一次方程2x-y-3=0的解是一次函数y=2x-3图像上点的坐标，反之，一次函数y=2x-3图像上点的坐标是二元一次方程2x-y-3=0的解. 探索思考 一般地,一次函数y=kx＋b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b=0 的解;以二元一次方程kx－y＋b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx＋b的图像上. 口诀：坐标是解， 解是坐标. 二元一次程 的解 一次函数图像上的点的坐标 数 形 归纳总结 一一对应 x+y=5 二元一次方程 移项 y=-x+5 一次函数表达式 移项 方程的角度 函数的角度 归纳总结 一次函数y=2x-3与二元一次方程2x-y-3=0有什么关系？ 2x-y-3=0 y=2x-3 移项 移项 二元一次方程 一次函数 发现：从形式上看，通过移项，一次函数可以化为二元一次方程的形式，二元一次方程也可以化成一次函数的形式. 移项 移项 归纳总结 1.你能将下列二元一次方程变形为一次函数y=kx+b的形式吗？ （1）3x＋y=7 (2) 3x＋4y=13 2.以方程3x+2y=6的解为坐标的点都在函数 的图像上 y=-1.5x+3 变式训练 3．若方程x－y＝1有一个解为 ， 则一次函数y＝x－1的图像上必有点 . x＝2 y＝1 (2,1) 4．若一次函数y＝2x－4上有一点的坐标是（3，2），则方程2x－y－4 ＝0必有一个解为 . x＝3 y＝2 变式训练 5.一次函数y=kx+b的图像如图所示，则方程kx+b=0的解为_________. y O 1 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 y＝kx+b x 4 5 4 -1 x＝-1 变式训练 6.若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上,则常数b的值为 (　　) A. B.2 C.-1 D.1 B 变式训练 7.一次函数y=2x－3的图像上的任意一点的坐标都是___________________的解； 以二元一次方程2x－y－3=0的解为坐标的点都在___________的图像上. 1 2 y 3 4 5 -2 -3 -1 -4 -5 4 5 3 2 O x 1 -1 -2 -3 -4 -5 y＝2x－3 P Q 方程2x－y－3=0 y=2x－3 变式训练 　(2021苏州期末)一次函数y=-2x+4与y=x-1的图像的交点坐标为　　　　.  自主预习2 拓展　　 [解析] 由得 ∴一次函数y=-2x+4与y=x-1的图像的交点坐标为. 1．在同一平面直角坐标系中画出y＝2x－3和y＝　x－　的图像. 2．解方程组 2x－y－3＝0， x－2y－3＝0． –1 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 O (1, -1) 自主预习2 3．二元一次方程组 的解与一次函数y＝2x－3和 y＝　x－　的图像有怎样的关系？ 2x－y－3＝0， x－2y－3＝0, –1 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 O (1, -1) 是方程组 的解 2x－y－3＝0， x－2y－3＝0 点（1，-1）既在y=2x-3的图像上又在 的图像上，是这两条直线的交点. 一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解． 归纳总结 利用一次函数的图像解二元一次方程组 解：由x＋2y＝4，得= 由2x－y＝3，得= x＋2y＝4， 2x－y＝3 ． –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 –3 –2 –1 1 2 3 4 0 P(2,1) 如右图，在同一平面直角坐标系中， 画出一次函数=与= 的图像，它们的交点坐标为P（2,1）. 则原二元一次方程组的解为 变式训练 解题的一般步骤是： 变函数——画图像——找交点——写结论． (1)把二元一次方程化成一次函数的形式； 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法． (2)在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象； (4)交点坐标就是方程组的解. (3) 标出交点； 归纳总结 2.若二元一次方程组 的解为 则函数 与 的图象的交点 坐标为 . 1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则方程组 的解为 . （2，2） 变式训练 3.如图，根据图像写出方程组 的解是________. P(1, 1) y O 1 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 x 4 5 4 -1 y＝－x+2 y=x－ 变式训练 4.如图,直线y=k1x+b1与y=k2x+b2相交于点P(1，3),那么关于x、y的二元一次方程组y=k1x+b1与y=k2x+b2的解是 (　　) A. x=1，y=3 B. x=3，y=1 C. x=1，y=1 D. x=3，y=3 A 变式训练 5.用图像法解方程 解:画两函数图像如图: 由图像可知两函数的图像交于点(3,-2), 所以方程组的解为 变式训练 全品初中 O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -3 -4 -3 -2 -1 -5 6 5 y=-x+2 y=-x+5 两直线平行 无解 1. 画出一次函数y= –x+2，y= –x+5的图像，它们之间有何关系？ x+y=2, x+y=5 2. 方程组 解的情况如何？ 自主预习3 (1)二元一次方程组无解 一次函数的图像______（无交点）; (2)二元一次方程组有一解 一次函数的图像_____（有一个交点）; 平行 相交 (3)二元一次方程组有无数解 一次函数的图像______（有无数个交点）. 重合 归纳总结 1. 函数y＝ax＋b与函数y＝cx＋d的图象是两条相交直线，则二元一次方程组有________解． 1个 变式训练 2.已知一次函数y1＝2x＋m与y2＝2x＋n(m≠n)的图像如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.无数 A 变式训练 若正比例函数y=-2x的图像与一次函数y=x+m的图像交于点A,且点A的横坐标为-3. (1)求该一次函数的表达式; (2)直接写出方程组 𝑦=−2𝑥,的解. 𝑦=𝑥+𝑚 解:(1)将x=-3代入y=-2x,得y=6,则点A的坐标为(-3,6). 将A(-3,6)代入y=x+m,得-3+m=6,解得m=9, 所以一次函数的表达式为y=x+9. (2)方程组的解为 例题讲解1 1.已知一次函数y=kx+1与y=-0.5x+b的图像交于点（2,5） 求：（1）k，b的值 （2）求这两个一次函数的图像与x轴所围城图形的面积 2.若点P(－2，m)是y＝－x＋1与y＝kx＋5的交点，求m和k的值. 3.已知直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限，求a的取值范围. 变式训练 4. 如图，已知直线l1：y=2x+2，直线l2：y=-x+5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A． （1）求A、B、C三点坐标； （2）求△ABC的面积． D 变式训练 如图，一次函数的图像与x轴交于点B，与y轴交于点C，且与正比例函数的图像交于点A，结合图像回答下列问题： (1)求点A的坐标； (2)求△AOB的面积． 解：(1)解方程组得： . ∴点A的坐标为． (2)解：把代入得：， 解得：， ∴点B的坐标为：， ∴， ∴． 例题讲解2 如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． 解：(1)把代入得， 则点坐标为； 把，代入得： ，解得， 所以直线的表达式为. 变式训练 (2)直接写出方程组的解． (3)求四边形的面积． 解：(2)因为直线与直线交于点， 所以方程组的解为； (3)交轴于，交轴于， ，， 四边形的面积 ． 1.若以一个二元一次方程组中的两个方程分别作为一次函数画图像，所得的两条直线相交，则此方程组(　　) A.无解 B.有唯一解 C.有无数个解 D.以上都有可能 B 2.下列各图像上点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是(　　) C 当堂检测 3. （易错题）如图，正比例函数的图像与一次函数 y ＝－ x ＋1的图像相 交于点 P ，点 P 到 x 轴的距离是2，则这个正比例函数的表达式为 ⁠ ⁠. （第3题） y ＝ －2 x 　 4. 如图，一次函数 y ＝ kx ＋ b 与 y ＝ x ＋2的图像相交于点 P （ m ，4）， 则方程组的解是 　　. （第4题） 　 5. 如图，直线 l1、 l2分别表示两个一次函数的图像，它们相交于点 P ， 直线 l1交 y 轴于点 A ，直线 l2交 y 轴于点 B . （1） 求直线 l1、 l2对应的函数表达式. 解：（1） 设直线 l1对应的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .∵ 直线 l1经过点（0，3）、（1，0），∴ 解得 ∴ 直线 l1对应的函数表达式为 y ＝－3 x ＋3.同 理，可得直线 l2对应的函数表达式为 y ＝ x －2. （第5题） （2） 点 P 的坐标可看成是哪个二元一次方程组的解？ 解：（2） 点 P 的坐标可看成是二元一次方程组 的解. （第5题） （3） 求△ APB 的面积. 解：（3） 由题意，得 A （0，3）、 B （0，－2），∴ AB ＝ 5.联立解得∴ P .∴ S△ APB ＝ AB ·｜ xP ｜＝ ×5× ＝ . （第5题） $$