精品解析：湖南省永州市新田县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年下期期中质量监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点时反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 关于x的方程是一元二次方程，则m满足（ ） A. B. C. D. m为任意实数 6. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知，点D、E、F分别为的三边、、的中点，连接、、，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 不论a，b为何实数，的值（ ） A. 总是正数 B. 总是负数 C. 可以是零 D. 可以是正数也可以是负数 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知y是x的反比例函数，当时，，则y与x的函数表达式为______． 12. 一元二次方程的解是__． 13. 已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为-3，则p=________． 14. 如图，，，，，则＝______． 15. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． 16. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填、或）． 17. 我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为______尺． 18. 对于一元二次方程（，，，为常数），下列说法： ①方程的解为； ②若，则方程必有一根为； ③若，则一元二次方程必有一根为；    ④若，则方程有两个不等实数根；      ⑤若，则方程有两个相等的实数根， 正确的结论是________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，已知，求证：． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 22. 已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得成立?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　 　件． （2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 25. 如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． （1）求的面积S关于t的函数解析式； （2）若的面积是面积的，求t的值； （3）的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 26. 猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．(已知：，，) (1)如图①，若截取的内接正方形，请你求出此正方形的边长； (2)如图②，若在内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (3)如图③，若在内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (4)猜想：如图④，假设在内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于，则此正方形的边长是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期中质量监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是正比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、方程化简后不含未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简后不含有2次项，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行计算，即可得出结论． 【详解】解：若，则， A．由，可得，故本选项符合题意； B．由，可得，故本选项不合题意； C．由，可得，故本选项不合题意； D．由，可得，故本选项不合题意； 故选：A． 4. 如图，点时反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的图象在第二象限可知，，再根据矩形面积是4可知，故可得出解析式． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，函数的图象在第二象限， ， ∵矩形面积是4可知， ∴反比例函数的解析式为：． 故选：D． 5. 关于x的方程是一元二次方程，则m满足（ ） A. B. C. D. m为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义求解，即可得到答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题关键． 6. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 7. 如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，联系起来，得出结论． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证． 8. 如图，在中，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得：，得到，然后根据，，求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质的应用，平行线的性质．解题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 9. 已知，点D、E、F分别为的三边、、的中点，连接、、，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用三角形的中位线的性质可得：，，，，，，再逐一分析各选项即可. 【详解】解：∵点D、E、F分别为的三边、、的中点， ∴，，，，，，故A不符合题意； ∴，故B不符合题意； ∵，，， ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，故D不符合题意； 若，则， ∵点D、E分别为的三边、的中点， ∴，与题干条件矛盾，故C符合题意； 故选：C 10. 不论a，b为何实数，的值（ ） A. 总是正数 B. 总是负数 C. 可以是零 D. 可以是正数也可以是负数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，将代数式进行配方后，判断符号即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， 即：的值总是正数； 故选A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知y是x的反比例函数，当时，，则y与x的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为， ∵当时，， ∴； ∴； 故答案为：． 12. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 13. 已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为-3，则p=________． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：方程的解：x=-3是该方程的解，所以，当x=-3代入方程可以得到，9-3p+3=0 故p=4 考点：方程的解的定义 点评：解答本题的关键是熟练掌握方程的解的定义：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值. 14. 如图，，，，，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用两组对应角相等的两个三角形相似得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：，， ， ，即， 解得，， 故答案为：． 15. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填、或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数图像与性质． 结合反比例函数的图像与性质即可求解． 【详解】解：反比例函数中， 该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有随着的增大而增大， ，， ． 故答案为：． 17. 我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据题意可知，根据相似三角形的性质可求，进一步得到井深． 【详解】解：依题意有， ∴， 即， 解得， ∴（尺）． 故答案为：． 18. 对于一元二次方程（，，，为常数），下列说法： ①方程的解为； ②若，则方程必有一根为； ③若，则一元二次方程必有一根为；    ④若，则方程有两个不等实数根；      ⑤若，则方程有两个相等的实数根， 正确的结论是________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】有当△=b2-4ac＞0时，方程的解为，由此即可判定说法错误； ②首先把b=a+c变为a-b+c=0，当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c，由此即可判定说法正确； ③首先把b=2a+c变为4a-2b+c=0，当x=-2时，ax2+bx+c=4a-2b+c，由此即可判定说法正确； ④首先由ac＜0，可得方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，再根据△=b2-4ac＞0，可得方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根，由此即可判定说法正确；   ⑤只有当c≠0时，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，则方程cx2+bx+a=0有两个相等的实数根，由此即可判定说法错误． 【详解】①对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）， 当△=b2-4ac＜0时，方程无解； 当△=b2-4ac≥0时，方程的解为，故原说法错误； ②∵b=a+c， ∴a-b+c=0， ∴当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c=0， ∴x=-1为方程ax2+bx+c=0的一根，故原说法正确； ③∵b=2a+ c， ∴4a-2b+c=0， ∴当x=-2时，ax2+bx+c=4a-2b+c=0， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x=-2，故原说法正确； ④∵ac＜0， ∴c≠0，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程， ∵△=b2-4ac＞0， ∴方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根，故原说法正确；   ⑤当c≠0时，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，则方程cx2+bx+a=0有两个相等的实数根； 当c=0时，b=0，方程cx2+bx+a=0不可能有两个相等的实数根，故原说法错误． 故答案是：②③④． 【点睛】考查了一元二次方程的判别式和方程的解等知识． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用十字相乘法进行因式分解，进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解，进行求解即可． 【小问1详解】 解： 或； ∴，； 【小问2详解】 或； ∴，． 20. 如图，已知，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）找到直线在反比例函数上方时的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 由图象可知：当时，一次函数的值大于反比例函数的值． 22. 已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1）函数的解析式为I=； （2）用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内． 【解析】 【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【小问1详解】 解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=， ∵图象经过（20，1.8）， ∴1.8=， 解得k=1.8×20=36， ∴I=； 【小问2详解】 解：∵I≤3，I=， ∴≤3， ∴R≥12， 即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得成立?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系， （1）根据一元二次方程有两个实数根可得，由此即可求解； （2）运用一元二次方程根与系数的关系，，乘法公式的变形，代入求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴，即， ∴，整理得， ∴，且 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴． 24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　 　件． （2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）100；（2）y＝﹣5x+550；（3）当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元． 【解析】 【分析】（1）根据“实际销量＝原销售量+10×(销售单价－原计划销售单价)”列式计算即可； （2）根据以上等量关系求函数关系式即可； （3）根据“每月销售利润＝实际销售量×（实际售价﹣每件成本）”列出方程，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件）， 故答案为：100； （2）依题意得：， ∴y与x的函数关系式为y=－5x+550； （3）依题意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000， 解得：x1=70，x2=90， ∵70＜90， ∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数表达式，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 25. 如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． （1）求的面积S关于t的函数解析式； （2）若的面积是面积的，求t的值； （3）的面积能否为面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 的面积不可能是面积的一半，理由如下： 根据题意得：， 即， 整理得：， ， 该方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1），，，根据的面积公式得出答案； （2），，，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）的面积不能为面积的一半，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出的面积不可能是面积的一半． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，，，， ∴， ∵动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：． 答：的值为2； 【小问3详解】 略 26. 猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．(已知：，，) (1)如图①，若截取的内接正方形，请你求出此正方形的边长； (2)如图②，若在内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (3)如图③，若在内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (4)猜想：如图④，假设在内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于，则此正方形的边长是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，作，再根据，可知，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，设出正方形的边长为x，根据相似三角形的性质得到比例式，进而列出关于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的边长； （2）作，交于点M，交于点N，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长； （3）作，交于点M，交于点N，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长； （4）同理可得正方形的边长． 【详解】（1）在图1中作的高交于M．在中， ∵ ∴． 由，得：， ∴． 设正方形的边长为x，则，解得：． 即正方形的边长为． （2）方法同（1），如图2．，则． 设小正方形的边长为x，则，解得：． 即小正方形的边长为． （3）在图3中，作，交于点，交于点． 由，得：， ∴． 设正方形的边长为x，则，解得：． 即正方形的边长为． （4）设每个正方形的边长为x，同理得到： 则=，则， ∴每个小正方形的边长为． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、相似三角形的性质及勾股定理．要求学生掌握相似三角形的对应高之比等于相似比，注意此题虽有四问，但是方法雷同，只是比例式中代入的式子不同，应根据图形正方形的个数来确定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $