第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值 课程标准 学习目标 ①.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。 ②掌握函数极值的判定及求法。 ③掌握函数在某一点取得极值的条件。 ④能根据极值点与极值的情况求参数范围。 ⑤会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。 ⑥会求某闭区间上函数的最值 ⑦理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围 1.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.； 2.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题； 知识点01、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 【即学即练1】（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 知识点02、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【即学即练2】（24-25高二下·全国·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 ． 知识点03、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【即学即练3】（23-24高二·全国·课后作业）函数（　　） A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值 C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值 题型01 函数图象与极值（点）的关系 【典例1】（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）  设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【典例2】（多选）（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 【典例3】（多选）（22-23高二下·广东东莞·期中）如图是函数的导函数的图象，则下列说法错误的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课堂例题）（多选）函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断，正确的是（    ）    A．函数在区间内单调递减 B．函数在区间内单调递增 C．当时，函数有极大值 D．当时，函数有极大值 【变式2】（多选）（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 【变式3】（多选）（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是（     ） A． B．函数在处取得极小值，在处取得极大值 C．函数在处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 题型02求已知函数的极值（点） 【典例1】（河南省2025届高三新未来九月大联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求函数的单调区间和极值. 【典例2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值． 【典例3】（2024·贵州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【变式1】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的极大值与极小值. 【变式2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间和极值. 【变式3】（2024·重庆·三模）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)求函数的极值． 题型03 根据函数的极值（点）求参数 【典例1】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【典例2】（23-24高三上·青海海南·期末）若，且函数在处有极值，则的最小值为 ． 【典例3】（23-24高二下·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【变式2】（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【变式3】（23-24高三上·湖北宜昌·期中）已知函数. (1)若，求证：； (2)若函数在处取得极大值，求的取值范围. 题型04求函数的最值（不含参） 【典例1】（24-25高三上·陕西·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在上的值域． 【典例2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【典例3】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数在定义域内不单调， (1)求a的取值范围； (2)若，求在上的值域． 【变式2】（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，求的最值． 【变式3】（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 题型05 求函数的最值（含参） 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【典例2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，其中，求函数在区间上的最小值． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【变式2】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)探究的最小值. 【变式3】（2024·四川南充·模拟预测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，函数与函数有相同的最大值，求的值. 题型06 根据函数的最值求参数 【典例1】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【典例2】（23-24高二下·江苏南京·期末）设函数． (1)讨论的单调性； (2)是否存在，使得在区间上的最小值为且最大值为2？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【典例3】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知，为常数. (1)若，求在上的单调区间； (2)若，在上的最小值为，求的值. 【变式1】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的最小值为，求a的值． 【变式2】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在上的最小值为3，求实数的值. 【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，且函数在上的最大值为，求的值. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 3．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东佛山·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 5．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）若1为函数的极大值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·全国·单元测试）已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（    ） （1）函数一定有三个零点；        （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值；            （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点．    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 二、多选题 9．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．在上是减函数 C．在区间内有2个极值点 D．曲线在点处的切线的斜率大于0 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 三、填空题 11．（23-24高二下·山东·期中）已知函数在处取得极值，则的值为 . 12．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数的最小值为 . 四、解答题 13．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. B能力提升 1．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 . 3．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. C综合素养 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值 课程标准 学习目标 ①.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。 ②掌握函数极值的判定及求法。 ③掌握函数在某一点取得极值的条件。 ④能根据极值点与极值的情况求参数范围。 ⑤会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。 ⑥会求某闭区间上函数的最值 ⑦理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围 1.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.； 2.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题； 知识点01、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 【即学即练1】（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 知识点02、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【即学即练2】（24-25高二下·全国·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导判断函数单调性，进一步可求得函数的最值. 【详解】，令，令，得， 令，得或，所以函数在上单调递增， 在，上单调递减，所以的极小值为，极大值为． 又当时，，当时，，所以的最小值为，最大值为1． 故答案为：，1. 知识点03、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【即学即练3】（23-24高二·全国·课后作业）函数（　　） A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值 C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值 【答案】C 【知识点】函数极值的辨析、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数研究在上的单调性，即可判断各项是否符合. 【详解】，则，， 所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值． 故选：C 题型01 函数图象与极值（点）的关系 【典例1】（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）  设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】C 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点. 【详解】解：，并结合其图像，可得到如下情况， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增 ∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确； 在处取得极大值. 所以有3个极值点，故A错. 故选: C. 【典例2】（多选）（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 【答案】ACD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系 【分析】由图可根据导函数的符号，确定函数的单调性，从而确定极值点，判断函数图象上某点处切线的斜率符号. 【详解】由图可得，当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，即C正确； 可得函数在处取得极大值，即A正确； 因时，，且时，，故在处没有取得极值，B错误； 又，即的图象在处的切线斜率小于零，故D正确. 故选：ACD. 【典例3】（多选）（22-23高二下·广东东莞·期中）如图是函数的导函数的图象，则下列说法错误的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】BC 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由图可知，当时，，故单调递减； 当，，故单调递增； 当，，故单调递减； 当，，故单调递增，且，，， 则该函数在和处取得极小值；在处取得极大值.， 即BC错误， 故选：BC 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课堂例题）（多选）函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断，正确的是（    ）    A．函数在区间内单调递减 B．函数在区间内单调递增 C．当时，函数有极大值 D．当时，函数有极大值 【答案】BD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】依据导函数的正负判断原函数的增减性和极值点. 【详解】对于A，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以A错误； 对于B，当时，，单调递增，所以B正确； 对于C，当时，，单调递增，故当时，不是极大值，所以C错误； 对于D，由A知，当时，函数取得极大值，所以D正确． 故选：BD 【变式2】（多选）（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 【答案】BD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数图象的正负得出函数的单调性进而得出函数的极值即可判断各个选项. 【详解】由导函数图象可知， 当或时，； 当或时，， 所以在和上单调递减， 在和上单调递增，故选项A错误，B正确； 所以在和处取得极小值，在处取得极大值，故C错误，D正确. 故选：BD. 【变式3】（多选）（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是（     ） A． B．函数在处取得极小值，在处取得极大值 C．函数在处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】BD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】观察导函数的图象，可得的零点，使中的区间，从而确定函数的极值点和单调区间，根据函数的单调性比较函数值的大小，通过分析可得函数极大值、极小值以及最值情况． 【详解】由的图象可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 对于A，因为，所以，所以A正确； 对于B，C，由单调性可知：为极大值点，为极小值点，所以B不正确，C正确； 对于D，由于，则，不是最小值，所以D不正确. 故选：BD． 题型02求已知函数的极值（点） 【典例1】（河南省2025届高三新未来九月大联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题）已知函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据切点在切线上、在曲线上、切点处的导数等于切线斜率列方程组求解可得； （2）根据导数负号判断单调区间，由单调性可得极值. 【详解】（1）的定义域为， 由题知，，即①， 又，所以，即②， 联立①②解得. （2）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以当时，取得极小值，无极大值. 【典例2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，分，两种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解； 【详解】（1）当时，，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， ，则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或； 令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为. 【典例3】（2024·贵州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极大值，无极小值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）求出时函数的导数，可求得在点处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程. （2）求时函数的导数，对通分后的函数式局部二次求导来判断导函数的符号，从而确定原函数的单调性，结合，得出极值. 【详解】（1）由得，， ， ， 又， 在处的切线方程为. （2）由得，可知函数的定义域为， , 设， ， 在上单调递减， 当时，，此时，故在上单调递增， 当时，，此时，故在上单调递减， 又， 在处有极大值，函数无极小值. 【变式1】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)的极大值为10，极小值为； 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论即可得出单调区间； （2）结合（1）中的结论得出函数的极大值点和极小值点，即可求得结果. 【详解】（1）由可得其定义域为， 且； 当时，恒成立，此时的单调递增区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 综上可得时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）当时，，此时； 由（1）可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 所以可得函数在时取得极大值，即， 在时取得极小值，即； 所以函数的极大值为，极小值为. 【变式2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间和极值. 【答案】(1) (2)单调减区间为；极大值为，极小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义建立方程求解即可； （2）求出导函数，求出函数的单调区间，列表，根据极值的概念求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 在点处的切线平行于轴，， . （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 由表格知单调减区间为，极大值为，极小值为. 【变式3】（2024·重庆·三模）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、导数的运算法则 【分析】（1）利用导数的几何意义结合两直线垂直时的斜率关系可求得a值； （2）结合第（1）问可得，再根据函数的单调性即可确定极值点，则极值可求. 【详解】（1）函数，求导得， 则，即为切线的斜率，． 因为切线与直线垂直，则有，．． 解得． （2）由（1）知，函数，定义域为， 求导得，． 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值． 题型03 根据函数的极值（点）求参数 【典例1】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解. 【详解】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， 或， 时恒成立，此时函数无极值点， 当时，， 此时是函数的极值，满足条件， ，. 故选：D 【典例2】（23-24高三上·青海海南·期末）若，且函数在处有极值，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】根据极值求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】借助导数与极值定义结合基本不等式计算即可得. 【详解】由题意得，因为在处有极值， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时函数满足在处取得极值. 故答案为：． 【典例3】（23-24高二下·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【知识点】根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义可知，，切点为，将切点坐标代入，以上两式联立可求出和的值. （2）由（1）得，定义域为，求出，再对参数分类讨论，得到参数的取值范围. 【详解】（1），切点为， 所以，所以，. （2）由（1）得，定义域为， . ①当时，，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以有极小值，无极大值，不符合题意； ②当时，，令，得或. ⅰ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，不符合题意； ⅱ）若，则，所以在上单调递减， 所以无极值，不符合题意； ⅲ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，满足题意. 综上所述，. 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】函数在处取得极小值10，则有，解出的值并检验极小值点，再求的值即可. 【详解】 ， ， 又 在 处取得极小值10， 则有 ，可得 ， 解得， 或， 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极小值； 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极大值，不合题意. 所以，， 则有 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】根据极值求参数 【分析】对求导，得到，由题知，解得，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题知，解得， 此时， 由，得到或，由，得到， 所以的增区间为，，减区间为， 故满足题意，所以， 故选：A. 【变式3】（23-24高三上·湖北宜昌·期中）已知函数. (1)若，求证：； (2)若函数在处取得极大值，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、根据极值求参数 【分析】（1）将代入得解析式，然后求导函数，得函数单调性，进而求最值得证； （2）对函数进行求导，构造函数，对函数进行求导，分类讨论求解即可. 【详解】（1）若，则， 所以． 令，所以，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. （2）由题意知，所以， 令，则. 当时，在上单调递增. 又，则当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以在处取得极小值，不合题意； 当时，，令， 解得在上单调递增. ，， 可得当时，，从而在上单调递减； 当时，，从而在上单调递增， 所以在处取得极小值，不合题意； 当时，，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，所以，从而， 所以在上单调递减，不合题意； 当时，，令，解得， 在上单调递减. 又， 故当时，，从而在上单调递增， 当时，，从而在上单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 题型04求函数的最值（不含参） 【典例1】（24-25高三上·陕西·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1)递增区间为，递减区间为和 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求定义域后求导数，令导数大于0得到单调递增区间；令导数小于0得到单调递减区间；（2）由（1）的单调性可得函数的极值，再求出端点处的函数值与极值进行比较即可得到最值. 【详解】（1）函数的定义域为R， ， 由，得；由，得或， 故函数的递增区间为，递减区间为和． （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值即最小值， ， 又 , 函数在上的值域为． 【典例2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10，最小值. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据求出值即可； （2）代入值直接求导列表即可得到答案. 【详解】（1）由，得， 由题意可得，即，解得. （2）由（1）可得， ， 令，可得或，所以在区间上，随的变化情况如下表： 0 2 3 0 0 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10 由上表可得在区间上的最大值为10，最小值. 【典例3】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)； 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】（1）根据函数在处有极小值10，列出方程组求解即可，注意需要验证； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值. 【详解】（1）由，得， 因为函数 在 时取得极小值10， 所以，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以为函数的极小值点，所以符合题意， 所以； （2）由（1）可得当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以，. 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数在定义域内不单调， (1)求a的取值范围； (2)若，求在上的值域． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、简单复合函数的导数 【分析】（1）求出函数的导数，由在上有零点求出的范围. （2）利用导数求出函数上的最大值和最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由在内不单调，得关于x的方程在内有根，则，即， 所以a的取值范围是. （2）由及（1）知，得， 由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，而， 所以在上的值域为． 【变式2】（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，求的最值． 【答案】(1)； (2)最小值为，没有最大值． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，由函数的单调性，即可计算极值即可求解. 【详解】（1）由， 则，又， 所求切线方程为， 即． （2），定义域为， 所以， 列表如下： 2 － 0 ＋ 因此的最小值为，没有最大值． 【变式3】（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （3）函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 题型05 求函数的最值（含参） 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【答案】(1)在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． (2)答案见解析 【知识点】根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）根据极值点求出，再求导，根据导数正负得出单调性即可； （2）根据（1）的结论，用m对区间进行分类讨论，再根据再结合单调性得到最值. 【详解】（1）的定义域为R，． 当时，，不是的极值点． 当时，令，得，． 在小于0，在区间大于0，在小于0， 故在单调递减，在区间单调递增，在单调递减，此时是的极小值点，符合题意． 综上，在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． （2）由（1）可知：在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．分类讨论. 当,即时，在区间单调递减，故最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，故最大值为； 当时，在区间单调递增，故最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，故最大值为； 当时，在区间单调递减，故最大值为． 【典例2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，可求得，再结合，即可求解； （2）分、和三种情况结合单调性讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，                                因为时，有极大值，所以，即，即．              当时，， 令，即；令，即或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，符合题目条件；      又，所以，              所以． （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，                        又，                     所以；                         ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，       综上所述，当或时，； 当时，． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，其中，求函数在区间上的最小值． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导之后转化成二次函数根的问题，讨论根与定义域的大小关系，从而判断函数的单调性，得到最值. 【详解】函数的定义域为， ，， 令，得或（舍）， 当，即时，当时，，则在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时，当时，，则在上单调递减， 所以函数在区间上的最小值为， 综上. 【点睛】方法点睛：含参函数的单调性（极值、最值）讨论方法 导数的解析式通过化简变形后，如果可以转化为一个二次函数的含参问题，有如下处理思路： 首先需要考虑二次项系数是否含有参数，如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论； 其次考虑二次式能否因式分解，如果二次式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果都在定义域内，则讨论个零点的大小关系；如果二次式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式和分类讨论. 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性和最值. 【详解】（1）令，且，解得， 可知的定义域为，且， 因为，且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减. （2）由（1）可知：的定义域为，且， 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的最大值为； 若，令，解得或； 令，解得或； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 所以的最大值为； 综上所述：若，的最大值为； 若，的最大值为. 【变式2】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)探究的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，求出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）对求定义域，求导，根据取不同的值得到函数单调性，即可求出最小值. 【详解】（1）当时，，则， 由，得. 因此所求的切线方程为. 即. （2）由题意得的定义域为. 由，得. 当时，，则在上单调递增，故没有最小值. 当时，令，得，令0，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以 【变式3】（2024·四川南充·模拟预测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，函数与函数有相同的最大值，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，对进行分类讨论，即可. （2）先对求导，分析单调性，求出最大值，与的最大值建立等量关系，求出即可 【详解】（1）解           ①当时，当 时， 单调递增；当 时，单调递减. ②当时，在单调递增.             . 综上所述，当时，在单调递增，在单调递减. 当时，在单调递增. （2）由（1）得当时，当 时，取得最大值，   ,易知单调递减 ，令，， 当时， 0，单调递增; 当时，单调递减，所以，当时，取得最大值 依题意，有，所以 令 则           由的单调性可知，当时，在时取得最大值0，即,从而可得 因此在上单调递减，又, 所以，. 题型06 根据函数的最值求参数 【典例1】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【详解】（1）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即在上恒成立， 设，问题转化为在上恒成立， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 【典例2】（23-24高二下·江苏南京·期末）设函数． (1)讨论的单调性； (2)是否存在，使得在区间上的最小值为且最大值为2？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)存在，. 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导，令，解得，对分类讨论，即可得出函数的单调性； （2）若在区间最小值为最大值为2，结合(1)可得：时，在上单调递减，上单调递增．对分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论. 【详解】（1）对求导得， 令，解得或． 对分类讨论： 当时，令，解得或；令，解得． 在区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 同理可得：当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增． （2）若在区间有最大值2和最小值-2， 由知，在区间上单调递减，上单调递增． 若，则在区间上单调递减，， 所以，解得 若，则在区间上单调递减，上单调递增． 的最小值为的最大值为和中较大的值． 当，即，即时, 即，解得，舍去； 当，即，即时，， 即，即，无解． 综上可得． 【典例3】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知，为常数. (1)若，求在上的单调区间； (2)若，在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调区间； （2）求导，分析可知，则在上单调递减，进而可得最值，列式求解即可. 【详解】（1）若，则，可得， 且，令，可得；令，可得； 所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意可得：， 若，，则，可得， 可知在上单调递减， 则在上的最小值为，解得. 【变式1】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导，然后分和两种情况讨论函数的单调性，求出函数的最小值，列方程可求出a的值． 【详解】（1）当时，，则， 由，得， 所以所求的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为． 由，得． 当时，，在上单调递增，没有最小值． 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 得，得． 【变式2】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在上的最小值为3，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）将代入可得，利用导数的几何意义可求得切线方程为； （2）对函数求导，对参数进行分类讨论并得出在上的单调性，求得其最小值并解方程可得. 【详解】（1）若，则，其定义域为 从而， 故， 故所求切线方程为. （2）因为， 则，得 当，即时，可知在恒成立，所以在上单调递增， 所以，即（舍去）； 当，即时，可知当时，，当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 可得此时，解得（舍去）； 当，即时，易知在恒成立，所以在单调递减， 所以，解得，符号条件； 综上所述，. 【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，且函数在上的最大值为，求的值. 【答案】(1)单调减区间为，增区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （2）先求出导函数的零点，再分零点是否在区间进行讨论，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）当时，，， 当时，，当时， 所以函数的单调减区间为，增区间为； （2）， 若，令得（舍负）， 当时，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， 所以函数在上单调递增， 则，得； 当，即时，函数在上递减，上递增， 则， 如若可以，只能，则（舍）； 当，即时，函数在上递减， 则（舍）. 综上可知，. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 2．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案． 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以， 故选：D． 3．（23-24高二下·河南开封·期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解，， 故，解得：，经检验适合题意； 故选：C. 4．（23-24高二下·广东佛山·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用求导判断函数在给定区间上的单调性，即得函数最小值. 【详解】由可得，，由解得，或， 因，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时，. 故选：A. 5．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】函数在内无极值， 所以在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可， 解得或， 故选：C. 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）若1为函数的极大值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据题意，求得，结合是函数的一个极大值点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得或， 因为是函数的一个极大值点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7．（24-25高二下·全国·单元测试）已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（    ） （1）函数一定有三个零点；        （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值；            （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、由导数求函数的最值（不含参）、函数极值点的辨析 【分析】由导函数与原函数之间的关系即可判断. 【详解】根据导函数的图象可知， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以都是函数的极值点，因此（2）的说法正确； 函数的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）的说法错误； 由以上分析知，函数的图象不一定过原点，即（5）的说法错误； 由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值， 因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值， 所以（3）的说法正确，（4）的说法错误． 综上可得，只有（2）（3）的说法正确． 故选：B． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导得，由题得和2是的零点，即和2是的两个实数根，由韦达定理可得，从而可计算. 【详解】由， 可知， 函数的两个极值点分别为和， 和2是的零点， 故和2是的两个实数根， ，， ． . 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．在上是减函数 C．在区间内有2个极值点 D．曲线在点处的切线的斜率大于0 【答案】BD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据给定的导函数图象，求出函数的单调区间，再逐项分析判断即可. 【详解】由图象知，当或时，，当或时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 对于A，，A错误； 对于B，函数在上单调递减，B正确； 对于C，函数在处取得极小值，在处取得极大值，在内有3个极值点，C错误； 对于D，当时，，因此曲线在点处切线的斜率，D正确. 故选：BD 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围. 【详解】，， 当时，，故在上单调递减； 当或时，，故在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值． 令，解得或， 函数在上存在最小值，且为开区间， ，解得． 故选：AD. 三、填空题 11．（23-24高二下·山东·期中）已知函数在处取得极值，则的值为 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先由导数可求出，再检验即可. 【详解】由题， 因为在处取得极值，所以，所以， 此时，为增函数， 令，所以当时，；当时，， 所以函数在处取得极值，故. 故答案为：. 12．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先利用导数求出函数的极值，再求出端点的函数值，然后比较大小即可求出函数的最小值. 【详解】,令,得或, 当或时，，当时，， 所以的极大值为， 极小值为， 因为，， 所以. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间是；单调递减区间是，极大值；极小值4. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，求函数的单调区间，再求函数的极值. 【详解】（1）根据题意有， 故切线的斜率. 又，故切点坐标为. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，当时，； 当时，；当时，. 所以的单调递增区间是；单调递减区间是. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. B能力提升 1．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意可得，分别求出两函数在给定区间上的最小值，然后解不等式可求得答案. 【详解】因为，，使得，所以， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为在上递增， 所以，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. C综合素养 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)是上的“双中值函数”，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、由导数求函数的最值（含参）、导数新定义 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【详解】（1）函数是上的“双中值函数”． 理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$