第09讲 第四章 数列 章节验收测评卷（综合卷）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第09讲 第四章 数列 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）若数列的通项公式为，则其前项和为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，则（    ） A．511 B．93 C．72 D．41 5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 10．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 11．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 13．（2024·安徽·模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 ． 14．（23-24高二下·北京·期中）网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是 . ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，． (1)求的通项公式： (2)记为的前n项和，若，求m． 16．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，，且成等比数列. (1)求和； (2)若，求数列的前20项和. 17．（2024·浙江·模拟预测）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 18．（23-24高二下·北京·期中）已知数列是等差数列，其前项和为，.再从下列三个条件中任选一个作为已知，进行作答. 条件①：； 条件②：； 条件③：； (1)判断2024是否数列中的项，并说明理由； (2)求的最值以及相应的的取值. 19．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 第四章 数列 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式求出、即可. 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的公式及性质可得解. 【详解】由题意得. 故选：B. 3．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）若数列的通项公式为，则其前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和 【分析】利用裂项相消法求和即可求和. 【详解】由于 故其前项和为， 故选：C． 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，则（    ） A．511 B．93 C．72 D．41 【答案】B 【知识点】对数的运算、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由已知递推关系求出数列的前10项，即可求解． 【详解】， ∴ ， 所以， 则， 故选：B． 5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】应用等比数列通项公式及项的性质计算解不等式即可. 【详解】当 时， 注意到 ， 因此 ， 即 解得 ; 当 时， 则 即 解得 ， 则 的取值范围为 . 故选 ：D. 6．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由与的关系，利用作差法求得，所以是首项为2，公差为的等差数列，求解即可. 【详解】当时， 所以，两式相减得：， 所以，即， 由于正项数列，所以，即， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：B 7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 8．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据数列的单调性求参数 【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意，恒成立， 即，恒成立， 所以，恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 【答案】AD 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 10．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【知识点】根据数列的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用数列的单调性结合函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】数列满足，且是递增数列， 则分段函数为增函数，则， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 则选项中和在内， 故选： 11．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】先由等差数列的条件求得通项公式，进而求得，，可判断AC，再根据，的正负情况判断BD. 【详解】设等差数列的公差为，则，， ，因为是与的等比中项，所以， 即，解得或，又因为，所以， 所以，故A正确； ， 令，则，又因为，所以，此时， 即只有时，且，除此之外， 所以成立，故B正确； ，故C错误； 因为只有时，，除此之外，所以的最小值为， 又时，，所以的最大值为， 所以成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题求解，，都比较常规，关键点在于由的正负特征推出的最值，从而判断出BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】判断数列的增减性、根据数列的单调性求参数 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 13．（2024·安徽·模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、基本不等式求和的最小值 【分析】结合等差数列的性质得到，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由正项等差数列的前项和为， 知，得， 故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 即的最小值为， 故答案为：. 14．（23-24高二下·北京·期中）网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是 . ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 【答案】②③④ 【知识点】数列新定义 【分析】根据题意得到数列是以4为首项，为公比的等比数列，进而求出的通项公式，再根据得到，得到的通项公式，最后验证四个选项得到答案. 【详解】由题意可得，，，，，则，则数列是以4为首项，为公比的等比数列，即， 由题意可得，即，，，，则， 对于①，正方形的面积，所以①不正确； 对于②，由上述分析可得②正确； 对于③，由，则数列是单调递减数列，由于，，，，，则使不等式成立的正整数的最大值为4，故③正确； 对于④，数列的前项和，故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】方法点睛，解决新定义题的关键是读懂材料，将题意与已学过知识进行结合. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，． (1)求的通项公式： (2)记为的前n项和，若，求m． 【答案】(1)或． (2)． 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）由条件求出公比，即可求解通项公式； （2）根据（1）的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）等比数列中，，． ，解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，或． （2）记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，， 解得． 16．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，，且成等比数列. (1)求和； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质可求出，再根据等差数列的通项公式和前项和公式即可求解； （2）结合题意，由（1）的结论可得，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设已知数列的公差为，则， 由，得，即， 所以或，显然不为0，所以， 所以，. （2）由（1）知，又， ， ， 所以. 17．（2024·浙江·模拟预测）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． （2）由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 18．（23-24高二下·北京·期中）已知数列是等差数列，其前项和为，.再从下列三个条件中任选一个作为已知，进行作答. 条件①：； 条件②：； 条件③：； (1)判断2024是否数列中的项，并说明理由； (2)求的最值以及相应的的取值. 【答案】(1)选①③，2024不是数列中的项；选②，2024是数列中的项； (2)选①，有最小值，最小值为，此时，无最大值；选②，有最小值，最小值为，此时或6，无最大值；选③，有最大值，最大值为，此时或，无最小值. 【知识点】验证是否为等差数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）选①，根据等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，进而得到方程，求出，不是正整数； 选②，根据等差数列通项公式基本量计算出首项和公差，从而得到方程，求出； 选③，根据等差数列通项公式基本量计算出首项和公差，得到方程，求出，作出判断； （2）选①，由得到时，，当时，，从而得到最值； 选②，，当时，，当时，，从而得到最值； 选③，，当时，，当时，，从而得到最值. 【详解】（1）选①，，2024不是数列中的项，理由如下： 故，解得， 故， 令，解得，不是正整数，故2024不是数列中的项； 选②：，2024是数列中的项，理由如下： 故，解得， 故， 令，解得，满足要求，2024是数列中的项； 选③：，2024不是数列中的项； 故，解得， 故， 令，解得，不是正整数，故2024不是数列中的项； （2）选①，， 由（1）得，当时，，当时，， 故有最小值，最小值为，此时，无最大值； 选②，， 由（1）得，当时，，当时，， 故有最小值，最小值为，此时或6，无最大值； 选③，， 由（1）知，，当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，此时或，无最小值. 19．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 【答案】(1)，，，， (2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析 (3) 【知识点】数列新定义 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或． 综上，符合条件的数列组合有： ，，，，． （2）（ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 学科网（北京）股份有限公司 $$