重难点突破01 辅助圆(重难点分析+4题型+反馈练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

第24章 重难点突破01 辅助圆 学习目标 ①理解圆的定义，并能根据圆的定义确定动点的运动轨迹（圆），转化问题，求出线段的长或线段的比值； ②会根据圆的定义，总结“阿氏圆”和“四点共圆”两种辅助圆模型，会分析动点的运动轨迹，求最值问题。 解题方法01 利用四点共圆作辅助圆 四点共圆模型：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆的三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 确定四点共圆的条件： ①利用圆的定义：题干中出现四个点到一定点的距离相等的条件说明这四个点共圆。 证明：∵OA=OB=OC=OD 结论：A、B、C、D四点共圆 【即学即练1】问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长． 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；② 【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明，即可根据解决问题； ②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题； 拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形； ②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：①证明：如图3中，连接， ∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆， ∴，∴，∴是等边三角形； ②解：作于H，∵，∴， 在中，∵，∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题． ②利用“一定边”对双直角：题干中出现一定边所对的角为两个直角，则这条边为圆的直径，两直角的两个顶点和这条边的两个端点（四个点）共圆。 证明：∵ 取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵， ∴BE=CE=AD=AE=ED 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径 同侧型 异侧型 【即学即练2】如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D四点共圆，然后证明出，进而得到，然后利用直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，    ∵∴∵∴∴ ∵，∴ ∴∴．故选：D． 【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【即学即练3】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 5+ 【分析】（1）延长DA，CB交于点H，由“ASA”可证≌，可得，由平行得相似，依据相似的性质即可求解；（2）先证明A，D，C，E四点共圆，因为F是AC中点，依据垂径定理，得到DF是AC的中垂线，依据线段的垂直平分线的性质可求得AD的长度，作于H，可证四边形ABCH是矩形，依据矩形的性质，结合线段长度，可得是的中垂线，由此可得AC的长度，在三角形ABC中，依据勾股定理可求得BC的长度，只需把各边相加即可得到四边形ABCD的周长. 【详解】解：（1）如图1中，延长DA，CB交于点H， ∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°， ∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH, ∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2， （2）如图2中，作AH⊥CD于H， ∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点， 又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC， ∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1， ∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2， ∴，四边形ABCD的周长为． 故答案为：（1）2；（2）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造中垂线、相似三角形、直角三角形，建立未知线段与已知线段之间等量的关系． ③利用对角互补：题干中出现四边形的对角互补的条件，说明四边形的四个顶点共圆 证明：∵ ∴ 结论：A、B、C、D四点共圆 证明： 结论：A、B、C、D四点共圆 图1 图2 解题方法02 利用圆的第二定义作辅助圆 ·知识点：圆的第二定义是指动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），动点的轨迹即是圆。 补充说明：此结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 【即学即练4】图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____． 【答案】5 【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值 【详解】解：如图， 在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动， 在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG， ∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI， ∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键． 利用阿氏圆模型解动点中的最值问题 ·根据圆的第二定义分析模型：⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即）， ∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 ·利用“阿氏圆”求最值：通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 补充说明：注意区分将军饮马模型和阿氏圆模型：在“将军饮马模型”——“k·PA+PB”最值问题中，P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【题型一：利用圆的定义作辅助圆求最值问题】 例1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论． 【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 变式1-1．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 变式1-2．（2024·安徽淮北·二模）已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】由题意得到点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动，在上取点M，使得，连接，根据动点的运动轨迹，结合点到圆上的最值距离，利用勾股定理逐一求值判断即可． 【详解】解：如图，由题意可得：点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动， 在上取点M，使得，连接， A、当点三点共线时，即点M与点Q重合，有最小值， ， ， 的最小值为3，正确，不符合题意； B、当点三点共线时，即点P与点N重合，有最小值， ， ， 最小值为，正确，不符合题意； C、为定值， 有最大值时，有最大值， 如图，当点三点共线，且点B在点D与点P中间时，有最大值， ， ，此时， 的最大值是，错误，符合题意； D、， ， ， 当点三点共线时，即点P与点G重合，有最小值，最小值为的长， ， ， 的最小值为5，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到圆上距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确作出辅助线找到动点轨迹是解题的关键． 例2．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（    ） A． B．无论点E在何位置，总有 C．若，则线段的最小值为 D．若，的最大值为 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图所示，连接，根据矩形的性质，勾股定理可得，结合点E在矩形ABCD内部，可判定A选项；如图1，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为，可证四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据勾股定理可判定B选项；根据题意，可得E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，根据圆的基础知识，勾股定理即可判定C选项；根据题意作图，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，则点F在优弧上运动，当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径，可判定D选项． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵点E在矩形内部， ∴点E不与点A、点C重合，即，故A正确； 如图，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为， 设，，，， ∴四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，故B正确； 如图， ∵， ∴， ∴E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为8．故C正确； 如图3， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长至F，使， ∴，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，则点F在优弧上运动， ∴当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．故选项D错误． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理的运用，线段最短的理解与计算，圆的基础知识的综合运用，掌握矩形的性质，最短路径的计算方法，合理作出辅助线是解题的关键． 【方法技巧与总结】 圆的定义：平面内一动点到一定点的距离是个定值的动点的轨迹是圆，该定值是圆的半径 【题型二：利用“一定边对两直角”作辅助圆】 例3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形的两条对角线相交于点O，，，则下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】，得到四点共圆，圆周角定理，得到，判断A，将绕点旋转，得到线段，连接，得到三点共线，证明，得到，判断B，证明，得到，判断C，等量代换结合勾股定理判断D． 【详解】解：∵， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴平分；故A选项正确； 将绕点旋转，得到线段，连接，则：， ∴， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 若：， 则：， 即：， ∴， 无法得到，故选项C错误； ∵，，， ∴，， ∴ ；故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题的综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，得到四点共圆，是解题的关键． 例4．（2024·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，，交于，给出下面四个结论：①，②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】①取的中点，连接，，利用直角三角形性质可得，即，，，四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①；②将绕点顺时针旋转得到，可证得，即可判断结论②；③连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，可证得，再结合等腰直角三角形性质即可判断结论③；④分当点P不与点D重合时，当点P与点D重合时，两种情况讨论，延长至，使，连接，取的中点，连接，，可证得，，进而可证得，再利用相似三角形性质、等腰直角三角形性质即可判断结论④． 【详解】解：①如图1，取的中点，连接，， ，四边形是正方形， ，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ；故①正确； ②将绕点顺时针旋转得到，如图2， ，， ， ，，共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；故②正确； ③连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，如图3， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故③正确； ④当点P不与点D重合时，延长至，使，连接，取的中点，连接，，如图4， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， 是的中点， ， ，，，四点共圆， ， 由②得， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， 如图，当点P与点D重合时， 此时点重合，点重合，点重合， ， 综上，，故④错误； 故正确的有：①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等或相似． 【题型三：利用“四边形对角互补”作辅助圆】 例5．（2024·安徽黄山·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，和相交于点，点落在线段上，连接． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 /40度 【知识点】根据旋转的性质求解、求角的正切值、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）利用等腰三角形的性质三角形内角和定理求解即可； （2）连接，证明是等腰直角三角形，，即可解决问题． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：； （2）连接． 由旋转的性质可知，， ，，，四点共圆， ， ， ， ． ，， ， ，，，四点共圆， ， ， ， 由旋转可知， ∴, ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆内接四边形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 例6．（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、圆周角定理 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 本题中先证明，角度推导得，继而确定点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接，利用等边对等角以及四边形内角和定理可求出，后面解含有角的直角三角形即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接 ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由得，， 当O、P、C三点共线，即点P位于点时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，由得， ∴， ∴，即最小值为， 故选：A． 变式6．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和直角三角形的性质．以为边在外作等边，取的外心为，求得点在上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：∵等边边长为，点M为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 以为边在外作等边，取的外心为，连接， ∵， ∴点在上运动， 作点关于的对称点，连接交于点， 当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长， 过点作直线的垂线，垂足为，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵是的外心， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 在中，， ∴， ∴的最小值为：， 故选：B． 【技巧方法与总结】①辅助圆：条件：一定边所对的角为两个直角；结论：两直角的两个顶点（含动点）和这条边的两个端点（四个点）共圆，则这条边为圆的直径。②圆外一点到圆上一点的距离的最大值=到圆心的距离+半径；圆外一点到圆上一点的距离的最小值=到圆心的距离-半径。③利用轴对称的性质，转化为三点共线求线段和的最小值 【题型四：利用“阿氏圆”求最值问题】 例7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 【答案】5 【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5． 详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图， ∵，，∴， ∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC， 当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5 变式7-1.如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值． 【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG， ∵，，∴， ∵G是BE的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长， ．故选：C． 【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值． 变式7-2.（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 【方法技巧与总结】 阿氏圆求最值问题：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 1．（2024·安徽宿州·一模）如图，在中，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则以为边长的正方形的面积的最小值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，根据题意得出四点共圆，为定角，则当圆的直径最小时，最小，当时，最小，圆的直径最小，则取得最小值，则正方形的面积最小，进而求得，根据，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， 连接，则四点共圆，为直径， ∵，， ∴为定角，则当圆的直径最小时，最小 ∴当时，最小，圆的直径最小，则取得最小值，则正方形的面积最小， ∴，则 ∴， 在中， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴正方形的最小面积为 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂线段最短，正方形的性质，得出当时最小是解题的关键． 2．（2024·安徽安庆·一模）如图，已知正方形的边长为，为边上一点，，为边上一点，沿将折叠，使得点的对应点为，连接，，，，有以下结论：①若，则②若，则③的面积最大值是④ 的最小值是，其中正确的有（    ） A．① ② ③ ④ B．① ③ ④ C．① ② ④ D．① ② ③ 【答案】A 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆外一点与到圆上的距离的最值问题；根据，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，得出在上，进而求得长，当在点时，的面积取得最大值，根据得出在为圆心，半径为的圆上运动，进而可得当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：①∵正方形的边长为，， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 在中，，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵沿将折叠，使得点的对应点为， ∴是等腰直角三角形， 则 又∵ ∴在上， ∴ ∵ ∴，故②正确 当重合时，的面积最大，最大值为，故③正确 ∵ ∴在为圆心，半径为的圆上运动， ∴当在上时，取得最小值，最小值为，故④正确 故选：A． 2．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求线段长、圆周角定理、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】取中点O，再取中点G，点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，连接，可知，所以点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点O，再取中点G，连接，， ∴，，    ∵，， ∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧， 当点D、F、G共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【知识点】圆周角定理、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）连接，根据为的中点，可得，，则，根据，，易得四点在同一个圆上，根据圆周角定理，则有； （2）过点分别作于点，作于点 ，易证，可得 ，即 ，根据，有， ，即；根据，得到 ，即，可得，即有 ，即． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四点在同一个圆上， ∴；    （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ，    则有： ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 又∵， ∴，则有 ，即． ∵， ∴，即， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，平角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质证明 【分析】以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，可得，证明可得°，即点在以为直径的圆上，从而可得最短时点在上，利用勾股定理求得，继而求出和，的值． 【详解】解：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，连接， ∴，，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最短时，最短， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴当点在上时，最短，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理等知识点，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 5．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图1，在中，，，，点是上一点（不与点，重合），作，交于点．如图2，把绕点顺时针旋转度，连接，，．在旋转过程中，完成以下问题，： (1)如图2，求证：； (2)如图3，若点，，分别是，，的中点，求的值； (3)如图2，若，求面积的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)24 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由，得，再说明，可得； （2）由三角形中位线定理知．同理，．由（1）知，进而解决问题； （3）根据绕点旋转，则是的半径，要使达到最小值，即：使以为底，点到上的距离达到最小值．过点作于点．当点，，三点共线时，有最小值，即，进而解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，绕点旋转前，， ， ， 即， 如图2，绕点顺时针旋转度过程中， ， ∴， ， ． （2）解：点，，分别是，，的中点， 是的中位线， ．同理，． 由（1）得，且，． ， ； （3）解：如图， ． ， ． 绕点旋转，则是的半径， 要使达到最小值，即：使以为底，点到上的距离达到最小值． 过点作于点． 在绕点顺时针旋转度的过程中，的三边关系有： ， 当点，，三点共线时，有最小值，即， ， ， ， ． 即面积的最小值为24． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形中位线定理，旋转的性质等知识，确定点的运动路径是解题的关键． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点F，，连接，求的值． ．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将点E改为射线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当时，请求出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的长为或． 【知识点】已知圆内接四边形求角度、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，可得 （3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴点C，点E，点B，点F四点共圆， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当E在上时， 由（2）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 当E在延长线上时，设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 重难点突破01 辅助圆 学习目标 ①理解圆的定义，并能根据圆的定义确定动点的运动轨迹（圆），转化问题，求出线段的长或线段的比值； ②会根据圆的定义，总结“阿氏圆”和“四点共圆”两种辅助圆模型，会分析动点的运动轨迹，求最值问题。 解题方法01 利用四点共圆作辅助圆 ·四点共圆模型：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 ·四点共圆的三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 ·确定四点共圆的条件： ①利用圆的定义：题干中出现四个点到一定点的距离相等的条件说明这四个点共圆。 证明：∵OA=OB=OC=OD 结论：A、B、C、D四点共圆 【即学即练1】问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长． ②利用“一定边”对双直角：题干中出现一定边所对的角为两个直角，则这条边为圆的直径，两直角的两个顶点和这条边的两个端点（四个点）共圆。 证明：∵ 取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵， ∴BE=CE=AD=AE=ED 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径 同侧型 异侧型 【即学即练2】如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【即学即练3】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． ③利用对角互补：题干中出现四边形的对角互补的条件，说明四边形的四个顶点共圆 证明：∵ ∴ 结论：A、B、C、D四点共圆 证明： 结论：A、B、C、D四点共圆 图1 图2 解题方法02 利用圆的第二定义作辅助圆 ·知识点：圆的第二定义是指动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），动点的轨迹即是圆。 补充说明：此结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 【即学即练4】图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____． 利用阿氏圆模型解动点中的最值问题 ·根据圆的第二定义分析模型：⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即）， ∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 ·利用“阿氏圆”求最值：通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 补充说明：注意区分将军饮马模型和阿氏圆模型：在“将军饮马模型”——“k·PA+PB”最值问题中，P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【题型一：利用圆的定义作辅助圆求最值问题】 例1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 变式1-1．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 变式1-2．（2024·安徽淮北·二模）已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 例2．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（    ） A． B．无论点E在何位置，总有 C．若，则线段的最小值为 D．若，的最大值为 【方法技巧与总结】 圆的定义：平面内一动点到一定点的距离是个定值的动点的轨迹是圆，该定值是圆的半径 【题型二：利用“一定边对两直角”作辅助圆】 例3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形的两条对角线相交于点O，，，则下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 例4．（2024·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，，交于，给出下面四个结论：①，②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型三：利用“四边形对角互补”作辅助圆】 例5．（2024·安徽黄山·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，和相交于点，点落在线段上，连接． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 例6．（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．3 变式6．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【技巧方法与总结】①辅助圆：条件：一定边所对的角为两个直角；结论：两直角的两个顶点（含动点）和这条边的两个端点（四个点）共圆，则这条边为圆的直径。②圆外一点到圆上一点的距离的最大值=到圆心的距离+半径；圆外一点到圆上一点的距离的最小值=到圆心的距离-半径。③利用轴对称的性质，转化为三点共线求线段和的最小值 【题型四：利用“阿氏圆”求最值问题】 例7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 变式7-1.如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式7-2.（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【方法技巧与总结】 阿氏圆求最值问题：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 1．（2024·安徽宿州·一模）如图，在中，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则以为边长的正方形的面积的最小值为（   ） A．8 B． C． D． 2．（2024·安徽安庆·一模）如图，已知正方形的边长为，为边上一点，，为边上一点，沿将折叠，使得点的对应点为，连接，，，，有以下结论：①若，则②若，则③的面积最大值是④ 的最小值是，其中正确的有（    ） A．① ② ③ ④ B．① ③ ④ C．① ② ④ D．① ② ③ 2．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 3．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点，连接，则线段的最小值是 ． 5．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图1，在中，，，，点是上一点（不与点，重合），作，交于点．如图2，把绕点顺时针旋转度，连接，，．在旋转过程中，完成以下问题，： (1)如图2，求证：； (2)如图3，若点，，分别是，，的中点，求的值； (3)如图2，若，求面积的最小值． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点F，，连接，求的值． ．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将点E改为射线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当时，请求出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$