专题拓展：含参函数的单调性讨论（4大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

专题拓展：含参函数的单调性讨论 一、导数与函数的单调性 1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内是函数在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对，都有 且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、确定函数单调区间的求法 （1）确定函数的定义域； （2）求； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 二、含参函数单调性讨论依据 讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类： （1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； （2）导函数是都有变号零点，即“有没有”； （3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”； （4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”． 三、两大类含参导函数的具体方法 1、含参的一次函数单调性讨论 （1）讨论最高次项是否为0，正负情况； （2）求解导函数的根； （3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值． 2、含参的二次函数单调性的讨论 （1）确定函数的定义域； （2）讨论最高次项是否为0，正负情况； （3）可因式分解型，解得（注意讨论）；不可因式分解型，讨论及； （4）讨论和的大小，能因式分解的，注意讨论； （5）将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值， 判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式． 题型一 导函数为一次型 【例1】（23-24高三上·河南南阳·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)；(2)在区间上单调递增，在区间上单调递减 【解析】（1）当时，，则， 所以，当时，，又， 所以，由导数的几何意义知曲线在点处的切线方程为． （2）因为，易知，， 则， 又，当时，,当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【变式1-1】（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1个；(2)见解析 【解析】（1）当时，，即， 设，则，且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 【变式1-2】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数，且． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为，所以， 则，， 所以在处的切线方程为 即. （2）由（1）得，， 当时，，则，故在上单调递减， 当时，令则， 当时，，单调递增, 当时，，单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式1-3】（23-24高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若，求实数的值; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)；(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】（1）， 因为，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令解得， 的解集为， 的解集为， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型二 导函数为二次可分解型 【例2】（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，，在上单调递增， 当时，由得，或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，由得，或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式2-1】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式2-2】（23-24高二下·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为，所以. 由， 得曲线在点处的切线方程为， 即，则，解得， （2）. 若，则当时，，当时，. 若，则当时，， 当时，. 若，则在上恒成立. 若，则当时，，当时，. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【变式2-3】（23-24高二下·四川遂宁·月考）讨论函数的单调性 【答案】见解析. 【解析】 ， 令得， 当即时，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，；当或时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当即时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当，即时， 当时，；当或时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型三 导函数为二次不可分解型 【例3】（23-24高二下·广东中山·月考）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析 【解析】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 故切线方程为，即，所以恒过原点． （2）由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增； 在上单调递减． 【变式3-1】（23-24高三下·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，， ， 所求切线方程为，整理得：； （2）， 因为，故时，在上单调递增， 当时，对于， 若，则，此时在上单调递增， 若，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上所述：时，在上单调递增； 时，在、上单调递增， 在上单调递减. 【变式3-2】（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数 (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由题意，若函数在处的切线与直线垂直， 则，解得. （2）由题意， 所以若，则， 所以此时在定义域内单调递增； 若，令，解得， 若，则当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增； 若，则当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增； 综上所述，若，在定义域内单调递增； 若，则当时， 单调递增， 当时， 单调递减， 当时， 单调递增； 若，则当时， 单调递减， 当时， 单调递增. 【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)；(2)在上单调递增 【解析】（1）（1）时， ，所以 所以函数在处的切线方程为， 整理得 所以函数在处的切线方程是：. （2）因为 所以 令，即 当时，即时，恒成立，此时在R上单调递增. 当时，即或时，解得 所以当时或 当时， 此时在单调递减， 单调递增区间为，. 题型四 其他类型的分类讨论 【例4】已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】∵，∴， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【变式4-1】（24-25高三上·贵州·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 【变式4-2】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 【变式4-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以所求的切线方程为，即. （2）由（1）可知：的定义域为，，且 令，解得或或（舍去）， 当，即时，则， 可知在内单调递增； 当，即时，则有： 若，则；若，则； 可知在内单调递增，在内单调递减； 当，即时，则有： 若，则；若，则； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减为； 当时，的单调递增区间为，单调递减为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：含参函数的单调性讨论 一、导数与函数的单调性 1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内是函数在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对，都有 且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、确定函数单调区间的求法 （1）确定函数的定义域； （2）求； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 二、含参函数单调性讨论依据 讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类： （1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； （2）导函数是都有变号零点，即“有没有”； （3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”； （4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”． 三、两大类含参导函数的具体方法 1、含参的一次函数单调性讨论 （1）讨论最高次项是否为0，正负情况； （2）求解导函数的根； （3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值． 2、含参的二次函数单调性的讨论 （1）确定函数的定义域； （2）讨论最高次项是否为0，正负情况； （3）可因式分解型，解得（注意讨论）；不可因式分解型，讨论及； （4）讨论和的大小，能因式分解的，注意讨论； （5）将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值， 判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式． 题型一 导函数为一次型 【例1】（23-24高三上·河南南阳·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 【变式1-1】（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【变式1-2】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数，且． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)讨论函数的单调性． 【变式1-3】（23-24高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若，求实数的值; (2)求函数的单调区间. 题型二 导函数为二次可分解型 【例2】（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式2-1】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式2-2】（23-24高二下·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 【变式2-3】（23-24高二下·四川遂宁·月考）讨论函数的单调性 题型三 导函数为二次不可分解型 【例3】（23-24高二下·广东中山·月考）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【变式3-1】（23-24高三下·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式3-2】（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数 (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性． 【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 题型四 其他类型的分类讨论 【例4】已知函数.讨论的单调性； 【变式4-1】（24-25高三上·贵州·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【变式4-2】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式4-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$