专题训练：数列综合大题精练30题-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

专题训练：数列综合大题精练30题 1．（23-24高二下·云南昆明·月考）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 2．（24-25高二上·河南·期中）设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且． (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)5 【解析】（1）设公差为， 因为，且， 所以，解得或（舍）， 故； （2）由（1）可得，， 若，则，解得， 故n的最小值为5． 3．（23-24高二上·福建漳州·月考）已知数列的前n项和，且； (1)求的通项公式； (2)若，求数的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， ∴当时，， 当时，， 又当时，满足， ； （2）， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 4．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为，且， 当时，， 得， 整理得：， 所以为首项是，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以当时，，当时，； 所以当，， 当时，， 而， 所以. 5．（23-24高二上·江西·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）解：因为在数列中，，， 所以，， 所以，等式两边同加上得， 因为， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，． （2）因为， 即 所以，为单调递减数列， 因为，， 所以，时，，时，， 记的前项和为，则， 所以，当时，，； 当时，，，① ，② 所以，①②得：， 即， 综上， 6．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，. (1)求的通项公式； (2)求数列的最大项的值. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以， 设等差数列的公差为， 因为，， 所以， 即，. （2）由上可知，. 所以令， 则有， 当时，， 即数列从第一项起一直增加到第10项， 当时，， 即数列从第10项开始递减， 因此为数列的最大项，， 所以数列的最大项的值为. 7．（24-25高二上·云南玉溪·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求使取得最大值时的n的值. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，，， 所以是首项和公比均为的等比数列. . （2）由（1）可得，所以， 时，由，可得； 故当，， 当时，， 当时，， 所以， 综上，或时，取得最大值. 8．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值. 【答案】(1)；(2)，最小值为2 【解析】（1）由题意知：设数列公比为， 当时，① 当时，② 联立①②，，故或（舍），故. 所以数列的通项公式， 此时，符合题设条件， 故数列的通项公式. （2）证明：由（1）知，. 所以. 所以，所以， 因 ， 所以是递增数列，故的最小值为. 9．（24-25高二上·四川遂宁·月考）已知等差数列中，，前项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，. (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前项的和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，， 解得：故 （2）由（1）得，，， 则 . 10．（23-24高二下·重庆·月考）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立． (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前项和．证明：当时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）当时，，解得或0， 是各项均为正数的等差数列，故， ①， 当时，②， 则①-②得， 故， 因为，所以，则， 则的公差为1，则， 经检验，满足要求，故通项公式为； （2），， ， 当为偶数时， ， 当且为偶数时，， 故； 当为奇数时，， 当且为奇数时， ， 综上，当时，． 11．（23-24高二下·山东淄博·月考）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前83项的和. 【答案】(1)，；(2)180 【解析】（1）设公差为， 故，解得， 故， 故，① 当时，， 当时，，② 式子①-②得，， 即， 当时，也满足上式，故； （2）因为，所以在中，从项开始，到项为止， 共有项数为， 当时，，当时，， 故数列前项是项之后还有项为2， . 12．（24-25高二上·江苏盐城·月考）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知数列满足，其前项和，求 【答案】(1)，，；(2)存在，；(3)1948 【解析】（1）由 同理可得，． （2）假设存在的实数符合题意， 则必是与无关的常数， 则． 故存在实数，使得数列为等差数列． （3）由（2）知数列是公差的等差数列 ， 所以. 13．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以， 因为各项均为正数，， 所以， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 故. （2）， 所以 . 14．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）将两边同时除以， 得. 所以是等差数列. 当时，，公差是， 得，则，① 当时，，② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以. （2）证明：由（1）得， 所以， 因为，所以. 15．（24-25高二上·江苏镇江·月考）设正项数列的前项和为，且，当时， (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，则， 因为为正项数列的前n项和，且， 则，，可得， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，则有， 当时，， 又也适合， 故数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 根据的定义可知， 则， 所以. 16．（24-25高二上·山东·期中）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意， 所以，当时，， 两式作差得， 所以，则数列为常数数列， 且，所以； （2）， 所以，① ② ①-②得 所以 17．（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知数列中，，，，且满足. (1)证明：数列为等比数列.并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；；(2) 【解析】（1）由，有， 可得， 可化为，有， 又由， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 有，可得； （2）由（1）可得，. 有， 等式两边同乘2，有， 两式作差，有， 有， 有， 可得； 18．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）已知数列的满足. (1)求数列的通项公式. (2)设数列前项和为，求. (3)证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明过程见解析 【解析】（1）， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）由题意， 从而 ； （3）， 当时，， 当时，， 当时， . 19．（24-25高二上·广西南宁·月考） 已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前n项和. (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）证明：由，得， 则，即，又， 所以数列为等差数列，首项为1，公差为2. （2）由（1）知，数列为等差数列，首项为1，公差为2， 则， 又，所以， 则， 所以. （3）由（2）知，，则， 则，① 则，② ①②得，， 则， 则. 20．（23-24高二下·湖北·月考）已知数列满足：. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以数列为等差数列， 公差， 所以. （2）证明：令，因为，且， 所以； 因为， 所以 ， 因为，所以，故. 综上，. 21．（23-24高二下·湖南·期末）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)若数列满足，求数列的前30项和（，）. 【答案】(1),,；(2)3；(3) 【解析】（1）因为， 所以当时，解得， 当时，由，解得， 当时，， 则， 化简得，而，所以， 所以数列为等差数列，所以. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，当或时，取最大值， 所以数列的最大项为第项或第项，其值为. （3）由题可知，当时， ， 所以， 当时，， 所以， ， 相减得，， 所以， 所以 22．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，所以，则， 当时，， 当时，， 当时也成立， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 所以， 则 ， 所以； （3）由题意，数列元素依次为， 在到之间的个数为，故到处共有个元素， 所以前项中含及个， 故. 23．（23-24高二下·辽宁大连·月考）（1）若数列满足，，求； （2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）由，又有， 所以易知，且，联立解得； （2）由题意知：， 所以令， 即证明， 因为n为大于1的自然数， 当时，左边，右边， 左边右边，所以时，不等式成立； 假设当时原不等式也成立， 即成立； 则当时， ， 即， 所以依然成立，即时，原不等式仍成立， 所以且时原不等式总成立. 故. 24．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列和满足，且数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)令，记数列前n项和为，证明：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）由条件可联立， 两式相加得，即 则数列是以为首项，为公比的等比数列，且通项为① 两式相减得，即 则数列是以为首项，为公差的等差数列，且通项为② 由得 则 （2）方法一：由（1）可知 当时， 当时， 综上，对任意. 方法二：由（1）知， 可得 则 综上，对任意. 25．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，；(2)；(3). 【解析】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 26．（24-25高二上·天津西青·月考）已知等差数列与正项等比数列满足 ，且是 和的等差中项. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前项和; (3)设，记的前项和.若对于且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3)的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为， 因为是 和的等差中项， 所以，又， 所以，故， 所以， 所以数列的通项公式为， （2）由（1）得， 数列的前项和， 所以， 所以， （3）由（1）， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以不等式，可化为， 因为， 所以， 由已知当且时，不等式恒成立， 所以， 又， 所以当时，， 当，时，， 所以当且时， 所以， 所以的取值范围. 27．（23-24高二下·湖南长沙·月考）已知数列：的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. (1)若数列：，且，，求数列和集合； (2)若是递增的等差数列，求的值（用表示），并说明理由； (3)请你判断是否存在最大值，并说明理由. 【答案】(1)：，；(2)，利用见解析(3)存在，理由见解析 【解析】（1）由：，且，得，，均不相等， 则2，，都是集合中的元素，而， 于是，解得，， 所以数列：，. （2）因为为递增的等差数列，设的公差为， 当时，，则， 所以. （3）存在最大值，理由如下： 依题意，集合中的元素个数最多为个， 即，取：，此时， 若存在，则，其中， 故，若， 不妨设， 则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 即有，，因此由：得到的彼此相异， 于是，即的最大值为，所以必有最大值. 28．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)答案见解析 【解析】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 29．（23-24高二下·河北·期末）设n为正整数，数列是首项为1，公比为的等比数列.从中任意选取两项和，若它们的和大于，则称该选取为“有效选取”. (1)当时，求所有“有效选取”的种数； (2)若，证明：对于任意的n，都存在“有效选取”； (3)若，证明：对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于. 【答案】(1)13；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）由题意，， 当时，数列为，共有项， 从中任意选取两项和，则所有取法有种； 若为“有效选取”，则，且， 当时，；当时，， 故不是有效选取,而其余取值都满足， 故所有“有效选取”的种数共有种； （2）由题意，等比数列为， 因为，所以，即该数列为递增数列， 故，，即的最大值为. 由，可得 ， ①当时，； ②当时，； ③当时，. 综上，任意，当时，都有. 即当时，对于任意的n，当时，都有， 即对于任意的n，都存在“有效选取”. （3）由（2）知，数列为递增数列， 则，， 即的最大值为， 令，因为，则随的增大而增大. 所以， 故当时，任意，恒成立，故恒成立， 即任意，存在，即数列两项，它们的差的绝对值大于. 故当时，对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于. 30．（23-24高二下·安徽·月考）从中选取个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列，称数列为的子数列，当时，把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列，称数列为的子二代数列． (1)若的子数列是首项为2，公比为2的等比数列，求的子二代数列的前8项和； (2)若的子数列是递增数列，且子二代数列共有项，求证：是等差数列； (3)若，求的子二代数列的项数的最大值． 【答案】(1)86；(2)证明见解析；(3)4950． 【解析】（1）由题意，得， 所以数列的前8项依次为：2，4，6，8，12，14，16，24， 因为， 所以数列的前8项和为86． （2）因为是递增数列，且共有项， 所以， 所以，，，…，这个数互不相等，且都是中的项， 同理，， 所以，，，…，，这个数互不相等， 且都是中的项， 又中共有项，所以，，…，， 所以， 所以是等差数列． （3）因为，当时，的结果共有个， 设，则， 若存在，，，使得，则， 所以， 若，设，则， 是偶数，是奇数，矛盾， 所以，， 所以的4950个结果可以互不相等， 所以的项数的最大值为4950． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练：数列综合大题精练30题 1．（23-24高二下·云南昆明·月考）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 2．（24-25高二上·河南·期中）设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且． (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 3．（23-24高二上·福建漳州·月考）已知数列的前n项和，且； (1)求的通项公式； (2)若，求数的前n项和． 4．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 5．（23-24高二上·江西·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，. (1)求的通项公式； (2)求数列的最大项的值. 7．（24-25高二上·云南玉溪·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求使取得最大值时的n的值. 8．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值. 9．（24-25高二上·四川遂宁·月考）已知等差数列中，，前项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，. (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前项的和. 10．（23-24高二下·重庆·月考）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立． (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前项和．证明：当时，． 11．（23-24高二下·山东淄博·月考）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前83项的和. 12．（24-25高二上·江苏盐城·月考）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知数列满足，其前项和，求 13．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求. 14．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 15．（24-25高二上·江苏镇江·月考）设正项数列的前项和为，且，当时， (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和 16．（24-25高二上·山东·期中）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 17．（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知数列中，，，，且满足. (1)证明：数列为等比数列.并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 18．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）已知数列的满足. (1)求数列的通项公式. (2)设数列前项和为，求. (3)证明：． 19．（24-25高二上·广西南宁·月考） 已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前n项和. (3)若，求数列的前n项和. 20．（23-24高二下·湖北·月考）已知数列满足：. (1)求； (2)证明：. 21．（23-24高二下·湖南·期末）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)若数列满足，求数列的前30项和（，）. 22．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 23．（23-24高二下·辽宁大连·月考）（1）若数列满足，，求； （2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：． 24．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列和满足，且数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)令，记数列前n项和为，证明：. 25．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 26．（24-25高二上·天津西青·月考）已知等差数列与正项等比数列满足 ，且是 和的等差中项. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前项和; (3)设，记的前项和.若对于且恒成立，求实数的取值范围. 27．（23-24高二下·湖南长沙·月考）已知数列：的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. (1)若数列：，且，，求数列和集合； (2)若是递增的等差数列，求的值（用表示），并说明理由； (3)请你判断是否存在最大值，并说明理由. 28．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 29．（23-24高二下·河北·期末）设n为正整数，数列是首项为1，公比为的等比数列.从中任意选取两项和，若它们的和大于，则称该选取为“有效选取”. (1)当时，求所有“有效选取”的种数； (2)若，证明：对于任意的n，都存在“有效选取”； (3)若，证明：对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于. 30．（23-24高二下·安徽·月考）从中选取个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列，称数列为的子数列，当时，把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列，称数列为的子二代数列． (1)若的子数列是首项为2，公比为2的等比数列，求的子二代数列的前8项和； (2)若的子数列是递增数列，且子二代数列共有项，求证：是等差数列； (3)若，求的子二代数列的项数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$