专题05 三角函数（知识梳理+15考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题05 三角函数 目录 考情回顾 2 考情解读 2 知识梳理 3 考点精讲 9 考点一：象限角与终边相同的角 9 考点二：弧度制及其应用 10 考点三：三角函数的定义 10 考点四：三角函数值符号的判定 10 考点五：同角三角函数“知一求二”问题 11 考点六：同角三角函数“弦切互化”问题 11 考点七：同角三角函数“和积转换”问题 12 考点八：诱导公式 12 考点九：和、差角公式的应用 12 考点十：二倍角公式的应用 13 考点十一：辅助角公式的运用 13 考点十二：三角函数的图象和性质 13 考点十三：三角函数的值域与最值 14 考点十四：三角函数的图象变换 14 考点十五：求三角函数解析式 14 实战训练 15 考情回顾 考点 考频 考查内容 任意角和弧度制 5年1考 终边相同的角、弧度制 同角三角函数的基本关系 5年2考 三角函数的符号判定及任意角三角函数的定义 诱导公式 5年3考 诱导公式 同角三角恒等变换 5年2考 和差角公式及二倍角公式 三角函数的图象和性质 5年1考 周期性、奇偶性、对称性、单调性 三角函数的图象变换 5年1考 三角函数的图象变换 考情解读 1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2.三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式， 能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性. (3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等).理解正切函数在区间的单调性. (4)理解同角三角函数的基本关系式： sin²x+cos²x=1,. (5)了解函数的物理意义，能画出的图象，了解参数 对函数图象变化的影响。 (6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 3.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 ③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 知识梳理 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4、终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 5、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 6、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 7、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 8、扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 9、任意角的三角函数定义 （1）单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （2）终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  10、三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） 11、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系： （2）商数关系:（，） 诱导公式一 ① ② ③其中.  公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 公式八 12、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 13、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 14、二倍角公式 ① ②；； ③ 15、降幂公式 16、辅助角公式： (其中) 17、五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 18、三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 19、根据图象求解析式 形如的解析式求法： （1）求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. （2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. （3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. 考点精讲 考点一：象限角与终边相同的角 【典型例题】 解题策略 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 例1．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出与角的终边相同的角为，，即可得出正确答案. 【详解】与角的终边相同的角为， 当时，，B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数， 即其他三个选项均不合要求. 故选：B 例2．在平面直角坐标系中，若，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】根据角度直接判断其所在象限． 【详解】因为，所以是第一象限角． 故选：A． 例3．若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】根据的范围求出的范围即可得答案. 【详解】因为在第三象限 所以， 所以， 所以在第二、四象限. 故选：C. 【即时演练】 1．在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合角的定义即可得解. 【详解】当终边在轴非负半轴上时，有， 当终边在轴非正半轴上时，有， 故终边在轴上的角的集合为. 故选：C. 2．下列选项中，角是第一象限角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】由象限角的定义即可得出答案. 【详解】由象限角的定义可知，选项A为第一象限角. 故选：A. 考点二：弧度制及其应用 【典型例题】 解题策略 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 例1．把45°化成弧度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的弧度制与角度制的互化即可求解. 【详解】， 所以. 故选：. 例2．（2023高三·广东·学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解． 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得 故选：C． 例3．已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式计算即可. 【详解】由题意，扇形的弧长为. 故选：C. 例4．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 【答案】/ 【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解. 【详解】因为，， 所以该扇形的弧长为（cm）， 故该扇形的面积（cm2）． 故答案为：. 【即时演练】 1．将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】B 【分析】根据弧度和角度的互换计算即可. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 2．沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．    【答案】/ 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】如图，连接，    因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故答案为： 3．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到圆心角，结合弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，可知圆心角，半径， 所以所对应的弧长为． 故答案为：. 考点三：三角函数的定义 【典型例题】 解题策略 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值． (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值． 例1．已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的定义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：B. 例2．已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数定义代入点坐标计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：B 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点（3，4)，则角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由任意角的三角函数定义即可得到结果. 【详解】根据公式tan = = ， 故选：B. 【即时演练】 1．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可. 【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为，所以. 故选：C 2．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由三角函数的定义求解， 【详解】由题意得， 故选：C 3．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的坐标定义求出即得解. 【详解】由题得，， . 故选：A 考点四：三角函数值符号的判定 【典型例题】 解题策略 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解． 例1．若满足，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】直接根据各象限三角函数的符号判断即可得答案. 【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴上， 由，可知的终边在第一象限或在第三象限， 则的终边在第三象限， 故选：C. 例2．（2022高三下·广东·学业考试）若且，则是（     ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据任意角三角比的定义判断即可. 【详解】，， 所以是第二象限角. 故选：B. 【即时演练】 1．已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 2．已知，，则是第 象限角． 【答案】四 【分析】由三角函数的正负，判断角所在的象限； 【详解】，角在第三，四象限和y轴非正半轴; ，角在第一，第四象限和x轴非负半轴; 综上可知，满足，且，则是第四象限. 故答案为：四 考点五：同角三角函数“知一求二”问题 【典例讲解】 解题策略 利用同角基本关系“知一求二”的方法 例1．（2022高二上·广东·学业考试）已知是第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】因为是第一象限角，则. 故选：B. 例2．已知，且为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦的同角关系求出，再利用商数关系进而可以求解． 【详解】，且是第三象限的角， 所以， 则， 故选：B． 例3．已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角间的三角函数关系计算． 【详解】是第三象限角，则， 又，故可解得， 故选：B． 【即时演练】 1．（2022高三下·广东·学业考试）已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合所在象限可得. 【详解】因为是第二象限角，， 所以. 故选：B 2．已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出的值，再由求解即可. 【详解】解：因为，是第四象限角， 所以， 所以. 故选：D. 3．已知，则（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系即可求解. 【详解】因为，所以由题意可得 故选：A. 考点六：同角三角函数“弦切互化”问题 【典例讲解】 解题策略 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 (1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cosα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求解． (2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解. 例1．已知，求下列各式的值 (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)2 【分析】（1）将分式的分子分母同除转化为用来表示，然后代入的值计算即可； （2）原式，将分式的分子分母同除转化为用来表示，然后代入的值计算即可 【详解】（1）原式； （2）原式. 例2．已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】依题意弦化切即可. 【详解】依题意有，解得. 故选：C 例3．已知，则（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：C 【即时演练】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案. 【详解】由题意，可知， 则， 故选：B 2．已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据，分式同除可得. （2）根据先将转化为，再将分式同除可得. 【详解】（1） （2） 3．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，即可得解； （2）分子分母同除以转化为正切表示，即可得解. 【详解】（1），，. ，所以. （2） 考点七：同角三角函数“和积转换”问题 【典例讲解】 解题策略 “和积转换”解决求值问题 (1)由同角的三角函数关系可知：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα，因此已知sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中的任何一个，即可求出另外两个式子的值，这体现了“和积转换”． (2)求sinα＋cosα，sinα－cosα的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断． 例1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件平方可得答案. 【详解】因为，所以，可解得 故选：C 例2．已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，对两边同时平方求出，然后对平方求值，结合的范围即可求解. 【详解】∵，∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即. 故选：B. 例3．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 【即时演练】 1．若，，则 ． 【答案】 【分析】先由得出，再结合平方关系得出的值. 【详解】 ∴. . 故答案为：. 2．已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 考点八：诱导公式 【典例讲解】 解题策略 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算． 例1．（2021高二上·广东·学业考试）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简条件等式，再利用三角函数的基本关系式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 例2．（2021高三上·广东·学业考试）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知是第四象限角，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】先确定正弦，再利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简求值，即得答案 【详解】因为是第四象限角，所以， 故． 故选：D 例4．（2022高三下·广东·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【详解】. 故选：D. 例5．（2021高二上·广东梅州·学业考试）已知 ，则= （    ） A． B．- C． D．- 【答案】A 【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为 所以 故选：A 【即时演练】 1．在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由诱导公式计算可得. 故选：B 3．若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据诱导公式即可. 【详解】. 故选：A. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式求得正确答案. 【详解】依题意，， . 故选：A 5．已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简原式，由三角函数定义求出，代入计算即可. 【详解】， 因为角终边上一点，所以，则， 所以 故答案为： 考点九：和、差角公式的应用 【典例讲解】 解题策略 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】. 故选：C 例2．（2023高三·广东·学业考试）设，若，则的值为 【答案】 【分析】利用同角三角函数平方关系可得，由两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】，，， . 故答案为：. 例3．（2023高三·广东·学业考试）若，则的值为（　　） A．－ B． C．－3 D．3 【答案】A 【分析】根据和差角的正切公式即得. 【详解】∵， ∴． 故选：A. 【即时演练】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】. 故选：A 2．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的和角公式，计算即可. 【详解】． 故选：D 3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，终边经过点， 由三角函数的定义，可得， 又由. 故选：C. 考点十：二倍角公式的应用 【典例讲解】 解题策略 运用二倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用。 例1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 例2．的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据二倍角的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 例3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件两边平方，由二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解． 【详解】由得， ， 得，得， 故选：B 【即时演练】 1．计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算可得. 【详解】. 故选：B 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用两角和的正切公式求出，然后用倍角公式化简，再用弦化切求解. 【详解】因为， 所以，可得， 又 . 故选：A． 考点十一：辅助角公式的运用 【典例讲解】 解题策略 对asinx＋bcosx化简时，注意辅助角φ的值的确定和函数名的对应． 例1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式化简即可求解. 【详解】，故最大值为2 故选：B 例2．若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式和余弦函数单调性的求法可得的单调递减区间，对应已知区间即可确定结果. 【详解】； 令，解得：， 的单调递减区间为， ，，， 的最大值为. 故选：B. 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知函数. (1)求函数f（x）的最小正周期和最大值； (2)求函数f（x）的单调递减区间. 【答案】(1)最小正周期为，最大值为2 (2) 【分析】（1）用辅助角公式化简原函数，即可得到最小正周期和最值； （2）将代入正弦函数的递减区间，解得x的范围即可. 【详解】（1）. ， 即函数的最小正周期为. ， 即， 则的最大值为2. （2）令， 解得， 所以函数的单调递减区间为. 【即时演练】 1．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及单调增区间. 【答案】(1) (2)最大值为，单调增区间为， 【分析】（1）借助降幂公式与辅助角公式将化为正弦型函数后即可得； （2）运用正弦型函数的性质计算即可得. 【详解】（1） ， 则； （2）由，故， 即函数的最大值为， ，， 即，， 故的单调增区间为，. 2．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合. 【答案】(1) (2)的最大值是，此时自变量的集合为. 【分析】（1）利用辅助角公式化简的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. （2）根据三角函数最值的求法求得正确答案. 【详解】（1）， 所以的最小正周期. （2）由（1）得， 所以当时，取得最大值， 此时自变量的集合为. 考点十二：三角函数的图象和性质 【典例讲解】 解题策略 (1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f (x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可． (3)对于可化为f (x) ＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可． (4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)． (5)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 例1．（2023高三·广东·学业考试）函数的最小正周期是（　　） A． B．π C．2π D．4π 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期求解． 【详解】f(x)的最小正周期为． 故选：D． 例2．（2021高二上·广东·学业考试）已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】/ 【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，则. 故答案为：. 例3．（2022高三下·广东·学业考试）函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 【答案】C 【分析】根据正弦函数的有界性可得. 【详解】由正弦函数性质可知，， 所以，所以， 所以，函数的最大值是，最小值是. 故选：C 例4．（2023高三·广东·学业考试）函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案. 【详解】解析：函数， 故该函数为偶函数，且它的最小正周期为. 故选：D. 例5．（2023高三·广东·学业考试）设函数（，），已知函数的图象相邻的两个对称中心的距离是，且当时，取得最大值，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期性，利用整体思想，建立方程，可得函数解析式，利用整体代入的方法，结合单调性以及对称性，可得答案. 【详解】由题意，的最小正周期，∴. ∵当时，取得最大值，即，.∴，. ∵，∴.∴. 对于A，正确； 对于B，当时，，由正弦函数的单调性可知错误； 对于C，由，，故错误； 对于D，由，，故错误. 故选：A. 例6．（2023高三·广东·学业考试）已知函数． (1)求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1)最小值为，此时 (2) 【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数的最小值及取得最值时相应的 的取值集合； （2）令，求得的范围，从而可得函数的单调递减区间． 【详解】（1）当时，取得最小值为， 此时,即， 所以函数的最小值为 ，的取值集合为. （2）由， 可得， 所以单调减区间 【即时演练】 1．设，且的最小值为π，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的最小正周期，再利用余弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】设函数的最小正周期为， 因，且的最小值为π， 故，即，故. 故选：A. 2．函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的对称轴计算求出对称轴. 【详解】的对称轴方程为, 即， 当时，为对称轴. 故选：C. 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可得：函数的最小正周期是. 故选：C. 4．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】直接由三角函数性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，由于，不为奇函数，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，显然的最大值为1，故C正确； 对于D，当时，， 由复合函数单调性、正弦函数单调性可知在上单调递增，故D错误. 故选：C. 5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定的区间，求出的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可. 【详解】当时，， 若函数在区间上单调递增， 则，，解得， 又，当时,可得. 故选：A. 6．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）（2）根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 考点十三：三角函数的值域与最值 【典例讲解】 解题策略 形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. 例1．函数在区间上的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】求出，利用三角函数单调性即可求得其最大值. 【详解】在区间上，，根据复合函数单调性可知： 函数在区间上单调递增， 故当时，即时，函数取得最大值为. 故选：B. 例2．已知函数的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．3， C．， D．，1 【答案】B 【分析】利用正弦函数的性质即可得结果. 【详解】对于 当，即时，函数取最大值，且最大值为3； 当，即时，函数取最小值，且最小值为； 故选：B. 例3．函数在上的最小值为（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案. 【详解】当时，， 则当时，， 故选：B. 【即时演练】 1．函数在区间上既无最大值，又无最小值，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上是单调的，由可得一条对称轴方程为，一个对称点为，从而得到，解方程组可得答案. 【详解】因为函数在区间上既无最大值，又无最小值， 所以在区间内不存在点使得， 且端点处也取不到，即在上是单调的， 则，所以， 又，不大于， 由此得到一条对称轴方程为， 又可以求得一个对称点为， 所以，解得， 因为，所以令，所以. 故选：C. 2．已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若的最小值为0，求常数的值． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）得到当时取得最小值，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）由（1）知函数， 因为的最小值为0，可得当时，取得最小值， 即，解得. 考点十四：三角函数的图象变换 【典例讲解】 解题策略 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）要得到的图象，需将余弦函数图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移规律直接判断． 【详解】因为函数图象平移左加右减， 所以将余弦函数图象向右平行移动个单位长度，得到的图象， 故选：B． 例2．（2023高三·广东·学业考试）要获得，只需要将正弦图像（    ） A．向左移动个单位 B．向右移动个单位 C．向左移动个单位 D．向右移动个单位 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换的概念判断. 【详解】把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为． 故选：A． 例3．（2021高二上·广东梅州·学业考试）为了得到的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】根据函数图象平移“左加右减”的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案． 【详解】解：由已知中平移前函数解析式为， 平移后函数解析式为：， 可得平移量为向右平行移动个单位长度， 故选：． 例4．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位， 得. 故选：B. 【即时演练】 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数平移变换原则直接求解即可. 【详解】， 只需把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可得到的图象. 故选：D. 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】C 【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可 【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变， 得，即得到函数的图象， 故选：C 3．将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的变换关系进行求解即可. 【详解】解：的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变， 得到的新的解析式为，整理得. 故选：D. 考点十五：求三角函数解析式 【典例讲解】 解题策略 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 例1．函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象的过点 C．函数在上单调递减 D．当时， 【答案】A 【分析】根据函数图象可得，即可根据整体法求解CD，代入即可求解B，由周期公式即可求解A. 【详解】由图可得,, 故，将点代入可得,所以， 由于，故，所以， 对于A，，故A错误， 对于B，，故的图象的过点，B正确， 对于C, ，则，故在上单调递减，C正确， 对于D，，则，故，故，D正确， 故选：A 例2．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C． D．直线是的一条对称轴 【答案】C 【分析】对于A，由，结合的范围得，再结合，即可求得；对于B，求得它的表达式即可判断；对于CD，直接由三角函数性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，，所以， 又， 加半个周期大于0，即， 解得，即， 所以只能是， 所以，故A错误； 对于B，， 因为存在使得，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，设， 所以，故C正确； 对于C，，故D错误. 故选：C. 【即时演练】 1．已知函数的图象如图所示，则 . 【答案】/ 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的性质，分别求得和的值，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 又由，可得，即，解得， 所以. 故答案为：. 2．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    【答案】 【分析】根据最值可得，根据周期可求解，代入最高点即可求解. 【详解】由图可知,解得， 故， 周期,故， 又, 解得，由于所以， 故， 故答案为： 实战训练 一、单选题 1．（2024高二上·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解； 【详解】， 故选：C. 2．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的伸缩变换求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图象， 只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变. 故选：A. 二、填空题 3．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】将角进行拆角为，利用和角公式计算即得. 【详解】因. 故答案为：3. 4．（2024高一·全国·学业考试）某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是 . 【答案】 【分析】根据，可知，由三角函数的性质求出函数的最小值即可. 【详解】，， 当，即时， . 故答案为：. 三、解答题 5．（2024高二上·新疆·学业考试）已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦的倍角公式化简，再直接代入自变量即可得解； （2）利用辅助角公式化简，再利用整体代入法，结合正弦函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 6．（2023高一下·吉林·学业考试）已知函数． (1)求函数的最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1)函数的最大值为2，最小值为 (2) 【分析】（1）利用辅助角公式可得，以为整体，结合正弦函数最值分析求解； （2）以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 当，即时，取到最大值2； 当，即时，取到最小值. （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数 目录 考情回顾 2 考情解读 2 知识梳理 3 考点精讲 9 考点一：象限角与终边相同的角 9 考点二：弧度制及其应用 10 考点三：三角函数的定义 10 考点四：三角函数值符号的判定 10 考点五：同角三角函数“知一求二”问题 11 考点六：同角三角函数“弦切互化”问题 11 考点七：同角三角函数“和积转换”问题 12 考点八：诱导公式 12 考点九：和、差角公式的应用 12 考点十：二倍角公式的应用 13 考点十一：辅助角公式的运用 13 考点十二：三角函数的图象和性质 13 考点十三：三角函数的值域与最值 14 考点十四：三角函数的图象变换 14 考点十五：求三角函数解析式 14 实战训练 15 考情回顾 考点 考频 考查内容 任意角和弧度制 5年1考 终边相同的角、弧度制 同角三角函数的基本关系 5年2考 三角函数的符号判定及任意角三角函数的定义 诱导公式 5年3考 诱导公式 同角三角恒等变换 5年2考 和差角公式及二倍角公式 三角函数的图象和性质 5年1考 周期性、奇偶性、对称性、单调性 三角函数的图象变换 5年1考 三角函数的图象变换 考情解读 1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2.三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式， 能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性. (3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等).理解正切函数在区间的单调性. (4)理解同角三角函数的基本关系式： sin²x+cos²x=1,. (5)了解函数的物理意义，能画出的图象，了解参数 对函数图象变化的影响。 (6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 3.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 ③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 知识梳理 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4、终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 5、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 6、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 7、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 8、扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 9、任意角的三角函数定义 （1）单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （2）终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  10、三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） 11、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系： （2）商数关系:（，） 诱导公式一 ① ② ③其中.  公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 公式八 12、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 13、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 14、二倍角公式 ① ②；； ③ 15、降幂公式 16、辅助角公式： (其中) 17、五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 18、三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 19、根据图象求解析式 形如的解析式求法： （1）求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. （2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. （3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. 考点精讲 考点一：象限角与终边相同的角 【典型例题】 解题策略 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 例1．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 例2．在平面直角坐标系中，若，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例3．若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【即时演练】 1．在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中，角是第一象限角的是（    ） A．B．C．D． 考点二：弧度制及其应用 【典型例题】 解题策略 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 例1．把45°化成弧度是（   ） A． B． C． D． 例2．（2023高三·广东·学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 例3．已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 例4．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 【即时演练】 1．将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 2．沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．    3．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为 ． 考点三：三角函数的定义 【典型例题】 解题策略 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值． (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值． 例1．已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 例2．已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点（3，4)，则角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 2．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 3．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 考点四：三角函数值符号的判定 【典型例题】 解题策略 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解． 例1．若满足，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2．（2022高三下·广东·学业考试）若且，则是（     ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即时演练】 1．已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．已知，，则是第 象限角． 考点五：同角三角函数“知一求二”问题 【典例讲解】 解题策略 利用同角基本关系“知一求二”的方法 例1．（2022高二上·广东·学业考试）已知是第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，且为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 例3．已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2022高三下·广东·学业考试）已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C．6 D．8 考点六：同角三角函数“弦切互化”问题 【典例讲解】 解题策略 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 (1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cosα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求解． (2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解. 例1．已知，求下列各式的值 (1)； (2) 例2．已知，则（    ） A． B． C． D．3 例3．已知，则（    ） A． B． C．3 D．7 【即时演练】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，求下列各式的值： (1)； (2). 3．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 考点七：同角三角函数“和积转换”问题 【典例讲解】 解题策略 “和积转换”解决求值问题 (1)由同角的三角函数关系可知：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα，因此已知sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中的任何一个，即可求出另外两个式子的值，这体现了“和积转换”． (2)求sinα＋cosα，sinα－cosα的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断． 例1．若，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，且，则(    ) A． B． C． D． 例3．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【即时演练】 1．若，，则 ． 2．已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 考点八：诱导公式 【典例讲解】 解题策略 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算． 例1．（2021高二上·广东·学业考试）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 例2．（2021高三上·广东·学业考试）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知是第四象限角，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 例4．（2022高三下·广东·学业考试）（    ） A． B． C． D． 例5．（2021高二上·广东梅州·学业考试）已知 ，则= （    ） A． B．- C． D．- 【即时演练】 1．在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D．1 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知角终边上一点，则 ． 考点九：和、差角公式的应用 【典例讲解】 解题策略 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）（    ） A． B． C．1 D．2 例2．（2023高三·广东·学业考试）设，若，则的值为 例3．（2023高三·广东·学业考试）若，则的值为（　　） A．－ B． C．－3 D．3 【即时演练】 1．（    ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B．3 C． D． 考点十：二倍角公式的应用 【典例讲解】 解题策略 运用二倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用。 例1．（    ） A． B． C． D． 例2．的值为（    ） A． B． C． D．1 例3．设，则（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．计算等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点十一：辅助角公式的运用 【典例讲解】 解题策略 对asinx＋bcosx化简时，注意辅助角φ的值的确定和函数名的对应． 例1．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 例2．若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知函数. (1)求函数f（x）的最小正周期和最大值； (2)求函数f（x）的单调递减区间. 【即时演练】 1．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及单调增区间. 2．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合. 考点十二：三角函数的图象和性质 【典例讲解】 解题策略 (1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f (x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可． (3)对于可化为f (x) ＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可． (4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)． (5)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 例1．（2023高三·广东·学业考试）函数的最小正周期是（　　） A． B．π C．2π D．4π 例2．（2021高二上·广东·学业考试）已知函数的最小正周期为，则 . 例3．（2022高三下·广东·学业考试）函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 例4．（2023高三·广东·学业考试）函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 例5．（2023高三·广东·学业考试）设函数（，），已知函数的图象相邻的两个对称中心的距离是，且当时，取得最大值，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 例6．（2023高三·广东·学业考试）已知函数． (1)求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)求函数的单调递减区间． 【即时演练】 1．设，且的最小值为π，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 考点十三：三角函数的值域与最值 【典例讲解】 解题策略 形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. 例1．函数在区间上的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 例2．已知函数的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．3， C．， D．，1 例3．函数在上的最小值为（    ） A．－1 B． C． D． 【即时演练】 1．函数在区间上既无最大值，又无最小值，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若的最小值为0，求常数的值． 考点十四：三角函数的图象变换 【典例讲解】 解题策略 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）要得到的图象，需将余弦函数图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 例2．（2023高三·广东·学业考试）要获得，只需要将正弦图像（    ） A．向左移动个单位 B．向右移动个单位 C．向左移动个单位 D．向右移动个单位 例3．（2021高二上·广东梅州·学业考试）为了得到的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 例4．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 3．将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（    ） A．B． C． D． 考点十五：求三角函数解析式 【典例讲解】 解题策略 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 例1．函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象的过点 C．函数在上单调递减 D．当时， 例2．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C． D．直线是的一条对称轴 【即时演练】 1．已知函数的图象如图所示，则 . 2．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    实战训练 一、单选题 1．（2024高二上·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D．0 2．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 二、填空题 3．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知，则的值为 ． 4．（2024高一·全国·学业考试）某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是 . 三、解答题 5．（2024高二上·新疆·学业考试）已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 6．（2023高一下·吉林·学业考试）已知函数． (1)求函数的最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$